公开课解三角形中的最值及取值范围问题

3
3
B (0, 2 )
3
B
(
,
5
)
6 66
sin(B ) (1 ,1]
62
b c (6,12]
例2：在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 已知：3b 2a sin B (1)求角A的大小. (2)若a 6, 求b c的取值范围.
(2) a2 b2 c2 2bc cos A
已知：3b 2a sin B ，角A为锐角. (1)求角A的大小. (2)若a 6, 求b c的取值范围.
例2：在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,
已知：3b 2a sin B ，角A为锐角. (1)求角A的大小. (2)若a 6, 求b c的取值范围.
解：(1) 3b 2a sin B
4 (b c)2
3 (b c)2
(b c)2
4
4
例3：等腰ABC中，AB AC, AC BC 2 6
则ABC面积的最大值为__4___ .
例3：等腰ABC中，AB AC, AC BC 2 6 则ABC面积的最大值为_____ .
A
解：
26
h
B
C
D
x Ex
x
y
A
(0, b)
(-a,0)
(1)B
4
例1.(2016年北京卷） ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c, 已知a2 c2 b2 2ac, (1)求B的大小. (2)求 2 cos A cos C的最大值.
(2) 2 cos A cosC 2 cos A cos(3 A)
4
2 cos A cos3 cos A sin 3 sin A
学习目标
1.能利用正弦、余弦定理来解三角形； 2.掌握解决解三角形问题中的取值范围问题 的常规解法：函数法，不等式法等.
知识要点归纳
（1）正弦定理： （2）余弦定理：
a b c 2R sinA sinB sinC
c2=a2+b2-2abcosC
（3）三角形面积公式：
1
1
SΔ
ah 2
,
SΔ
ab sinC 2
例1.(2016年北京卷） ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c, 已知a2 c2 b2 2ac, (1)求B的大小. (2)求 2 cos A cos C的最大值.
解： a2 c2 b2 2ac
a2 c2 - b2 2ac
2ac cos B 2ac
cos B 2 2
1
D
C
谢谢！
（4）重要不等式：a2 b2 2ab
(5)基本不等式：a b 2
(6)变形：ab ( a b )2 2
a（ b a 0,b 0)
例1.(2016年北京卷） ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c, 已知a2 c2 b2 2ac, (1)求B的大小. (2)求 2 cos A cos C的最大值.
36 b2 c2 2bc cos
36 b2 c2 bc
3
(b c)2 3bc
144 (b c)2 (b c) 12 又(b c) a
bc （b c)2 (b c时取“”） 2
(b c) （6,12]
-3bc (3) (b c)2
36
（b c)2
- 3bc
则sin B cos B的取值范围是 （___1_，__2__]._
课堂小结
1、解三角形中范围问题的解题方法： （1）函数法 （2）不等式法
2、数学思想方法：
思考题
平面四边形ABCD中，DA DC,CA CB,CA 2，CB 1，
则BD的取值范围是 __(_1_,1__ . 2]
A
2
B
3 sin B 2sin Asin B
3 2sin A
sin A 3
2
A为锐角 A
3
例2：在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 已知：3b 2a sin B ，角A为锐角. (1)求角A的大小. (2)若a 6, 求b c的取值范围.
（2）
ห้องสมุดไป่ตู้
a sin
A
6
sin
4
3 2R
(a,0)
B O(0,0) C
x
（- a, 0)
反思与总结：
练习 1.在ABC中，a=2,c=1则C的取值范围是 __（_0_，_6_].
2.ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b, c，若a2 b2 c2 bc,且ABC的面积为 3 3 , 4
则a的最小值为__3_
3.ABC中，三边a,b, c成等比数列，a,b,c所对的角分别是 A,B,C,
3
b c 2R(sin B sin C)
4 3[sin B sin（2 - B)]
3
4 3(sin B 3 sin B 1 cos B)
2
2
4 3( 3 sin B 3 cos B)
2
2
4 3 3( 3 sin B 1 cos B)
2
2
12sin(B )
6
A , B C 2
4
4
2
2
2 cos A cos A sin A
B , A C 3
4
4
2
2
A(0, 3 ) A ( , )
2 cos A 2 sin A
4
44
2
2
当A ，即A 时，取得最大值为1.
42
4
sin(A )
4
例2：在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,