MATLAB工程应用实例

由物理学可知，建立速度满足的微分方程，冰雹受到地球引力和空气阻 力的影响，其加速度应该为：
mg kv ma
作Laplace变换
1 msV ( s ) kV ( s ) mg s
k t gm v(t ) (1 e m ) k
做Laplace反变换，有：
第三章
MATLAB优化算法案例分析与应用
J ( x xi ) 2 ( y yi ) 2 mi
i 1
n


x
2
m y m 2 x x m 2 y y m ( x
2 i 1 i i 1 i i 1 i i i 1 i i i 1
n
n
n
n
n
2 i
yi2 )mi
由上式满足最小值条件时，
光线反射示意图
第三章
MATLAB优化算法案例分析与应用
•3.1 光的反射定理论证
针对图所示光线反射路径图 ，假设 X 轴设为实物体表面， 且为理想状态，光线传播过程 中无阻碍，一束自然光线沿路 径 L101 照射到 X 轴，与法线 Y 轴的夹角为 1 ；光线经实物体 表面 X 轴反射后，沿路径 L0 2发 射，与法线Y 轴的夹角为 2。
n n J 2 x mi 2 xi mi 0 x i 1 i 1
x
xi mi
i 1 n
n
J 2 y mi 2 xi mi 0 y i 1 i 1
n n
m
i 1
,y
ym
i 1 n i
n
i
i
m
i 1
i
第三章
MATLAB优化算法案例分析与应用
•3.5 冰雹的下落速度
（2）阻力大小与速度的平方成正比，有
已知初速度 v 0 0 、冰雹质量m 、重力加速度g 、正比例系数 k>0 。
由物理学可知，建立速度满足的微分方程，冰雹受到地球引力和空气阻 力的影响，其加速度应该为：
mg kv ma
2
冰雹的下落时，在一开始速度比较小时（阻力小于重力），冰雹的速度 总是增加的。当速度达到一定时（阻力等于重力），速度不再增加，显然 这个时候就是冰雹速度的最大值。所以，若要冰雹的速度达到最大，有：
’
光线反射示意图
第三章
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•3.1 光的反射定理论证
则光线从L
101
到 L0’ ，所需时间为： 2
L10 ‘ C L0’ 2 C H cos1 C H cos 2 H 1 1 C C cos1 cos 2
T
又1点与2点之间的距离为定值 L ，则可得到：
1 2
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•3.2 质点系转动惯量求解
已知在平面上的
mn ，确定一个点 Px, y ，使得质点系关于此点的转动惯量为最小。
设质点系关于此点的转动惯量为
n 个质点 P1 x1，y1 ，P2 x2，y2 ， P x ，y
n n n
其质量分别为m1，m2
kf mg
mg v k
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•3.5 冰雹的下落速度
function y3_2 t0=0; %初始值 tf=6; %终止值 a=9.8; %初始加速度 options =odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',[1e-4]); %求解精度设置 [T,V]=ode45(@diffv,[t0 tf],a,options); % /用 低阶法求微分方程二的数值解/ plot(T,V) %画图 end function dv = diffv(t,v) %/*第二个微分方程*/ m=1.1; k=0.1; g=9.8; % g值 dv=zeros(1,1); dv(1)=(m*g-k*v(1)*v(1))/m; %加速度 end
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第3章 MATLAB工程应用实例
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•3.1 光的反射定理论证
光的反射定理最早由费马 提出，费马原理：光总是沿用 时最短的光程传播。例如光线 的入射、反射过程可由图 3-1 直观的表示出来，2中光线从1 入射，发射到 2 点。试证明光 的反射定律：入射角等于反射 角。
10.3
10.2
v
10.1
10
9.9
9.8 0
1
2
3 t
4
5
6
速度曲线
L H tan1 tan 2
K
L H
t an1 t an 2 K
由三角代换变形得到：
cos 2 1 K tan1

2 1 2

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•3.1 光的反射定理论证
得到：
H 1 1 H 1 2 T 1 K tan 1 cos C cos1 cos 2 C 1
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•3.5 冰雹的下落速度
当冰雹由高空落下时，它受到地球引力和空气阻力的作用，阻力的大 小与冰雹的形状和速度有关，一般可以对阻力作两种假设： 阻力大小与下落的速度成正比； 阻力大小与速度的平方成正比；
已知初速度 v 0 0 、冰雹质量m 、重力加速度g 、正比例系数 k>0 。

b h
b
ห้องสมุดไป่ตู้
y2 2a 1 2 dy b
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•3.3 储油罐的油量计算
当油罐中油的高度为h 时油量为：

b h
b
y2 2 aL 1 2 dy ，对其进行积分： b
h

b h
b
令y b sin t arcsin(1 ) y2 b 2 La 1 2 dy 2 Lab cot2 tdt b t 4 2 2



h arcsin(1 ) b 4
1 cos 2t 2 Lab dt 2
h arcsin(1 ) b
Lab(2t sin 2t ) 2
油罐端面
4
h h h 2 Lab[arcsin( 1 ) ( 1) 1 ( 1) ] b b b 4
对上式求一阶导数得到：
T' H sin 1 2K tan1 { 2 2 C cos 1 2 cos2 1 1 K tan1


12



12
}
因函数时间 T 有极小值，令 T ' 0
从而有：
K tan 2 tan 1 2
•3.3 储油罐的油量计算
一平放的椭圆柱体形状的油罐，长度为 L，椭圆的长半轴为 a ，短半轴为b ，油的密度为 ，油罐中油的高度为 h，油罐的 横断面如图所示。
横断面的方程表达式
x2 y2 2 1 2 a b
矩形的面积为
y2 2a 1 2 dy b
油罐中油横断面中高度为h 时的面积为
油罐端面