高二数学综合法和分析法PPT教学课件
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高二数学人教A版选修1-2课件：2.2.1 综合法和分析法
(1)直线EF∥平面PCD; (2)平面BEF⊥平面PAD. 思路分析:(1)利用线线平行证明线面平行. (2)利用面面垂直⇒线面垂直⇒面面垂直.
一 二三
知识精要
证明:(1)在△PAD中,因为E,F分别为AP,AD的中点,所以EF∥PD. 又因为EF⊄平面PCD,PD⊂平面PCD, 所以直线EF∥平面PCD. (2)连接BD.因为AB=AD,∠BAD=60°, 所以△ABD为正三角形. 因为F是AD的中点, 所以BF⊥AD. 因为平面PAD⊥平面ABCD,BF⊂平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD, 所以BF⊥平面PAD. 又因为BF⊂平面BEF, 所以平面BEF⊥平面PAD.
≥
∵a,b,c是不全相等的正数,
������������>0.
∴������+������ ·������+������ ·������+������ >
2
2
2
������2������2������2 =abc.
即������+������ ·������+������ ·������+������>abc 成立.
2
≥2
2.
������ -������
又ab=1,
所以������ 2+������2 = ������ 2+������2-2������������ +2������������ = (������-������)2+2
������ -������
������ -������
������ -������
2
2
2
由已知0<x<1,故只需证明
一 二三
知识精要
证明:(1)在△PAD中,因为E,F分别为AP,AD的中点,所以EF∥PD. 又因为EF⊄平面PCD,PD⊂平面PCD, 所以直线EF∥平面PCD. (2)连接BD.因为AB=AD,∠BAD=60°, 所以△ABD为正三角形. 因为F是AD的中点, 所以BF⊥AD. 因为平面PAD⊥平面ABCD,BF⊂平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD, 所以BF⊥平面PAD. 又因为BF⊂平面BEF, 所以平面BEF⊥平面PAD.
≥
∵a,b,c是不全相等的正数,
������������>0.
∴������+������ ·������+������ ·������+������ >
2
2
2
������2������2������2 =abc.
即������+������ ·������+������ ·������+������>abc 成立.
2
≥2
2.
������ -������
又ab=1,
所以������ 2+������2 = ������ 2+������2-2������������ +2������������ = (������-������)2+2
������ -������
������ -������
������ -������
2
2
2
由已知0<x<1,故只需证明
高二数学人选修课件第一章综合法和分析法
感谢观看
第二步，计算$f(x_1)$和$f(x_2)$的差，得到$f(x_1) - f(x_2) = (x_1^2 - 2x_1 + 2) (x_2^2 - 2x_2 + 2) = (x_1 - x_2)(x_1 +第三步，由于$x_1, x_2 in [1, +infty)$且$x_1 < x_2$，所以$x_1 - x_2 < 0$，同时$x_1 + x_2 - 2 > 0$。
第四步，再次对两边同时平方，得到 $42 > 40$。
第三步，对第二步的结论进行简化， 得到$sqrt{42} > 2sqrt{10}$。
因此，我们证明了$sqrt{6} - sqrt{5} > 2sqrt{2} - sqrt{7}$。
XX
REPORTING
2023 WORK SUMMARY
THANKS
综合法的优缺点
01
优点
02
逻辑性强：综合法遵循严格的逻辑推理，使得证明过程具 有严密性。
03
适用性广：综合法可以应用于各种数学领域，具有广泛的 适用性。
04
缺点
05
对已知条件依赖性强：综合法需要从已知条件出发进行推 导，若已知条件不足或不明确，则难以应用综合法。
06
创造性思维受限：综合法主要依赖于逻辑推理和运算，相 对于分析法而言，对创造性思维的发挥有所限制。
应用于解析几何
在解析几何中，分析法可 以帮助我们找到满足特定 条件的点、直线或曲线。
应用于数列与极限
分析法在数列与极限的求 解中也有广泛应用，可以 通过逐步推导找到数列的 通项公式或极限值。
分析法的优缺点
优点
分析法思路清晰，逻辑严密，可以逐步推导出问题的解决方 案。
第二步，计算$f(x_1)$和$f(x_2)$的差，得到$f(x_1) - f(x_2) = (x_1^2 - 2x_1 + 2) (x_2^2 - 2x_2 + 2) = (x_1 - x_2)(x_1 +第三步，由于$x_1, x_2 in [1, +infty)$且$x_1 < x_2$，所以$x_1 - x_2 < 0$，同时$x_1 + x_2 - 2 > 0$。
第四步，再次对两边同时平方，得到 $42 > 40$。
第三步，对第二步的结论进行简化， 得到$sqrt{42} > 2sqrt{10}$。
因此，我们证明了$sqrt{6} - sqrt{5} > 2sqrt{2} - sqrt{7}$。
XX
REPORTING
2023 WORK SUMMARY
THANKS
综合法的优缺点
01
优点
02
逻辑性强：综合法遵循严格的逻辑推理，使得证明过程具 有严密性。
03
适用性广：综合法可以应用于各种数学领域，具有广泛的 适用性。
04
缺点
05
对已知条件依赖性强：综合法需要从已知条件出发进行推 导，若已知条件不足或不明确，则难以应用综合法。
06
创造性思维受限：综合法主要依赖于逻辑推理和运算，相 对于分析法而言，对创造性思维的发挥有所限制。
应用于解析几何
在解析几何中，分析法可 以帮助我们找到满足特定 条件的点、直线或曲线。
应用于数列与极限
分析法在数列与极限的求 解中也有广泛应用，可以 通过逐步推导找到数列的 通项公式或极限值。
分析法的优缺点
优点
分析法思路清晰，逻辑严密，可以逐步推导出问题的解决方 案。
2.2.1综合法和分析法-人教A版高中数学选修2-2课件
B B1 B2 Bn A. 分 析 法 一 般 在 需 要 支 分母,约 项 或 不 等 式 的 两 边 平 方 时 采 用;分 析 法 适 用 于 有 一 定 难度 的 证 明 题, 由 于 分 析 法 的 过 程 不 易写 好,因 此 我 们 主 张 此 法"慎 用".
练一练：
练习、求证： 2 7 3 6
直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证
明方法称为直接证明，其一般情势为：
本题条件
已知定义 已知公理
… 本题结论
已知定理
二、综合法定义：
利用已知条件和某些数学定义、公理、 定理等,经过一系列的推理论证,最后推导 出所要证明的结论成立,这种证明方法叫 做综合法(顺推证法)
用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论.
2 14 2 18 9 2 14 9 2 18 ( 2 7)2 ( 3 6)2 2 7 3 6
请结合上述例子和自己感受，说说综合法 和分析法的各自特点和它们的适用情况。
（1）综合法：已知条件 结论
由因导果，当条件明确，思路清楚时适用；
（2）分析法： 结论 已知条件
执果索因，当条件多，入手难，思路乱时适用。 （3）综合法是分析法的逆过程。
Pn-1 Qm-1
Pn … Q1
Qm
Q2 Q Q1
练一练：
已知 1 tan a 1,求证：3sin 2a 4cos2a 2 tan a
五、小结
1.在数学证明中，综合法和分析法是 两种最常用的数学方法，若从已知入手 能找到证明的途径，则用综合法，否则 用分析法.
2.综合法的每步推理都是寻找必要条 件，分析法的每步推理都是寻找充分条 件，在解题表述中要注意语言的规范性 和逻辑性.
练一练：
练习、求证： 2 7 3 6
直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证
明方法称为直接证明，其一般情势为：
本题条件
已知定义 已知公理
… 本题结论
已知定理
二、综合法定义：
利用已知条件和某些数学定义、公理、 定理等,经过一系列的推理论证,最后推导 出所要证明的结论成立,这种证明方法叫 做综合法(顺推证法)
用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论.
2 14 2 18 9 2 14 9 2 18 ( 2 7)2 ( 3 6)2 2 7 3 6
请结合上述例子和自己感受，说说综合法 和分析法的各自特点和它们的适用情况。
（1）综合法：已知条件 结论
由因导果，当条件明确，思路清楚时适用；
（2）分析法： 结论 已知条件
执果索因，当条件多，入手难，思路乱时适用。 （3）综合法是分析法的逆过程。
Pn-1 Qm-1
Pn … Q1
Qm
Q2 Q Q1
练一练：
已知 1 tan a 1,求证：3sin 2a 4cos2a 2 tan a
五、小结
1.在数学证明中，综合法和分析法是 两种最常用的数学方法，若从已知入手 能找到证明的途径，则用综合法，否则 用分析法.
2.综合法的每步推理都是寻找必要条 件，分析法的每步推理都是寻找充分条 件，在解题表述中要注意语言的规范性 和逻辑性.
高二数学综合法与分析法省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
(1)设这n条直线相互分割成f(n)条线段或射线, ---则: f(n)=n2. (2)这n条直线把平面提成(n2+n+2)/2个区域.
练习1:凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形旳对角线 ------旳条数f(n+1)=f(n)+___n_-_1____.
练习2:设有经过一点旳k个平面,其中任何三个平面或 三个以上旳平面不共有一条直线,这k个平面将 空间提成f(k)个区域,则k+1个平面将空间提成 f(k+1)=f(k)+___2_k______个区域.
• 因为 0 < 6 成立.
• 所以 a - 5 - a - 3 < a - 2 - a 成立.
问题一:
三:反证法
求证:两条相交直线有且只有一种交点.
注:1.结论中旳有且只有(有且仅有)形式出现, 是唯一性问题,常用反证法
2.有且只有旳背面包括1)不存在;2)至少两个.
问题二:求证一元二次方程至多 ------有两个不相等旳实根.
这就是说,当n=k+1时,k+1条直线旳交点个数为: f(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]/2.
根据(1)、(2)可知,命题对一切不小于1旳正整数都 成立.
阐明:用数学归纳法证明几何问题,重难点是处理好当 n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立.
注:在上例旳题设条件下还能够有如下二个结论:
2 3 4 5 6 7 15
你能得到怎样的一般不等式，并加以证明。
例:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条 但是同一点,证明交点旳个数f(n)等于n(n-1)/2.
证:(1)当n=2时,两条直线旳交点只有1个,又 f(2)=2•(2-1)/2=1,所以,当n=2时命题成立. (2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,就是说,平面内满足 题设旳任何k条直线旳交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 下列来考虑平面内有k+1条直线旳情况.任取其中 旳1条直线,记作l.由归纳假设,除l以外旳其他k 条直线旳交点个数f(k)等于k(k-1)/2.
练习1:凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形旳对角线 ------旳条数f(n+1)=f(n)+___n_-_1____.
练习2:设有经过一点旳k个平面,其中任何三个平面或 三个以上旳平面不共有一条直线,这k个平面将 空间提成f(k)个区域,则k+1个平面将空间提成 f(k+1)=f(k)+___2_k______个区域.
• 因为 0 < 6 成立.
• 所以 a - 5 - a - 3 < a - 2 - a 成立.
问题一:
三:反证法
求证:两条相交直线有且只有一种交点.
注:1.结论中旳有且只有(有且仅有)形式出现, 是唯一性问题,常用反证法
2.有且只有旳背面包括1)不存在;2)至少两个.
问题二:求证一元二次方程至多 ------有两个不相等旳实根.
这就是说,当n=k+1时,k+1条直线旳交点个数为: f(k+1)=(k+1)[(k+1)-1]/2.
根据(1)、(2)可知,命题对一切不小于1旳正整数都 成立.
阐明:用数学归纳法证明几何问题,重难点是处理好当 n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立.
注:在上例旳题设条件下还能够有如下二个结论:
2 3 4 5 6 7 15
你能得到怎样的一般不等式，并加以证明。
例:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条 但是同一点,证明交点旳个数f(n)等于n(n-1)/2.
证:(1)当n=2时,两条直线旳交点只有1个,又 f(2)=2•(2-1)/2=1,所以,当n=2时命题成立. (2)假设当n=k(k≥2)时命题成立,就是说,平面内满足 题设旳任何k条直线旳交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 下列来考虑平面内有k+1条直线旳情况.任取其中 旳1条直线,记作l.由归纳假设,除l以外旳其他k 条直线旳交点个数f(k)等于k(k-1)/2.
最新人教版高中数学选修2.2.1综合法和分析法(2)ppt课件
2
2
综合法和分析法的综合应用 【例】 若 a，b，c 为不全相等的正数，求证： a＋ b b＋c c＋a lg ＋lg ＋lg >lg a＋lg b＋lg c. 2 2 2
a＋b b＋c c ＋a 证明：要证 lg ＋lg ＋lg >lg a＋lg b＋lg c， 2 2 2 a＋b b＋c c＋a 只需证 lg( · · )>lg(a· b· c)， 2 2 2 a＋b b＋c c＋a 即证 · · >abc. 2 2 2 因为 a，b，c 为不全相等的正数， a＋b b＋c c＋a 所以 ≥ ab>0， ≥ bc>0， ≥ ac>0， 2 2 2 且上述三式中等号不能同时成立． a＋b b＋c c＋a 所以 · · >abc 成立， 2 2 2 a＋b b＋c c＋ a 所以 lg ＋lg ＋lg >lg a＋lg b＋lg c 成立． 2 2 2
特点： 即：
执果索因
要证结果Q，只需证条件P
Q P1
P1 P2
P2 P3也可以是经过证明 的结论
例1 求证
解:要证 只需证 展开,只需证 只需证 21<25
3
( 3
3
72 5
72 5
7 ) 2 (2 5 ) 2
21 5
因为 21<25成立,所以
法二：据已知可得 b ＝mc，c ＝bn 2 2 b c ∴m＝ ，n＝ ，又由 m＞0，n＞0 c b ∴b＞0，c＞0. 又由 m、a、n 成等差数列，可得 2a＝m＋n， 3 3 2 2 b ＋c b c ∴2a＝ ＋ ＝ c b bc 2 2 b＋cb －bc＋c b＋c2bc－bc ＝ ≥ ＝b＋c. bc bc
高中数学PPT课件-综合法和分析法
•a，b，c成等比数列转化为符号语言就是 b2 = ac.
此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形 的形状，余弦定理正好满足要求.于是，可以用余弦定理为工具进行证明.
新知探究
证明：由A，B，C成等差数列，有 2B=A+C. ①
因为A，B，C为△ＡＢC的内角,所以 Ａ+Ｂ+Ｃ=180°. ②
新知探究
请对综合法与分析法进行比较，说出它们各自的特点.回顾以往的数学学习，说说你对这两种证 明方法的新认识.
综合法就是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所 要证明的结论成立. 分析法最大的特点就是执果索因. 注意
事实上，在解决问题时，我们把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结
新知探究
知识要点 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要 证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.其特点是“由因导果”.
新知探究
你能用框图 表示综合法
吗？
用P表示已知条件、已有的定义、 公理、定理等,Q表示所要证明的 结论.
则综合法可用框图表示如下：
于是尝试转化结论：统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数.把结论
转化为
cos2α
-
sin2α
=
1 2
(cos2β
-
sin2β)
再与
4sin2α - 2sin2β = 1 比较，发现只要把
cos2α - sin2α = 1 (cos2β - sin2β)的角的余弦转化为正弦，就能达到目的.
2
新知探究
=
1
-
此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形 的形状，余弦定理正好满足要求.于是，可以用余弦定理为工具进行证明.
新知探究
证明：由A，B，C成等差数列，有 2B=A+C. ①
因为A，B，C为△ＡＢC的内角,所以 Ａ+Ｂ+Ｃ=180°. ②
新知探究
请对综合法与分析法进行比较，说出它们各自的特点.回顾以往的数学学习，说说你对这两种证 明方法的新认识.
综合法就是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所 要证明的结论成立. 分析法最大的特点就是执果索因. 注意
事实上，在解决问题时，我们把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结
新知探究
知识要点 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要 证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.其特点是“由因导果”.
新知探究
你能用框图 表示综合法
吗？
用P表示已知条件、已有的定义、 公理、定理等,Q表示所要证明的 结论.
则综合法可用框图表示如下：
于是尝试转化结论：统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数.把结论
转化为
cos2α
-
sin2α
=
1 2
(cos2β
-
sin2β)
再与
4sin2α - 2sin2β = 1 比较，发现只要把
cos2α - sin2α = 1 (cos2β - sin2β)的角的余弦转化为正弦，就能达到目的.
2
新知探究
=
1
-
人教版数学高二-新课标 《综合法和分析法》 精品课件
• 要证上式成立，可证三括号中式子都不 为负(这一条件对保证上述结论成立是充 分的，但它并不必要)，注意到a2＋b2－ 2ab＝(a－b)2≥0，b2＋c2－2bc＝(b－c)2≥0，
c2＋a2－2ca＝(c－a)2≥0，故结论为真．
• 欲证①式右部分，只需证a2＋b2＋c2－ 2ab－2bc－2ca<0，即要证(a2－ab－ac) ＋(b2－bc－ba)＋(c2－ca－cb)<0.
• 自我校对：①直接从原命题的条件逐步 推得命题成立的证明方法 ②综合法 ③分析法 ④从已知条件出发，以已知 的定义、公理、定理为依据，逐步下推， 直到推出要证明的结论为止的证明方法 ⑤从问题的结论出发，追溯导致结论成 立的条件，逐步上溯，直到使结论成立 的条件和已知条件或已知事物吻合为止 的证明方法 ⑥由因索果 ⑦已知条件 ⑧结论 ⑨执果索因 ⑩结论 ⑪已知 条件 ⑫三段论式-1-
-1-
[解] 要证：logn(n＋1)>logn＋1(n＋2)， 即证 logn(n＋1)－logn＋1(n＋2)>0(*) ∵logn(n＋1)－logn＋1(n＋2)＝log1n＋1n－logn＋1(n＋2) ＝1－logn＋1n·logn＋1(n＋2)，
logn＋1n ∵n>1，logn＋1n>0 且 logn＋1(n＋2)>0. ∴logn＋1n·logn＋1(n＋2)<14[logn＋1n＋logn＋1(n＋2)]2 ＝14log2n＋1[n(n＋2)]＝14logn2＋1(n2＋2n)<14[logn＋1(n＋1)2]2 ＝1
-1-
[证明] 要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1 ＝3(a＋b＋c)－1 成立， 即证a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c成立， 只需证a＋a＋b＋b c＋ab＋＋＋cc＝3， 即a＋c b＋b＋a c＝1 成立， 即需证 c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)， 即 c2＋a2＝b2＋ac 成立．
【高中课件】高中数学人教B版选修12第二章2.1综合法与分析法课件ppt.ppt
【分析法】
从结论出发，寻找结论成立的充分条件
直至最后，把要证明的结论归结为判定一
个明显成立的条件. 要证：
要证：
只要证：
格 式 只需证：
显然成立
上述各步均可逆
所以 结论成立 所以 结论成立
分析基本不等式：a 明.
+ 2
b
ab (a>0,b>0)的证
证明:要证
x2 2x 2 0
x2 2 2x
证法2是从已经成立的事实出发,经过正确推理,得到要证的结论.
------ 综合法
引例二:求证 3 7 2 5
分析:从待证不等式不易发现证明的出发点,因此我们直接 从待证不等式出发,分析其成立的充分条件.
证明:要证明 3 7 2 5 ,
证明的方法
直接证明
综合法 分析法
间接证明（反证法）
引例一:证明不等式: x2 2 2x(x R)
证法1:由 x2 2 2x (x 1)2 1 1 0 x2 2 2x 证法2:由 (x 1)2 0 (x 1)2 1 1 0
综合法概念
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的 推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫 做综合法.
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示 所要证明的结论.
则综合法用框图表示为:
P Q1
Q1 Q2
Q2 Q3
…
Qn Q
特点：由因索果 综合法是由一个个推理组成的.
方法二（综合法） 证明: a b(a b)2 0
即 a2 2ab b2 0
即 a2 ab b2 ab
最新人教版高中数学选修2.2.1-综合法和分析法ppt课件
2含有根号的式子，应想到用平方法去根号，且在平方 时应保证两边非负，同时要有利于再次平方，因此需移项.
3用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要 证”、“只需证”、“即证”等词语.
变式训练2 已知sin(2α＋β)＋2sinβ＝0， 求证：tanα＝3tan(α＋β)． 分析 因结论中为正切函数，而已知条件中为正弦函 数，因此可用切化弦逆推，用分析法证明．
证明 ∵a＋b＋c＝1， ∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1. 又∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， ∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)． ∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. ∴1＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥ab＋bc＋ca＋2ab＋ 2bc＋2ca＝3(ab＋bc＋ca)． ∴ab＋bc＋ca≤13.
证明 要证tanα＝3tan(α＋β)， 只需证csoinsαα＝3csoisnαα＋ ＋ββ， 只需证3sin(α＋β)cosα＝sinαcos(α＋β)， 只需证sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝2cos(α＋β)sinα－ 2sin(α＋β)cosα，
只需证sin[(α＋β)＋α]＝2sin[α－(α＋β)]， 即sin(2α＋β)＝－2sinβ， 只需证sin(2α＋β)＋2sinβ＝0. 因为sin(2α＋β)＋2sinβ＝0成立， 故等式tanα＝3tan(α＋β)成立．
成立的条件
执果索因法
想一想 1.综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？ 提示：综合法的推理过程是演绎推理，它的每一步推理都是严密的逻辑推理，得 到的结论是正确的． 2．分析法是把所要求证的结论当作已知条件来推理吗？ 提示：分析法并不是把所要求证的结论当作已知条件来推理,而是寻求使结论成立 的充分条件．
3用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要 证”、“只需证”、“即证”等词语.
变式训练2 已知sin(2α＋β)＋2sinβ＝0， 求证：tanα＝3tan(α＋β)． 分析 因结论中为正切函数，而已知条件中为正弦函 数，因此可用切化弦逆推，用分析法证明．
证明 ∵a＋b＋c＝1， ∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1. 又∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， ∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)． ∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. ∴1＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥ab＋bc＋ca＋2ab＋ 2bc＋2ca＝3(ab＋bc＋ca)． ∴ab＋bc＋ca≤13.
证明 要证tanα＝3tan(α＋β)， 只需证csoinsαα＝3csoisnαα＋ ＋ββ， 只需证3sin(α＋β)cosα＝sinαcos(α＋β)， 只需证sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝2cos(α＋β)sinα－ 2sin(α＋β)cosα，
只需证sin[(α＋β)＋α]＝2sin[α－(α＋β)]， 即sin(2α＋β)＝－2sinβ， 只需证sin(2α＋β)＋2sinβ＝0. 因为sin(2α＋β)＋2sinβ＝0成立， 故等式tanα＝3tan(α＋β)成立．
成立的条件
执果索因法
想一想 1.综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？ 提示：综合法的推理过程是演绎推理，它的每一步推理都是严密的逻辑推理，得 到的结论是正确的． 2．分析法是把所要求证的结论当作已知条件来推理吗？ 提示：分析法并不是把所要求证的结论当作已知条件来推理,而是寻求使结论成立 的充分条件．
高中数学《综合法和分析法》课件
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答案
即 sinB
22sinC＋ 22cosC－sinC 22sinB＋ 22cosB＝
22，整理得
sinBcosC
－cosBsinC＝1，即 sin(B－C)＝1.又 0<B，C<34π，所以 B－C＝π2.
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ba·ab＝4.
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答案
[结论探究] 本例已知条件不变，求证：a＋1ab＋1b≥245.
[证明] ∵a＋b＝1，a>0，b>0， ∴a＋b≥2 ab，∴0<ab≤14， ∴a＋1ab＋1b－245＝a2＋a 1·b2＋b 1－245 ＝4a2b2－4a3b3ab＋8＝1－4a4bab8－ab≥0. ∴a＋1ab＋1b≥245.
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【跟踪训练 2】 在锐角三角形 ABC 中，用分析法证明：tanA·tanB＞1.
证明 要证明 tanA·tanB＞1，只需证明csoinsAA··csionsBB＞1. 因为 A，B 为锐角，所以 cosA＞0，cosB＞0. 只需证明 cosA·cosB＜sinA·sinB，只需证明 cosA·cosB－sinA·sinB＜0，即 cos(A＋B)＜0. 因为 C 为锐角，且 A＋B＝π－C，所以 A＋B 为钝角， 所以 cos(A＋B)＜0 成立，所以 tanA·tanB＞1.
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答案
只需证(
a2＋b2)2≥
22a＋b2，
综合法与分析法PPT
例题2
求证 3 + 7 < 2 5.
分析
从待证不等式不易发现证明的出发 点，因此我们直接从待证不等式出发， 分析其成立的充分条件.
证明：
因为 3 + 7和 2 5 都是正数，所以要证
3 + 7 < 2 5，
只需证
（ 3 + 7）2 <（2 5）2 .
展开得
10 + 2 21 < 20，
只Hale Waihona Puke 证21 < 5，不等式：a
+ 2
b
ab
(a>0,b>0)的证明.
动动脑
大家想一想， 除了综合法，还有 别的证明方法吗？
证明:要证
a
+ 2
b
ab
只需证:a + b 2 ab
只需证:a + b 2 ab 0
只需证:( a b)2 0
因为:( a b)2 0 成立
所以
a
+ 2
b
ab成立
a2 + c2 - ac = ac,
即 （a - c）2 = 0.
因此
a=c.
从而
A=C.
⑤
由 ② ③ ⑤ ,得
A=B=C= π. 3
所以△ＡＢC为等边三角形.
注意
解决数学问题时，往往要先做语言的转 换，如把文字语言转换成符号语言，或把符 号语言转换成图形语言等.还要通过细致的分 析，把其中的隐含条件明确表示出来.
a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc
首先，分析待证不等式的特点：不 等式的右端是3个数a,b,c乘积的4倍，左 端为两项之和，其中每一项都是一个数 与另两个数的平方和之积.据此，只要把 两个数的平方和转化为这两个数的积的 形式，就能使不等式左、右两端具有相 同的形式.
高中数学选修1-2精品课件7：2.2.1 综合法和分析法
3．欲证 2－ 3＜ 6－ 7成立，只需证 A．( 2－ 3)2＜( 6－ 7)2 B．( 2－ 6)2＜( 3－ 7)2 C．( 2＋ 7)2＜( 3＋ 6)2 D．( 2－ 3－ 6)2＜(－ 7)2
【答案】C
()
4．如果 a a＞b b，则实数 a，b 应满足的条件是________． 【答案】a＞b＞0
逆推 证法 或执 果索 因法
3．综合法、分析法的区别 综合法
推理方向 顺推，由因导果
分析法 倒溯，执果索因
解题思路 探路较难，易生枝节 容易探路，利于思考
表述形式 形式简洁，条理清晰 叙述繁琐，易出错 思考的 侧重于已知条件提供 侧重于结论提供的信息 侧重点 的信息
点睛 一般来说，分析法解题方向明确，利于寻求 解题思路；而综合法解题条理清晰，宜于表述．因 此在解决问题时，通常以分析法为主寻求解题思路， 再用综合法有条理地表述解题过程．
只需证(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0，而这是显然成立的，
所以
a2＋b32＋c2≥a＋3b＋c成立．
题型三 分析法与综合法的综合应用
典例 已知 a，b，c 是不全相等的正数，且 0＜x＜1.
求
证
：
logx
a＋b 2
＋
logx
b＋c 2
＋
logx
a＋c 2
＜
logxa
＋
logxb
＋
logxc.
活学活用
已知 a，b，c 都为正实数，求证：
a2＋b2＋c2 a＋b＋c 3 ≥3.
证明：要证
a2＋b32＋c2≥a＋3b＋c，
只需证a2＋b32＋c2≥a＋3b＋c2，
只需证 3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，
数学2.2.1综合法和分析法课件(人教A版选修1-2)
题型二 分析法的应用
例2 (本题满分 9 分)设 a，b 为实数．求证： a2＋b2≥ 22(a＋b)． 【思路点拨】 题目条件适合使用分析法证 明不等式，只需要注意分析法证明问题的格 式即可．
名师微博 分类讨论是关键！
【证明】 当 a＋b≤0 时， ∵ a2＋b2≥0， ∴ a2＋b2≥ 22(a＋b)成立.2 分 当 a＋b>0 时，用分析法证明如下： 要证 a2＋b2≥ 22(a＋b)，3 分 只需证( a2＋b2)2≥ 22（a＋b）2，5 分
2．2 直接证明与间接证明 2．2.1 综合法和分析法
学习目标
学习导航
重点难点 重点：了解直接证明的两种基本方法 ——综合法和分析法及其思考过程、特点． 难点：对综合法和分析法的思考过程和特点的 概括．
新知初探思维启动
综合法和分析法
综合法
分析法
定 义
学导这利的___出种用_定___推_所证__定_理___已理_要明___义____知论证_方____等_条证、明列法___，件__的叫___经，_结和做公_过最论某综_理_一后成些合_系_推立数法、，从_定_把这_充__定_知一逐要种__分_要义___条个步证证条__证___件明_寻明明件明___、、显__求的方____成_使结法_公__的，立_定_它论叫理__结直的理成归做__论__至条立结分__出最_等件的为析、发后)(判法，已，，
即 （x－1）（x－4）< （x－3）（x－2）， 只需证[ （x－1）（x－4）]2<[ （x－3）（x－2）]2， 即证 x2－5x＋4<x2－5x＋6，即 4<6， 这显然成立．
∴当 x≥4 时， x－1－ x－2< x－3－ x－4.
题型三 综合法与分析法的应用
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流程: Q P1 P1 P2 P2 P3 …
显然成立的条件
应用举例
例1 已知a，b，c＞0，求证：
a3＋b3＋c3≥3abc.
例2
已知数列{an}满足 a 1
1 2
,
a n 1 a n 2 a n(n N * ),求证：
1 1 1 2
1a1 1a2
1an
例3 已知a≥3，求证：
3 a 1a 3 a 2a 3
综合法和分析法的应用 (习题课)
知识回顾
1.综合法的基本含义和思维流程分别 是什么？ 含义:利用已知条件和某些数学定义、公 理、定理、性质、法则等，经过一系列 的推理论证，最后推导出所证结论成立.
流程:
P Q1 Q1 Q2 Q2 Q3 … Qn Q
2.分析的基本含义和思维流程分别 是什么？ 含义:从所证结论出发，逐步寻求使它成 立的充分条件，直到归结为判定一个显 然成立的条件（已知条件、定义、公理、 定理、性质、法则等）为止.
例4 在△ABC中，三个内角A，B，C的
对边分别为a，b，c，已知A，B，C成等
差数列，求证：
11
3
ab bc abc
显然成立的条件
应用举例
例1 已知a，b，c＞0，求证：
a3＋b3＋c3≥3abc.
例2
已知数列{an}满足 a 1
1 2
,
a n 1 a n 2 a n(n N * ),求证：
1 1 1 2
1a1 1a2
1an
例3 已知a≥3，求证：
3 a 1a 3 a 2a 3
综合法和分析法的应用 (习题课)
知识回顾
1.综合法的基本含义和思维流程分别 是什么？ 含义:利用已知条件和某些数学定义、公 理、定理、性质、法则等，经过一系列 的推理论证，最后推导出所证结论成立.
流程:
P Q1 Q1 Q2 Q2 Q3 … Qn Q
2.分析的基本含义和思维流程分别 是什么？ 含义:从所证结论出发，逐步寻求使它成 立的充分条件，直到归结为判定一个显 然成立的条件（已知条件、定义、公理、 定理、性质、法则等）为止.
例4 在△ABC中，三个内角A，B，C的
对边分别为a，b，c，已知A，B，C成等
差数列，求证：
11
3
ab bc abc