山东大学数学专题高等代数部分第三章第五讲PPT

−1 j 2 故 r jk = λ j， 又 r jk > 0 , 于 是 r jk =
λ j， 即 D = B ， 分 解 唯 一 .
0 7. 证 明 对 任一 方 阵 A ， 存 在 可 逆矩 阵 P 使 P -1AP= B C ， 0

其 中 B 和 C 都 是 方 阵， 且 B 是 幂零 矩 阵 ， C 可 逆 .
λ1 I n1 ，设X 是任一与A 可换的矩阵， 则B1 = O 1 1 λs I ns X11 ，显然B1X1 =X1B1. 则X1 = O X ss 3 设D 2 = A，D是正定矩阵，易见A与D可换，即D1 = T -1DT，
D11 2 ，且 D1 = A1， D 对称， D1也对称， 由 2 知， D1 = O D ss
4. r ( B ) = r>0 ， r ( A ) = 1 ，则存在可逆矩阵 Pi与 Q i，使 B= ∑ Pi AQ i，
i=1
r
其中 A 与 B 是 n 阶方阵.
I 0 证： r ( B ) = r，存在非奇异矩阵 P、 Q使 B=P r Q， 0 0
1 0 L 0 0 0 L 0 0 0 L 0 L L I 0 0 0 L 0 0 1 L 0 + +L + 令 r = L L 1 0 0 L L L L L L L L 0 0 L 0 0 0 L 0 0 0 L = C 1 + C 2 + L + C r， 则 B = PC 1Q + L + PC r Q ， r ( A ) = 1 ， 即 A 与 C i 等 价 ， 即 存 在 非 奇 异 矩 阵 R i， S i 使 C i = R i AS i，
令 B=PDP -1 , C = PEP -1，则B D, 即B相似于对角形。 C m =PE m P -1 =0. A = PJP -1 = P ( D+E ) P -1 D1 E1 D1 E1 E 1 D1 = = = ED = B + C, 又 DE= O O O O Ds Es DsEs EsDs
0 0 L 0
于 是 B=PR 1 AS1Q+PR 2 AS 2 Q+ L +PR r AS r Q, 令 Pi =PR i， Q i = S i Q ， 则 B= ∑ Pi AQ i .
i=1
r
5. A的顺序主子式不为零，证明：存在可逆下三角矩阵和可逆 A 上三角矩阵C使A=BC.
证： 对 A的阶数用归纳法，令 A= ( a ij )
A1 为 A 的 若 当 形 ， 其 中 A i为 若 当 块 ， 证 ： 设 P AP = O As A 1， ， A k的 对 角 线 元 素 为 零 ， 而 A k+1， ， A s的 对 角 线 元 素 不 为 零 ， L L
-1
A1 A k+1 令B= O ，C= O ，则B为幂零矩阵，C可逆， Ak As 则P -1AP= B 0 . 0 C
2 -1 -1 2 -1
2. A 是 n 阶方阵，则 A = B+C ，其中 B 相似于对角形 C m = 0 ，且 C 与 B 可换.
证：任意方阵都相似于一个若当形。 J1 J2 设 P -1 A P = J = 为 A的 若 当 形 O Js λ1 0 × ， E = O × ， 使 D + E = J， 令 D= O 0 λn D1 E1 ， E= ， 并设D = O O Ds Es 其 中 D i + E i = J i 为 A 的 若 当 块 ， 即 D i = λ i I p i ， P i 是 J i的 阶 数 ， 01 0 O ， 取 m = m ax P ， 则 可 验 证 E m = 0， Ei = { i} O 1 0
r j1 故 D jj也 对 称 ， 故 有 正 交 阵 T j， 使 T D jj T j = O r jp j 2 r j1 r j1 −1 2 = λ I ， T j ,由 于 D jj = λ j I n j， 即 O D jj = T j j nj 2 r jp j r jp j
故 BC=CB.
3、证明：任意幂等矩阵可分解为一个对称矩阵与一个正定矩阵之积.
I 0 证： 1 先证若A2 = A, 则存在矩阵P使PAP-1 = r . 0 0 A的特征值为0和1，又A相似于对角形，故结论成立. I 0 I 0 2 A=P-1 r ( P-1 )′ P′P，令S=P-1 r ( P-1 )′ ， 0 0 0 0 R = P′P，则S是对称矩阵，R是正定矩阵.
A n -1 = B1C1，其中B1，C1分别为可逆下三角矩阵和可逆上三角矩阵，
I 0 A X An X −1 又 n −1−1 n -1 − YA 1 Y a = 0 -1 b ， b = a nn − YA n −1X nn n −1 两端取行列式有 A = A n -1 b ， ∴ b ≠ 0 ，
第5讲 矩阵的分解
教学目标： 教学目标：掌握矩阵分解的方法和基本的分解公式 一、分解矩阵的方法
1. 利用初等变换 A=P I r 0 Q，r ( A ) = r； 0 0 J1 −1 P ； 2. 利用若当形A=P O Js 3. 利用矩阵的运算； 4. 对矩阵的阶数用归纳法； A1 . 5. 用不变子空间的理论 V=V1 ⊕ L ⊕ Vs，A= O As
三、例题
1. 任意方阵可表为一个可逆矩阵与一个幂等矩阵之积.
I 0 证：若A=0，显然结论成立，设A ≠ 0且r(A)=r. 则存在可逆矩阵P与Q使PAQ= r = C， 0 0 于是A=P-1CQ-1 = P-1Q-1QCQ-1，令R=P-1Q-1，D=QCQ-1， Ir 2 0 -1 则A=RD，其中R可逆，又D = QCQ QCQ = QC Q = Q Q = D 0 0 即D为幂等矩阵.
−1
， ) ( ) 0 B 0 C B X = BC ， 1 ( 0 1) 0 b 0 B 0 I 0 B 0 ( 0 1 ) = YA 1 ( 0 1 ) 是可逆下三角矩阵， 1
1 1 −1 1 n −1 −1 n −1 1
是可逆上三角阵.
6. 设A是正定矩阵，则存在唯一的正定矩阵B使A=B2且任意与A可换 的矩阵也与B可换。
证： 1 设A是n阶正定矩阵，则存在正交矩阵T使A1 = T −1AT是对角形，
λ1 λ1 ， 设A1 = O 且λi > 0， 1 ≤ i ≤ n，令B1 = O λn λn
( )
二、重要结论
1、r ( A ) = r ⇒ A=B1 + B2 + L + = B+C ，其中 B′=B ， C′=-C ； 3. r ( A ) = r ⇒ A m × n = B m × r C r× n , r ( B ) = r ( C ) = r； 4. A正定，则 A=CC′， ≠ 0 ，反之亦成立. C (其它结论见书 P 46)
2 则B1 = A1，又A = TA1T -1 = TB12T −1 = ( TB1T -1 ) ，令B = TB1T -1，则A=B2 . 2
2
设X是任一与A可换的矩阵，则XA=AX，令X1 = T -1XT， 则X1A1 =A1X1，若X1与B1可换，则X与B可换，只要证明与A1可换的矩阵， λ1I n1 ，λi ≠ λ j，i ≠ j， 也与B1可换即可，不妨设A1 = O λs I ns
(
)
(
− A n -1 X = B1C1 X = B1 0 C1 B1 1 X 0 b 0 b 0 1 0 b −1 −1 1
) (
I 于是 A = n −1−1 − YA n −1 I 其中 B= n −1−1 − YA n −1 C= C1 B1 X 0 b
n×n
，当 n = 1 时，显然结论正确.
a 1n A n -1 X , X = M 若结论对 n − 1成立，证明它对 n也成立，令 A= a Y a nn n −1n Y = ( a n1， ，nn −1 )， A n -1 ≠ 0，且它的顺序主子式不为零，由归纳法假定， La