SPH方法的基础认识
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x x 第三为在点 上的粒子支持域内任意一点 处有W (x x,h) 0 （非负性） 光滑函数非负，确保对一些物理现象的物理意义的描述是非常重要的。
第四为：当粒子间的距离增大时，粒子的光滑函数值应该是单调递减的。 随着两个相互作用的粒子间距离增大，它们的相互作用力减小。
第五为：当光滑长度h
第一个条件为正规化条件： W (x x, h)dx 1
第二个条件是当光滑程度趋于零时具有狄拉克函数性质： limW (x x, h) (x x) h0
第三个条件是紧支性条件： W (x x,h) 0 | x x | h
x x f 为三维坐标向量 的函数；为包含 的积分体积；h 为光滑长度。 x x 是与点 处光滑函数相关的常数，并确定光滑函数的有效范围（非零），此有效范围称作点 处
光滑函数的构造
光滑函数 W在SPH近似法中起着重要作用，它决定了函数表达式的精度和计算效率。
一：光滑函数主要特性总结归纳如下：
第一 为正规化条件：W (x x, h)dx 1
第二为满足紧支性条件：W ( x x , h ) 0 | x x | h
此性质将SPH近似从全局坐标转换到局部坐标，这种转换将得到一系列稀疏矩阵，这对于计 算效率非常重要。
SPH的特点：
无网格：问题域用粒子表示，将粒子作为场变量近似的计算框架，无需划分网格单元，
更避免了网格扭曲与网格重构的麻烦。
自适应：场函数核近似是在每一时间步当前时刻连续域内的任意粒子的基础上进行的，
故SPH方程不受粒子随时间变化而任意分布的影响。
拉格朗日性质与粒子性质的和谐结合：将粒子近似法应用于拉格朗日描述下的基
场函数及导数的核近似法和粒子近似法 SPH相关概念
光滑函数的构造
构造条件 构造方法
基于Navier-Stokers方程的SPH方程
应用SPH近似法将Navier-Stokers方程进行空间离散为SPH方程形式。 介绍SPH方法相关的主要数值问题。
展望
SPH的提出：
SPH最初提出是用于解三维开放空间天体物理学问题，天体物理学中的一系列离散的行星物质点不适 合用连续的基于网格的方法进行模拟，基于无网格的粒子法：SPH被提出。
mj
j
f
(xj ) • W
(x
x j , h)
在上述方程中，梯度 W 与粒子 j相关，故在粒子i 处的函数粒子近似式最终可写成：
• f (xi )
N j 1
mj j
f
(xj
) • Wij
iWij
xi
xj rij
Wij rij
xij rij
Wij rij
应当注意的是，在粒子近似法中，方程引入了粒子的质量和密度。对于密度是关于场变量的流 体力学问题而言，这种方法非常适用。
SPH相关概念
支持域：域内所有的点的信息都被用于决定x处的点的信息。 影响域：一个点对周围产生影响的范围。
在无网格方法中，影响域只与节点有关，而支持域与任意位置点x相关，作为一种粒子法， SPH方法旨在粒子上对场变量进行计算，也就是说，位置x 永远位于粒子（节点）上。因此，
在SPH方法中，粒子同时具有支持域和影响域。
于密度、速度、能量等变量场的偏微分方程组的离散。
SPH基本方程的构造
SPH基本方程的构造常按两个关键步： 第一步为积分表示法，又称场函数及其导数核近似法； 第二步为粒子近似法。
第一步：核近似法
场函数核近似：
f (x) f (x)W (x x,h)dx
W为光滑函数，需满足条件：
二：函数和它的前两阶导数要达到 n阶近似，光滑函数用该满足：
M0 W (x x,h)dx 1
M1 （ x x）W (x x,h)dx 0
SPH的发展背景：
在模拟流体动力学问题中传统的基于网格方法的如FDM和FEM存在明显的局限性，比如爆炸或高速冲 击过程中存在的大变形、运动物质交界面、变形边界和自由表面的特性是基于网格的数值方法难以 求解的。
SPH的广泛应用：
在SPH法中，系统的状态由一系列的粒子来描述，这些粒子包含着独自的材料性质，而且以牛顿经典 力学作为控制方程，所以可以将流体这一连续介质离散为一系列的粒子来表示，通过追踪粒子的运 动就可以容易得到整个物理系统的特性，所以确定自由表面、运动交界面和变形边界不在是一项艰 难的工作，并且在材料上任意一点的场变量的时间历程也可以得到。所以SPH方法广泛应用于流体力 学中。
光滑函数的支撑域.
场函数的导数的核近似法:
• f (x) f (x)W (x x,h)dx
场函数导数的SPH积分表达式允许空间变量的梯度由场函数的值和光滑函数 W
的导数来确定，而不是由函数本身的导数来确定，这种性质可以减少对场函数连
续性的要求，结果稳定性更强。
第二步：粒子近似法：
光滑粒子流体动力学(SPH)
Smoothed Particles Hydrodynamistic
--A meshfree particle method
光滑粒子流体动力学方法(SPH):
是一种模拟流体流动的无网格、自适应 的纯拉格朗日的粒子法。
目录
SPH的产生、发展与应用 SPH方法的特点 SPH基本方程的构造：
将SPH核近似法相关的连续积分表达式转化为支持域内所有粒子叠加求和的
离散化形式：
f
(x)
N
j 1mjj来自f(xj )W
(x
x, h)
在粒子i 处的函数粒子近似式：
f (x j )
N mj
j1 j
f (x j )Wij
场函数空间导数的粒子近似式：
• f (x)
N
j1
趋向于0时，光滑函数应该满足狄拉克
函数条件
：limW h0
(x
x,
h)
(x
x)
此性质确保了当光滑长度趋向于0时，近似值趋向于函数值。
第六为：光滑函数应为偶函数（对称性质）。 此性质表示与给定粒子距离相同但不同位置上的粒子对给定粒子的影响应该是相同的。
第七为：光滑函数应该充分光滑。 对于一个函数及其导数的近似，光滑函数必须充分连续以得到好的结果。
第四为：当粒子间的距离增大时，粒子的光滑函数值应该是单调递减的。 随着两个相互作用的粒子间距离增大，它们的相互作用力减小。
第五为：当光滑长度h
第一个条件为正规化条件： W (x x, h)dx 1
第二个条件是当光滑程度趋于零时具有狄拉克函数性质： limW (x x, h) (x x) h0
第三个条件是紧支性条件： W (x x,h) 0 | x x | h
x x f 为三维坐标向量 的函数；为包含 的积分体积；h 为光滑长度。 x x 是与点 处光滑函数相关的常数，并确定光滑函数的有效范围（非零），此有效范围称作点 处
光滑函数的构造
光滑函数 W在SPH近似法中起着重要作用，它决定了函数表达式的精度和计算效率。
一：光滑函数主要特性总结归纳如下：
第一 为正规化条件：W (x x, h)dx 1
第二为满足紧支性条件：W ( x x , h ) 0 | x x | h
此性质将SPH近似从全局坐标转换到局部坐标，这种转换将得到一系列稀疏矩阵，这对于计 算效率非常重要。
SPH的特点：
无网格：问题域用粒子表示，将粒子作为场变量近似的计算框架，无需划分网格单元，
更避免了网格扭曲与网格重构的麻烦。
自适应：场函数核近似是在每一时间步当前时刻连续域内的任意粒子的基础上进行的，
故SPH方程不受粒子随时间变化而任意分布的影响。
拉格朗日性质与粒子性质的和谐结合：将粒子近似法应用于拉格朗日描述下的基
场函数及导数的核近似法和粒子近似法 SPH相关概念
光滑函数的构造
构造条件 构造方法
基于Navier-Stokers方程的SPH方程
应用SPH近似法将Navier-Stokers方程进行空间离散为SPH方程形式。 介绍SPH方法相关的主要数值问题。
展望
SPH的提出：
SPH最初提出是用于解三维开放空间天体物理学问题，天体物理学中的一系列离散的行星物质点不适 合用连续的基于网格的方法进行模拟，基于无网格的粒子法：SPH被提出。
mj
j
f
(xj ) • W
(x
x j , h)
在上述方程中，梯度 W 与粒子 j相关，故在粒子i 处的函数粒子近似式最终可写成：
• f (xi )
N j 1
mj j
f
(xj
) • Wij
iWij
xi
xj rij
Wij rij
xij rij
Wij rij
应当注意的是，在粒子近似法中，方程引入了粒子的质量和密度。对于密度是关于场变量的流 体力学问题而言，这种方法非常适用。
SPH相关概念
支持域：域内所有的点的信息都被用于决定x处的点的信息。 影响域：一个点对周围产生影响的范围。
在无网格方法中，影响域只与节点有关，而支持域与任意位置点x相关，作为一种粒子法， SPH方法旨在粒子上对场变量进行计算，也就是说，位置x 永远位于粒子（节点）上。因此，
在SPH方法中，粒子同时具有支持域和影响域。
于密度、速度、能量等变量场的偏微分方程组的离散。
SPH基本方程的构造
SPH基本方程的构造常按两个关键步： 第一步为积分表示法，又称场函数及其导数核近似法； 第二步为粒子近似法。
第一步：核近似法
场函数核近似：
f (x) f (x)W (x x,h)dx
W为光滑函数，需满足条件：
二：函数和它的前两阶导数要达到 n阶近似，光滑函数用该满足：
M0 W (x x,h)dx 1
M1 （ x x）W (x x,h)dx 0
SPH的发展背景：
在模拟流体动力学问题中传统的基于网格方法的如FDM和FEM存在明显的局限性，比如爆炸或高速冲 击过程中存在的大变形、运动物质交界面、变形边界和自由表面的特性是基于网格的数值方法难以 求解的。
SPH的广泛应用：
在SPH法中，系统的状态由一系列的粒子来描述，这些粒子包含着独自的材料性质，而且以牛顿经典 力学作为控制方程，所以可以将流体这一连续介质离散为一系列的粒子来表示，通过追踪粒子的运 动就可以容易得到整个物理系统的特性，所以确定自由表面、运动交界面和变形边界不在是一项艰 难的工作，并且在材料上任意一点的场变量的时间历程也可以得到。所以SPH方法广泛应用于流体力 学中。
光滑函数的支撑域.
场函数的导数的核近似法:
• f (x) f (x)W (x x,h)dx
场函数导数的SPH积分表达式允许空间变量的梯度由场函数的值和光滑函数 W
的导数来确定，而不是由函数本身的导数来确定，这种性质可以减少对场函数连
续性的要求，结果稳定性更强。
第二步：粒子近似法：
光滑粒子流体动力学(SPH)
Smoothed Particles Hydrodynamistic
--A meshfree particle method
光滑粒子流体动力学方法(SPH):
是一种模拟流体流动的无网格、自适应 的纯拉格朗日的粒子法。
目录
SPH的产生、发展与应用 SPH方法的特点 SPH基本方程的构造：
将SPH核近似法相关的连续积分表达式转化为支持域内所有粒子叠加求和的
离散化形式：
f
(x)
N
j 1mjj来自f(xj )W
(x
x, h)
在粒子i 处的函数粒子近似式：
f (x j )
N mj
j1 j
f (x j )Wij
场函数空间导数的粒子近似式：
• f (x)
N
j1
趋向于0时，光滑函数应该满足狄拉克
函数条件
：limW h0
(x
x,
h)
(x
x)
此性质确保了当光滑长度趋向于0时，近似值趋向于函数值。
第六为：光滑函数应为偶函数（对称性质）。 此性质表示与给定粒子距离相同但不同位置上的粒子对给定粒子的影响应该是相同的。
第七为：光滑函数应该充分光滑。 对于一个函数及其导数的近似，光滑函数必须充分连续以得到好的结果。