高中数学人教版选修1-2同课异构教学课件：2.1.2 演绎推理 精讲优练课型

是________.
2.设函数f(x)=
,其中a为实数,若f(x)的定义
域为R,求实数a的取e值x 范围. x2 ax a
【解题探究】1.典例1中条件“ a＝ 5 1”的作用是什么?
提示:“ a＝
5 1”的作用是指明函数2的单调性.
2.典例2中“f2(x)的定义域为R”说明什么?
提示:“f(x)的定义域为R”说明“x2+ax+a≠0恒成立”.
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的 交线平行, 大前提 α∥β,且α∩γ=a,β∩γ=b, 小前提 所以a∥b. 结论 如果一条直线与一个平面垂直,那么这条直线和这个平 面内的任意一条直线都垂直, 大前提 l⊥α,a⊂α, 小前提
所以l ⊥a. 结论 如果一条直线和两条平行线中的一条垂直,那么它也与 另一条垂直, 大前提 a∥b,且l ⊥a, 小前提 所以l ⊥b. 结论
函数y=2x+1是一次函数…………………小前提 函数y=2x+1是定义域上的单调函数………结论 (3)所有循环小数都是有理数……………大前提 0. 是循环小数……………………………小前提
0. 3是有理数………………………………结论. 3
【方法技巧】将演绎推理写成三段论的方法 (1)用三段论写推理过程时,关键是明确大、小前提. (2)用三段论写推理过程中,有时可省略小前提,有时甚 至也可将大前提与小前提都省略. (3)在寻找大前提时,可找一个使结论成立的充分条件 作为大前提.
(3)三角函数问题:利用三角函数公式进行三角恒等变 换,证明三角恒等式. (4)数列问题:数列的通项公式,前n项和公式的应用,证 明等差数列和等比数列. (5)不等式类问题:如不等式恒成立问题,线性规划以及 基本不等式的应用问题.
【变式训练】设a>0,f(x)= ex a 是R上的偶函数. a ex
【延伸探究】在典例2条件不变的情况下,求f(x)的单 调减区间.
【解析】因为f′(x)= x x a 2ex ，
因为由f′(x)=0,得x=0或xx2 = a2x-aa. 2
因为0<a<4,所以当0<a<2时,2-a>0. 所以在(-∞,0)上,f′(x)>0,
在(0,2-a)上,f′(x)<0,在(2-a,+∞)上,f′(x)>0, 所以f(x)的单调减区间为(0,2-a). 当a=2时,f′(x)≥0恒成立; 当2<a<4时,2-a<0. 所以在(-∞,2-a)上,f′(x)>0,
(2)若集合M的所有元素都具有性质P,S是M中的一个子 集,那么S中的元素也具有性质P;若M中的元素都不具有 性质P,则S中的元素也不具有性质P. (3)从以上两点可以看出:三段论推理的结论正确与否, 取决于两个前提是否正确,推理形式是否正确.
特别提醒:演绎推理与合情推理的本质区别:合情推理 是由特殊到一般(特殊)的推理.由合情推理得到的结论 具有不可靠性,而由演绎推理得到的结论是可靠的.
DE∥BA,且FD∥AE,…………………小前提 所以四边形AFDE为平行四边形.………结论 因为平行四边形的对边相等,…………大前提 ED和AF为平行四边形AFDE的对边,……小前提 所以ED=AF.………………………………结论
【延伸探究】1.若增加条件“∠C=∠A”,证 明:∠BFD=∠BDF. 【证明】因为同位角相等,两直线平行,…大前提 ∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,……小前提 所以FD∥AE.………………………………结论
结论不超过前提所断定的范 围,前提和结论的联系是必 然的
应用不同
不能作为数学证明的工 具,但它具有创造性思维, 对于数学发现很有意义
可以作为数学证明的工具, 较少具有创造性,但它严密 的论证有助于数学的理论化 和系统化
两者紧密联系,互为依赖,互为补充. (1)演绎推理的一般性知识的大前提必须借助于归 纳推理从具体的经验中概括出来.从这个意义上可以 说,没有归纳推理就没有演绎推理. 联 (2)合情推理也离不开演绎推理,合情推理活动的目 系 的、任务和方向必须借助于理论思维,依靠人们先前 积累的一般性理论知识作指导.这本身就是一种演绎 活动,并且合情推理得到的结论正确与否,必须借助 于演绎推理去论证,从这个意义上说,没有演绎推理 也就没有合情推理
【变式训练】(2016·焦作高二检测)《论语》云:“名
不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐不兴;
礼乐不兴,则刑罚不中;刑罚不中,则民无所措手足;所
以名不正,则民无所措手足.”上述理由用的是( )
A.合情推理
B.归纳推理
C.类比推理
D.演绎推理
【解析】选D.由演绎推理的定义知,该推理为演绎推理.
类型一 用三段论表示演绎推理 【典例】1.(2016·淄博高二检测)“因为四边形ABCD 是矩形,所以四边形ABCD的对角线相等”,补充以上推 理的大前提是 ( ) A.正方形都是对角线相等的四边形
B.矩形都是对角线相等的四边形 C.等腰梯形都是对角线相等的四边形 D.矩形都是对边平行且相等的四边形 2.三段论:①平面内没有任何公共点的直线为平行线; ②直线a⊂α,b⊂α且a与b没有公共点;③a∥b中的小前 提是:________(填序号).
(2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系,只 要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论也必 定是正确的. (3)演绎推理是由一般到特殊的推理.
2.对“三段论”的三点说明 (1)三段论中的大前提提供了一个一般性原理,小前提 指出了一种特殊情况,两个命题结合起来,揭示了一般 性原理与特殊情况的内在联系,从而得到了第三个命 题——结论.
3.典例3把演绎推理写成三段论的关键是什么? 提示:分清大前提、小前提和结论.
【解析】1.选B.由大前提、小前提、结论三者的关系 知,大前提是“矩形都是对角线相等的四边形”. 2.根据演绎推理及三段论知,①是大前提;②是小前提; ③是结论. 答案:②
3.(1)一切偶数都能被2整除, ……………大前提 100是偶数…………………………………小前提 100能被2整除………………………………结论 (2)一次函数y=kx+b(k≠0)是定义域上的单调函数 …………………………………………………大前提
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.由演绎推理的概念可知说法①③④正确,
②不正确.
2.下列几种推理过程是演绎推理的是________. ①两条平行直线与第三条直线相交,内错角相等,如果 ∠A和∠B是两条平行直线的内错角,则∠A=∠B;②金导 电,银导电,铜导电,铁导电,所以一切金属都导电;③由 圆的性质推测球的性质;④科学家利用鱼的沉浮原理制 造潜艇.
如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直,那 平面垂直, 大前提 因为l⊥b,且直线b是平面β内的任意一条直线, 小前提 所以l⊥β. 结论
类型三 用三段论证明代数问题
【典例】1.(2016·菏泽高二检测)已知 a＝ 5 1,函数 f(x)=ax,若实数m,n满足f(m)>f(n),则m,n的大2 小关系
【解析】①是演绎推理;②是归纳推理;③④是类比推 理. 答案:①
【知识探究】 探究点 演绎推理 1.“三段论”与“演绎推理”有何关系? 提示:“三段论”是演绎推理的一般模式.
2.演绎推理所得的结论一定正确吗? 提示:不一定.演绎推理中只要前提和推理形式正确,其 结论才正确.
【归纳总结】 1.演绎推理的三个特点 (1)演绎推理的前提是一般性原理,演绎推理所得的结 论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵 于前提之中.
类型二 用三段论证明几何问题 【典例】如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∠BFD= ∠A,DE∥BA,求证:ED=AF,写出三段论形式的演绎推理.
【解题探究】本例证明“ED=AF”依据的前提是什么? 提示:四边形AFDE为平行四边形. 【解析】因为同位角相等,两直线平行, ……大前提 ∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,…………小前提 所以FD∥AE.……………………………………结论 因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形,…大前提
根据一般原理,对_________
结论 做出的判断
特殊情况
常用格式 M是P S是M
S是P
【即时小测】 1.下列说法正确的个数是 ( ) ①演绎推理是由一般到特殊的推理 ②演绎推理得到的结论一定是正确的 ③演绎推理的一般模式是“三段论”形式
④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推
理形式有关
A.1
3.将下列演绎推理写成三段论的形式. (1)一切偶数都能被2整除,100是偶数,所以100能被2 整除. (2)函数y=2x+1是定义域上的单调函数. (3) 是有理数.
0.3
【解题探究】1.典例1中的小前提和结论隐含了什么信 息? 提示:四边形ABCD、矩形、对角线相等. 2.典例2中,大前提、小前提、结论分别是什么? 提示:①是大前提;②是小前提;③是结论.
【解析】1.当0<a<1时,函数f(x)=ax为减函数, 大前提
a＝ 5∈1(0,1), 小前提
所以函2 数f(x)=
Hale Waihona Puke 为减函数( 5 1)x故由f(m)>f(n),得m2 <n.
结论
答案:m<n
2.若函数对任意实数值恒有意义,则函数定义域为R, 大前提
因为f(x)的定义域为R, 小前提 所以x2+ax+a≠0恒成立. 结论 所以Δ=a2-4a<0. 所以0<a<4,即当0<a<4时,f(x)的定义域为R.
2.1.2 演绎推理
【自主预习】 1.演绎推理 (1)含义:从一般性的原理出发,推出某个_________下
特殊情况 的结论,这种推理称为演绎推理. (2)特点:演绎推理是由_____到_____的推理.
一般 特殊
2.三段论
一般模式
大前提
_已__知__的__一__般__原__理__
小前提
_所__研__究__的__特__殊__情__况__
在(2-a,0)上,f′(x)<0,在(0,+∞)上,f′(x)>0, 所以f(x)的单调减区间为(2-a,0). 综上,当0<a<2时,f(x)的单调减区间为(0,2-a); 当2<a<4时,f(x)的单调减区间为(2-a,0).
【方法技巧】五类代数问题中的三段论 (1)函数类问题:比如函数的单调性、奇偶性、周期性 和对称性等. (2)导数的应用:利用导数研究函数的单调区间,求函数 的极值和最值,证明与函数有关的不等式等.
【方法技巧】 1.用“三段论”证明命题的格式 ×××××× (大前提) ×××××× (小前提) ×××××× (结论)
2.用“三段论”证明命题的步骤 (1)理清证明命题的一般思路. (2)找出每一个结论得出的原因. (3)把每个结论的推出过程用“三段论”表示出来.
【补偿训练】已知平面α∥平面β,直l⊥α,l∩α=A, 求证:l⊥β. 【证明】在平面β内任取一条直线b,平面γ是经过点A 与直线b的平面,设γ∩α=a.
【拓展延伸】合情推理与演绎推理的区别与联系
合情推理
演绎推理
思维方向 不同
归纳推理是从部分到整 体,从个别到一般的推理; 类比推理是从特殊到特 殊的推理
在一般性知识的前提下推出 一个特殊性的知识的结论, 即从一般到特殊的推理
区 别
前提与结 论联系的 性质不同
结论超过了前提所断定 的范围,其结论具有或然 性
因为两直线平行,同位角相等,……大前提 FD∥AE,且∠BDF与∠C是同位角,…小前提 所以∠BDF=∠C.………………………结论 又因为∠C=∠A,∠BFD=∠A…………小前提 所以∠BFD=∠BDF……………………结论
2.将典例中“∠BFD=∠A”改为“∠BFD=∠DEC”,如何 证明结论. 【证明】因为DE∥BA.所以∠DEC=∠A, 又因为∠BFD=∠DEC,所以∠BFD=∠A. 所以DF∥AC.又因为DE∥BA, 所以四边形AEDF为平行边行形. 所以ED=AF.
(1)求a的值. (2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数.
【解析】(1)因为f(x)是R上的偶函数,
所以对一切x∈R,都有f(x)=f(-x),
即 ex a 整理a 得ex
ex a
eax对一a1e切x xae∈x，R恒成立.