磁场高斯定理与环路定理

0 I cos dl 2r 0 I 0 I d rd 2 2r

.
0 I 2 2
I
r
d
B dl
0 I 2 2
B dl 0 I
3 不围绕单根载流导线，在垂直平面内的任一回路。
B dl B dl B dl
一、磁场中的高斯定理
S
B
m B dS
B dS 0
穿过任意闭合曲面的磁通量为零
1. 求均匀磁场中
半球面的磁通量
B
S1
O
课 堂 练 习
2. 在均匀磁场 B 3i 2 j
中，过YOZ平面内 面积为S的磁通量。 Y
R
S2
S
O
n
B
8-4 磁场中的高斯定理及 安培环路定理
S
B
S


n
B
m BS
m B S BS cos
S
dS
n
S
B
dS
n
Leabharlann Baidu
B
m B dS B cos dS
m B dS B cosdS
I
h
R1
R2
解： 1. B dl Bdl 2rB 0 NI B 0 NI 2r
R2 NI 0 2. B dS R1 2 r hdr 0 NIh R2 ln 2 R1
I
h
R2 R1
B dl 0 I i
I1 I4
l
I2
说明： 电流取正时与环路成右旋关系
I3
如图 B dl 0 I i
0 ( I 2 I 3 )
由环路内电流决定
B dl 0 I i 0 ( I 2 I 3 )
由环路内外电流产生 环路所包围的电流
B 0 nI 2
0 B 0 nI 两板外侧 两板之间

.........
练习：如图，螺绕环截面为矩形
I 1.7 A
导线总匝数 N 1000匝 外半径与内半径之比 R2 R1 1.6 高 h 5.0cm 求： 1. 磁感应强度的分布 2. 通过截面的磁通量
.
r
R2 . .
..
B
O
.. . . . ...
.
. . . . .
0 nI
R1
R2
r
4. 无限大载流导体薄板的磁场分布
已知：导线中电流强度 I 单位长度导线匝数n
I
分析对称性
磁力线如图 作积分回路如图 ab、cd与导体板等距
dB
b
a
.........
c
d
计算环流
b c B dl a Bdl cos 0 b Bdl cos 2
r
I 2 0 r 2 R
0 Ir B 2 2R
结论：无限长载流圆柱导体。已知：I、R
0 Ir 2R 2 B 0 I 2r
r R r R
B
0 I 2R
B
I B
O
R
r
讨论：长直载流圆柱面。已知：I、R
B dl Bdl 2rB
Bdl cos 0 d Bdl cos
d c
a

2
B ab B cd 2 B ab 利用安培环路定理求 B B dl 0 n ab I
b
a
.........
c
d
B 0 nI 2
板上下两侧为均匀磁场
讨论：如图，两块无限大载流导体薄板平行放置。 通有相反方向的电流。求磁场分布。 已知：导线中电流强度 I、单位长度导线匝数n
0 I 0
0 B 0 I 2r r R rR
r R r R
I R
0 I B 2R
O
R
r
练习：同轴的两筒状导线通有等值反向的电流I,
求 B的分布。
(1) r R2 , B 0
0 I ( 2) R1 r R2 , B 2r
方向 右手螺旋
I
计算环流
利用安培环路定理求 B
B dl 0 NI
0 NI 内 B 2r 外 0 R1、R2 R1 R2
N n B 2R1
B dl Bdl 2rB
. . . . .
. . . . . . . . . . . . . R1
磁场没有保守性，它是 非保守场，或无势场
1 s E dS 0 qi
电力线起于正电荷、 止于负电荷。 静电场是有源场
B dS 0
磁力线闭合、 无自由磁荷 磁场是无源场
二、安培环路定理的应用
B dl 0 I i
当场源分布具有高度对称性时，利用安培环路定理
0 nI B 0
内 外
a
d
b
c
I
. . . .. 3. 环形载流螺线管的磁场分布 . .. . . . 已知：I 、N、R1、R2 . . . N——导线总匝数 . . . r 分析对称性 . . R 1 . . . . 磁力线分布如图 R 2 . .. . 作积分回路如图 .. . . . . ...
I1 I4
是与闭合路径 相互套链的电流
I2
I3
l
不变
?
I4
B dl 0 I i 0 ( I 2 I 3 )
?
不变
?
I1
l
改变
I2
I1
I3
I2
I4
l
位置移动
I3
静电场
稳恒磁场
B dl 0 I i
i
E dl 0
电场有保守性，它是 保守场，或有势场
1、圆形积分回路
B dl 0 I
改变电流方向
0 I 0 I 0 I dl 2r dl B dl 2r 2r 2r
B dl 0 I
2、任意积分回路
B dl B cos dl
L
L1
L2
φ L1
I

o I
2π
[ d d ] 0
L1 L2
L1
L2 L2
推广：适用于非平面的任一闭合回路 适用于非直线电流
安培环路定理
在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度 B 沿任 意闭合曲线的线积分（也称 B的环流），等于穿过该
闭合曲线的所有电流强度（即穿过以闭合曲线为边界 的任意曲面的电流强度）的代数和的 0倍。即：
0 I B 2r 0 Ir B 2 2R 0 I B 2r
2. 长直载流螺线管的磁场分布
已知：I、n(单位长度导线匝数) 分析对称性 管内磁力线平行于管轴 管外靠近管壁处磁场为零
...............
B

I
计算环流
b c B dl a Bdl cos 0 b Bdl cos 2
Bdl cos d Bdl cos
a
d c

2
B ab
利用安培环路定理求
B dl 0 nabI
B
............... B

B dl Bdl 2rB
0
rR
I
R
r
B
2rB 0 I
0 I B 2r
作积分环路并计算环流 如图
B dl Bdl 2rB 利用安培环路定理求 B
B dl 0 I
rR
I
R
I
B
0
计算磁感应强度
1. 无限长载流圆柱导体的磁场分布
已知：I、R 电流沿轴向，在截面上均匀分布 分析对称性 电流分布——轴对称 磁场分布——轴对称
I
R
B 的方向判断如下：
r
l
dS1
O
d B dB2 dB1
P
dS 2
作积分环路并计算环流 如图
利用安培环路定理求 B
B dl 0 I
X
Z
S1 S2 0
S1 ( BR 2 ) 0
m B S ( 3i 2 j ) Si
S1 BR 2
3S
二、 安培环路定理
静电场 磁 场
I
l
E dl 0 B dl
r
?
B
R2
R1
I
r I
(3) r R1 , B 0
电场、磁场中典型结论的比较
电荷均匀分布 长直线 长 直 圆 柱 面
长 直 圆 柱 体 内 外
电流均匀分布
E 2 0 r
E0
0 I B 2r
B0
内
外
E 2 0 r r E 2 2 0 R E 2 0 r