考研数学线性代数强化习题-相似与相似对角化

（C） 1,3,2
（D） 1 2,1 2,3
10、已知 Ai ii (i 1, 2, 3) ，其中 1 (1, 2, 2)T ,2 (2, 2,1)T ,3 (2, 1, 2)T ，求
A ______________.
2 0 0
2 0 0
11、已知矩阵 A 0
0
1
与
B
0
y
0
（C）1和 1所对应的特征向量正交
（D） Ax 0的基础解系由一个向量构成 5、设 A、B为n 阶方阵，且对 ,有 | E A || E B | ，则（ ）
（A）| E A || E B | （B） A与B 相似
（C） A与B 合同
（D） A、B 同时可相似对角化或不可相似对角化
6、设 A 为 n 阶方阵，满足 A2 A ，证明：（1） r A E r A n ；（2）矩阵 A 可
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（A）1 （B）2 （C）3 （D）不能确定
三．相似对角化中 P 与 的计算
2 0 0
9、已知
P
1
AP
0
6
0
,
1
是矩阵
A
属于特征值
2
的特征向量， 2
,3
是矩阵
0 0 6
A 属于特征值 6 的特征向量，那么矩阵 P 不能是（ ）
（A） 1, 2,3
（B） 1,2 3,2 23
2 / 15
以相似对角化.
7 、 设 A 为 三 阶 方 阵 ， 1,2 ,3 为 三 维 线 性 无 关 列 向 量 组 ， 且 有 A1 2 3 ，
A2 3 1, A3 1 2 .
（1）求 A 的全部特征值； （2） A 是否可对角化？ 8、已知三阶矩阵 A 的特征值为 0,1, 2 ，设 B A3 2A2 , 则r(B) （ ）
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Ⅱ参考答案
一．相似矩阵
1、【答案】（C）
【解析】：（A）中， r A 1, r B 2，故 A 和 B 不相似.
（B）中， tr A 9,tr B 6 ，故 A 和 B 不相似.
（D）中， A 的特征值为 2, 2, 3 ， B 的特征值为1,3, 3 ，故 A 和 B 不相似. 由排除法可知：只有（C）中矩阵 A 和 B 可能相似. 事实上，在（C）中， A 和 B 的特征值均为 2, 0, 0 ，由于 A 和 B 均可相似对角化，也即 A
模块九 相似与相似对角化
Ⅰ经典习题
一．相似矩阵
1、下列矩阵中， A 和 B 相似的是（ ）
2 0 1 2 0 0
（A）
A
0
0
0
,
B
0
0
1
0 0 0 0 0 0
1 2 0 2 1 1
（B）
A
2
3
1
,
B
1
2
0
0 1 5 1 0 2
2 0 1 2 0 3
A
0
0
0
,
B
0
0
值.试求可逆矩阵 P ,使得 P1AP 为对角矩阵.
14、设矩阵 A 与 B 相似,其中
2 0 0 1 0 0
A
2
x
2
,
B
0
2
0
.
3 1 1 0 0 y
（1）求 x 和 y 的值; （2）求可逆矩阵 P ,使 P1AP B .
四． An 的计算
1 a 1
15、已知
A
、
B
为三阶矩阵，满足
AB
B
0
，
B
0
0
1
，齐次方程组
AX
0有
1 1 0
0
非零解
1
，（1）求
a
的值；（2）求可逆矩阵
P
，使
P1
AP
为对角矩阵；
0
（3）求秩 R(A E) ；（4）计算行列式 A E ；（5）求 (A E)100
五．对实对称矩阵性质的考查
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16、设 A为n 阶实对称矩阵，则( ) （A） A 的n 个特征向量两两正交 （B） A 的n 个特征向量组成单位正交向量组
（C） A的k 重特征值 0 有 r 0E A n k （D） A的k 重特征值 0有r 0E A k
17 、 设 二 阶 实 对 称 矩 阵 A 的 一 个 特 征 值 1 1 ， 属 于 1 的 特 征 向 量 为 (1, 1)T ， 若 | A | 2 ，则 A ______________.
0
（C） 0 0 0
0 0 0
2 0 0 1 0 0
A
0
2
0
,
B
0
3
0
（D） 0 0 3
0 0 3
2、设 A, B 均为 n 阶矩阵， A 可逆且 ，则下列命题中
①
②
正确的有（ ）个.
（A）1 （B） 2
③
（C） 3
二．相似对角化的条件
④
（D） 4
3、下列矩阵中，不能相似对角化的是（ ）
相似:
0 1 x
0 0 1
（1）求 x 与 y ；（2）求一个满足 P1AP B 的可逆矩阵 P
3 2 2
A k
1
k
12、设矩阵 4 2 3 .问当 k 为何值时,存在可逆矩阵 P ,使得 P1AP 为对角矩阵?
并求出 P 和相应的对角矩阵.
1 1 1
A
x
4
y
13、设矩阵 3 3 5 ,已知 A 有三个线性无关的特征向量, 2 是 A 的二重特征
0 1 1 18、设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 1, 2 3 1 ,对应于 1 的特征向量为 1 , 求 A.
六．实对称矩阵的正交相似对角化
19、设 A 是 n 阶矩阵，且有 n 个相互正交的特征向量，证明 A 是实对称矩阵
20、设三阶对称矩阵 A 的特征值为 1 2, 1 1, 1 1，1 1 1 0T 是 A 的属于 1
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1 0 1
（A）
0
2
3
1 3 Hale Waihona Puke Baidu
1 0 0
（B）
3
2
0
2 1 1
1 0 1
2
0
2
（C） 3 0 3
2 2 3
0
2
3
（D） 0 0 1
4、已知三阶矩阵 A 的特征值为 0, 1 ，则下列结论中不正确的是（ ）
（A）矩阵 A 是不可逆的 （B）矩阵 A 的主对角元素之和为 0
特征值的特征向量，记 B A3 A 2E
（1）验证1 1 1 0T 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与其对应的特征向
量； （2）求矩阵 B
七．综合
21、 A为3 阶实对称矩阵，且满足条件 A2 2A 0, r( A) 2 . （1）求 A 的全部特征值. （2）当 k 为何值时，矩阵 A kE 为正定矩阵，其中 E 为 3 阶单位矩阵.