【创新设计】2021届高考数学(北师大版)一轮训练：第7篇 第3讲 平行关系

第3讲平行关系

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．已知直线a，b，c及平面α，β，下列条件中，能使a∥b成立的是()．A．a∥α，bαB．a∥α，b∥α

C．a∥c，b∥c D．a∥α，α∩β＝b

解析由平行公理知C正确，A中a与b可能异面．B中a，b可能相交或异面，D中a，b可能异面．

答案 C

2．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB平面α，C D⃘平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是()．A．平行B．平行和异面

C．平行和相交D．异面和相交

解析∵AB∥CD，ABα，C D⃘α⇒CD∥α，

∴CD和平面α内的直线没有公共点．

答案 B

3．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是()．A．AB∥CD B．AD∥CB

C．AB与CD相交D．A，B，C，D四点共面

解析充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.

必要性显然成立．

答案 D

4．(2014·渭南质检)若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是()．A．若m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线

B．若m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线

C．已知α，β互相平行，m，n互相平行，若m∥α，则n∥β

D．若m，n在平面α内的射影互相平行，则m，n互相平行

解析A中，m，n可为相交直线；B正确；C中，n可以平行β，也可以在β内；D中，m，n也可能异面．

答案 B

5．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则()．A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形

B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形

C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形

D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形

解析如图，由题意知EF∥BD，

且EF＝1

5BD.

HG∥BD，且HG＝1

2BD.

∴EF∥HG，且EF≠HG.

∴四边形EFGH是梯形．

又EF∥平面BCD，

而EH与平面ADC不平行．故选B.

答案 B

二、填空题

6．过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．

解析过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共6条．

答案 6

7．(2014·宝鸡质检)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为______．

解析如图．

连接AC，BD交于O点，连接OE，因为OE∥BD1，而OE平面ACE，BD1平面ACE，所以BD1∥平面ACE.

答案平行

8．(2014·临川二中模拟)设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：①a∥γ，bβ；②a∥γ，b∥β；③b∥β，aγ.如果命题“α∩β＝a，bγ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(把所有正确的题号填上)．

解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当b∥β，aγ时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.

答案①或③

三、解答题

9．(2014·青岛一模)四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，N是PB中点，过A，N，D三点的平面交PC于M.

(1)求证：PD∥平面ANC；

(2)求证：M是PC中点．

证明(1)连接BD，AC，设BD∩AC＝O，连接NO，

∵ABCD是平行四边形，

∴O是BD中点，在△PBD中，

又N是PB中点，∴PD∥NO，

又NO平面ANC，PD平面ANC，

∴PD∥平面ANC.

(2)∵底面ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，

又∵B C⃘平面ADMN，AD平面ADMN，

∴BC∥平面ADMN，因平面PBC∩平面ADMN＝MN，

∴BC∥MN，又N是PB中点，

∴M是PC中点．

10.如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在

CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．

(1)求证：E，B，F，D1四点共面；

(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F.

证明(1)∵AE＝B1G＝1，∴BG＝A1E＝2，

∴BG綊A1E，∴A1G綊BE.

又同理，C1F綊B1G，

∴四边形C1FGB1是平行四边形，

∴FG綊C1B1綊D1A1，

∴四边形A1GFD1是平行四边形．

∴A1G綊D1F，∴D1F綊EB，

故E、B、F、D1四点共面．

(2)∵H 是B 1C 1的中点，∴B 1H ＝3

2. 又B 1G ＝1，∴B 1G B 1

H ＝23.又FC BC ＝2

3，

且∠FCB ＝∠GB 1H ＝90°，

∴△B 1HG ∽△CBF ，∴∠B 1GH ＝∠CFB ＝∠FBG ， ∴HG ∥FB .

又由(1)知A 1G ∥BE ，且HG ∩A 1G ＝G ， FB ∩BE ＝B ，∴平面A 1GH ∥平面BED 1F .

能力提升题组 (建议用时：25分钟)

一、选择题

1．(2014·安康中学模拟)设m ，n 是平面α内的两条不同直线；l 1，l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是 ( )．

A ．m ∥β且l 1∥α

B ．m ∥l 1且n ∥l 2

C ．m ∥β且n ∥β

D ．m ∥β且n ∥l 2

解析 对于选项A ，不合题意；对于选项B ，由于l 1与l 2是相交直线，而且由l 1∥m 可得l 1∥α，同理可得l 2∥α，又l 1与l 2相交，故可得α∥β，充分性成立，而由α∥β不一定能得到l 1∥m ，它们也可以异面，故必要性不成立，故选B ；对于选项C ，由于m ，n 不一定相交，故是必要非充分条件；对于选项D ，由n ∥l 2可转化为n ∥β，同选项C ，故不符合题意． 答案 B

2．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是

( )．