北师大版数学九年级下册 3.8 第五课时 圆内接正多边形课件(共23张PPT)

7.将一个正五边形绕它的中心旋转,至少要旋转 72 度, 才能与原来的图形位置重合.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的中心，正多 边形的半径， 正多边形的中心角，正多边形的边心 距． 2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长，正多 边形的边心距之间的等量关系．
1
B2
5E
∴∠1=∠2， 同理∠2=∠3=∠4=∠5，
3
4
C
D
又∵顶点A，B，C，D，E都在⊙O上，
∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形.
（2）连接OA，OB，OC，则 ∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB. ∵TP，PQ，QR分别是以A，B，C 为切点的⊙O的切线， ∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ. ∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.
THE END 17、一个人如果不到最高峰，他就没有片刻的安宁，他也就不会感到生命的恬静和光荣。2021/3/42021/3/42021/3/42021/3/4
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9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/3/42021/3/4Thursday, March 04, 2021
10、人的志向通常和他们的能力成正比例。2021/3/42021/3/42021/3/43/4/2021 10:06:32 AM 11、夫学须志也，才须学也，非学无以广才，非志无以成学。2021/3/42021/3/42021/3/4Mar-214-Mar-21 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。2021/3/42021/3/42021/3/4Thursday, March 04, 2021 13、志不立，天下无可成之事。2021/3/42021/3/42021/3/42021/3/43/4/2021
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
以中心为圆心,边心距为半径的圆与各边有何位置关系? 以中心为圆心,边心距为半径的圆为正多边形的内切圆。
中心角 360 n
中心角 E
边心距把△AOB分成
2个全等的直角三角形
F
.O
180
R
AOG BOG
n
设正多边形的边长为a,边数为n， A
G
圆的半径为R,它的周长为L=na.
边心距r
R
2（
a
2
5.正多边形都是轴对称图形，如果边数是偶数那么 它还是中心对称图形. 6.正n边形的中心角和它的每个外角都等于360°/n， 每个内角都等于(n-2)·180°/n . 7.边数相同的正多边形相似，周长比、边长比、半 径比、边心距比、对应对角线比都等于相似比，面 积比等于相似比的平方.
【例2】有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边形,求地 基的周长和面积(精确到0.1m2). 【解析】如图，正六边形ABCDEF的中心角为60°，△OBC 是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.
3.正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的__中__心__．
4.正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的
_边__心__距___．
5.若正六边形的边长为1,那么正六边形的中心角是_6__0_度，
半径是__1_，边心距是
3 2
，它的每一个内角是
_1_2_0_°．
6.正n边形的一个外角度数与它的__中__心__角的度数相等．
3.8 圆内接正多边形
1.了解正多边形和圆的有关概念. 2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心 角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多 边形．
你还能举出更多正多边形的例子吗？
三条边相等，三个角也相 等（60°）.
正多边形：
四条边都相等，四个角 也相等（90°）.
__各__边__相__等___，_各__角__也__相__等____的多边形叫做正多边形.
因此,亭子地基的周长 l =4×6=24(m).
在Rt△OPC中,OC=4,PC=2.利用勾股定理, F
E
可得边心距 r 42 22 2 （ 3 m）.
A
O
D
亭子地基的面积
1
1
S lr 24 2
3 41.6(m 2 ).
2
2
rR BP C
【跟踪训练】分别求出半径为R的圆内接正三角形、
P B Q
C
A
T
E O
S
D R
又∵A⌒B=⌒BC， ∴AB=BC， ∴△PAB与△QBC是全等的等腰三角形. ∴∠P=∠Q,PQ=2PA. 同理∠Q=∠R=∠S=∠T，
QR=RS=ST=TP=2PA， ∵五边形PQRST的各边都与⊙O相切， ∴五边形PQRST是⊙O的外切正五边形.
【定理】
把圆分成n（n≥3）等份：
正方形的边长、边心距和面积.
【解析】作等边△ABC的BC边上的高AD,垂足为D
连接OB，则OB=R，
在Rt△OBD中,∠OBD=30°,
边心距OD=1 R.
A
2
在Rt△ABD中,∠BAD=30°,
AD OA OD R 1 R 3 R，
22
∴AB= 3R,
B
3
∴S△ABC=
3R • 2 R 3
F
怎样找圆的外切正n边形？
【例题】
【例1】把圆分成5等份，求证：
⑴依次连接各分点所得的五边形是这个圆的内接 正五边形；
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为 顶点的五边形是这个圆的外切正五边形.
证明:(1）∵A⌒B=⌒BC=⌒C⌒D=D⌒E=EA，
A
∴AB=BC=CD=DE=EA，
∵B⌒CE=⌒CDA⌒=3AB，
22
R
2R,
2
S正方形ABCD AB BC
2
2R 2R2.
1.下列图形中：①正五边形；②等腰三角形；③正八 边形；④正2n（n为自然数）边形；⑤任意的平行四边 形.是轴对称图形的有__①__②__③__④__,是中心对称图形的 有__③__④__⑤___,既是中心对称图形，又是轴对称图形的 有___③__④____. 2.两个正七边形的边心距之比为3:4，则它们的边长比 为_3__:4__，面积比为_9_:_1_6_，外接圆周长比是__3_:_4__，中 心角度数比是__1_:_1__.
） ，
2
面积S 1 L • 边心距（r） 1 na • 边心距（r）
2
2
D
C
a
B
正多边形是轴对称图形，正n边形有n条对称轴. 若n为偶数，则其为中心对称图形.
A
B O
A
E
B
F
O
C
D
C
E
D
【归纳】正多边形的性质
1.各边相等，各角相等. 2.圆的内接正n边形的各个顶点把圆分成n等份. 3.圆的外切正n边形的各边与圆的n个切点把圆分成 n等份. 4.每个正多边形都有一个内切圆和外接圆，这两个 圆是同心圆，圆心就是正多边形的中心.
3R 2 .
2
4
·O
D
C
连接OB，OC 作OE⊥BC，垂足为E，∠OEB=90°，
∠OBE=∠BOE=45°，
Rt△OBE为等腰直角三角形，
A
D
BE 2 OE 2 OB2 ,
·O
2OE 2 OB2 ,
OE 2 OB2 . 2
B
E
C
边心距OE 2 OB 2 R,
2
边长BC 2BE 2
。2021年3月4日星期四2021/3/42021/3/42021/3/4 15、会当凌绝顶，一览众山小。2021年3月2021/3/42021/3/42021/3/43/4/2021 16、如果一个人不知道他要驶向哪头，那么任何风都不是顺风。2021/3/42021/3/4March 4, 2021
依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边 形；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为 顶点的多边形是这个圆的外切正n边形. 一个正多边形是否一定有外接圆和内切圆？
【类比联想】
正三角形 有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？ 这两个圆有什么位置关系？
正方形 有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？ 这两个圆有什么位置关系？
那么，正n边形呢？
【定理】任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且
这两个圆是同心圆.
正多边形的中心:
E
D
一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径: 外接圆的半径 正多边形的中心角:
F
. 中心角
O.
半径R
C
边心距r
正多边形的每一边所对的圆心角.
正多边形的边心距：
A
B
中心到正多边形的一边的距离.
正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边
形叫做正n边形.
【想一想】
菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？
A
求证：正五边形的对角线相等
B
E
C
D
怎样找圆的内接正三角形？ A
D
怎样找圆的外切正三角形？
H
B
C
A
D
怎样找圆的内接正方形？
E
0
G 怎样找圆的外切正方形？
B
C
怎样找圆的内接正n边形？