第17章 勾股定理 复习

第十七章 勾股定理

教学目标：

1.会用勾股定理解决简单问题。

2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。

3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题。 教学重点：回顾并思考勾股定理及逆定理

教学难点：勾股定理及逆定理在生活中的广泛应用。 教学过程： 一、出示目标

1.会用勾股定理解决简单问题。

2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。

3.会用勾股定理解决综合问题和实际问题。 二、知识结构图

三、知识点回顾 1.勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：（1）已知直角三角形的两边求第三边

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题

（4）勾股定理的直接作用是知道直角三角形任意两边的长度，求第三边的长．这里一定要注意找准斜边、直角边；二要熟悉公式的变形：

22222222,,b a c a c b b c a +=-=-=,2222,a c b b c a -=-=．

勾股定理的探索与验证，一般采用“构造法”．通过构造几何图形，并计算图形面积得出一个等式，从而得出或验证勾股定理． 2.如何判定一个三角形是直角三角形

（1） 先确定最大边（如c ）

（2） 验证2c 与22b a +是否具有相等关系

（3） 若2c =22b a +，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若

2c ≠22b a +， 则△ABC 不是直角三角形。

3、三角形的三边分别为a 、b 、c ，其中c 为最大边，若2

22c b a =+，则三角形是直角三角形；若222c b a >+，则三角形是锐角三角形；若2

<+c b a 22，则三

角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边 4、勾股数 满足22b a +=2c 的三个正整数，称为勾股数

如（1）3，4，5； （2）5，12，13； （3）6，8，10；（4）8，15，17 （5）7，24，25 （6）9, 40, 41 四、典型例题分析

例1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm 和8cm ，那么这个三角形的周长和面积分别是多少?

分析： 这里知道了直角三角形的两条边的长度，应用勾股定理可求出第三条边的长度，再求周长．但题中未指明已知的两条边是_________还是_______，因此要分两种情况讨论．

例2： 如图19—11是一只圆柱形的封闭易拉罐，它的底面半径为4cm ，高为15cm ，问易拉罐内可放的搅拌棒(直线型)最长可以是多长?

分析：搅拌棒在易拉罐中的位置可以有多种情形，如图中的B A 1、B A 2，但它们都不是最长的，根据实际经验，当搅拌棒的一个端点在B 点，另一个端点在A 点时最长，此时可以把线段AB 放在Rt △ABC 中，其中BC 为底面直径． 例3：已知单位长度为“1”，画一条线段，使它的长为29．

分析：29是无理数，用以前的方法不易准确画出表示长为29的线段，但由勾股定理可知，两直角边分别为________的直角三角形的斜边长为29.

例4：如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 为CD 上一点，且．求

证：△AEF 是直角三角形．

分析：要证△AEF 是直角三角形，由勾股定理的逆定理，只要证

_________________________________________即可．

例5：如图，在四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD ⊥BD ．

分析：可将直线的互相垂直问题转化成直角三角形的判定问题．

例6：已知：如图△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DA⊥CA于A．求：BD的长．

分析：可设BD长为xcm，然后寻找含x的等式即可，由AB=AC=10知△ABC 为等腰三角形，可作高利用其“三线合一”的性质来帮助建立方程．

例7：一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B 点，那么它所爬行的最短路线的长是__________________________________．（分析：可以）

分析：将点A 与点B 展开到同一平面内，由：“两点之间，线段最短。”再根据“勾股定理”求出最短路线

五、补充本章注意事项

勾股定理是平面几何中的重要定理，其应用极其广泛，在应用勾股定理时，要注意以下几点： 1、要注意正确使用勾股定理

例1 在Rt △ABC 中，∠B=Rt ∠，a=1，3b =，求c 。 2、要注意定理存在的条件

例2 在边长为整数的△ABC 中，AB>AC ，如果AC=4，BC=3，求AB 的长。 3、要注意原定理与逆定理的区别

例3 如图1，在△ABC 中，AD 是高，且CD BD AD 2

⋅=，求证：△ABC 为直角

三角形。

4、要注意防止漏解

例4 在Rt △ABC 中，a=3，b=4，求c 。

5、要注意正逆合用

在解题中，我们常将勾股定理及其逆定理结合起来使用，一个是性质，一个是判定，真所谓珠联壁合。当然在具体运用时，到底是先用性质，还是先用判定，要视具体情况而言。

例5 在△ABC 中，D 为BC 边上的点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，那么DC=_________。

6、要注意创造条件应用

例6 如图3，在△ABC 中，∠C=90°，D 是AB 的中点，DE ⊥DE ，DE 、DF 分别交AC 、BC 、于E 、F ，求证：222BF AE EF +=

分析 因为EF 、AE 、BF 不是一个三解形的三边，所以要证明结论成立，必须作适当的辅助线，把结论中三条线段迁移到一个三角形中，然后再证明与EF 相等的边所对的角为直角既可，为此，延长ED 到G ，使DG=DE ，连结BG 、FG ，则易证明信BG=AE ，GF=EF ，

∠DBG=∠DAE=∠BAC ，由题设易知∠ABC+∠BAC=90°，故有∠FBG=∠FBD+∠DBG=∠ABC+∠BAC=90°，在Rt △FBG 中，由勾股定理有：

222BG BF FG +=，从而222BF AE EF +=。