金融时间序列分析复习资料

一、单项选择题（每题2分，共20分）

P61关于严平稳与（宽）平稳的关系；

弱平稳的定义：对于随机时间序列y t，如果其期望值、方差以及自协方差均不随时间t的变化而变化，则称y t为弱平稳随机变量，即y t必须满足以下条件：

对于所有时间t，有

（i） E（yt）=μ为不变的常数；

（ii） Var（yt）=σ²为不变的常数；

（iii） γj=E[y t-μ][y t-j-μ]，

j=0，±1，,2，…

（j为相隔的阶数）

（μ=0，cov（y t，y t-j）=0，Var（yt）=σ²时为白噪音过程，常用的平稳过程。）

从以上定义可以看到，凡是弱平稳变量，都会有一个恒定不变的均值和方差，并且自协方差只与y t和y t-j之间的之后期数j有关，而与时间t没有任何关系。

严平稳过程的定义：如果对于任何j1,，j2，...,j k,随机变量的集合（y t，y t+j1,，y t+j2，…，y t+jk）只依赖于不同期之间的间隔距离（j1，j2，…，j k），而不依赖于时间t，那么这样的集合称为严格平稳过程或简称为严平稳过程，对应的随机变量称为严平稳随机变量。

P46 的阶差分是；△ｋX t=△ ｋ-1X t-△ ｋ-1X t-1，△表示差分符号。

滞后算子；P54对于AR： L p y t=y t-p，对于MA：Lｐεt=εt-ｐ

AR（p）模型即自回归部分的特征根—平稳性；确定好差分方程的阶数，则其特征方程为：λp-α1λp-1-α2λp-2-…-αp=0，若所有的特征根的│λ│<1则平稳

补充：逆特征方程为：1-α1ｚ1-α2ｚ²-…-αpｚp=0，若

所有的逆特征根│ｚ│>1，则平稳。注意：特征根和逆特征方程的根互为倒数。

如：p57作业3： y t=1.2y t-1-0.2y t-2+εt，为二阶差分，其特征方程为：λ2-1.2λ+0.2=0，解得λ1=1，λ2=0.2，由于λ1=1，所以不平稳。

MA(q)模型，则移动平均部分的特征根----可逆性；p88

所谓可逆性，就是指将MA过程转化成对应的AR过程

MA可逆的条件是其逆特征方程的根全部落在单位圆外，

即1+θ1ｚ1+θ2ｚ²+…+θpｚp=0，│ｚ│>1，

此题q为2，逆特征方程为：1-1.1ｚ+0.24ｚ²=0，

解得：Z=

关于AR（p）模型与MA（q）的拖尾与截尾---建模观察相关图定阶；如表所示：

AR（p）MA（q）ARMA（p，q）ACF拖尾q期后截尾拖尾

PACF P期后截尾拖尾拖尾

若一序列满足ARIMA( p, d, q)模型(d > 0) , 则此序列平稳吗？

答：平稳，因为ARIMA( p, d, q)模型表表示经过d次差分后的序列，其必定是平稳时间序列。

二、填空题（每题2分，共20分）。

平稳时间序列的特点：平稳时间序列的特征方程的单位根的绝对值都小于1,逆特征方程的根的绝对值都大于1。

（i） E（yt）=μ为不变的常数；

（ii） Var（yt）=σ²为不变的常数；

（iii） γj=E[y t-μ][y t-j-μ]，

j=0，±1，,2，…

（j为相隔的阶数）

ARMA 所对应的AR特征方程为？其MA逆特征方程为？

对于自回归移动平均过程ARMA（p，q）：y t=c+α1y t-1+α2y t-2+…+αp y t-p+εt+θ1εt+θ2εt-2+…+θqεt-q，其对应的AR 的特征方程为：λp-α1λp-1-α2λp-2-…-αp=0，MA的逆特征方程为：1+θ1ｚ1+θ2ｚ²+…+θpｚp=0

已知AR（1）模型为：，则= 20/3 ,偏自相关系数= 0.7 。

设{为一时间序列，B为延迟算子，则y t-2。

如果观察序列的时序图平稳，并且该序列的自相关图拖尾，偏相关图1阶截尾，则选用什么ARMA模型来拟合该序列？

ARMA模型包括：AR（）,MA（）.ARMA（）。

由此表可知

AR（p）MA（q）ARMA（p，q）ACF拖尾q期后截尾拖尾

PACF P期后截尾拖尾拖尾

应选用AR（1）模型来拟合该序列，

条件异方差模型记号:

ARCH(p),

GARCH(p，q),GARCH-in-

Mean,TGARCH,EGARCH,PGARCH,CGARCH,

三、计算题（ 共4小题，每小题5分，共20分）

P57运用滞后算子得出其逆特征方程

1-α1ｚ1-α2ｚ²-…-αpｚp=0。或用特征方程：：λp-α1λp-1-α2λp-2-…-αp=0

例p57（1）.y t=1.2y t-1-0.2y t-2+εt，

为二阶差分，其特征方程为：λ2-1.2λ+0.2=0，解得λ1=1，λ2=0.2，由于λ1=1，所以不平稳。为一阶单整。

对下列ARIMA模型，求和。

（为零均值、方差为的白噪声序列）

关于上面答案的分析：var表示方差，因为白噪音为均值为零、相关系数

cov（y t，y t-j）=0也为零，又方差为，所以得到以上运算结果；

注意方差的运算及性质：

1．设C为常数，则D(C) = 0（常数无波动）；

2．D(CX)=C2 D(X) （常数平方提取）；

3.当X与Y相互独立时，D(X±Y)=D(X)+D(Y)

4.当X与Y不独立时，D(X±Y)=D(X)+D(Y)+cov（X,Y）

对于ARMA过程写出其自回归部分ar()及移动平均部分ma()的特征方程，并求出其各自的特征根，进而判断所给定的过程是否稳定？是否可逆？

对于自回归移动平均过程ARMA（p，q）：

y t=c+α1y t-1+α2y t-2+…+αp y t-p+εt+θ1εt+θ2εt-2+…+θqεt-q，其对应的AR的特征方程为：λp-α1λp-1-α2λp-2-…-αp=0，MA的逆特征方程为：1+θ1ｚ1+θ2ｚ²+…+θpｚp=0。 因为ARMA模型中MA一定平稳，所以若AR平稳则ARMA平稳，即AR的特征方程的根全都小于零。

假定某公司的年销售额（单位：百万美元)符合AR(2)模型：其中。2005年、2006年和2007年的销售额分别是800万美元，1000万美元和1200万美元，预测2008年和2009年的销售额。

Y2008=6+Y2007-0.4Y2006=806（万美元）；Y2009=6+Y2008-

0.4Y2007=332（万美元）

四、证明题（16分）

P111

考虑MA（2）模型