极点与极线法解高中圆锥曲线

极点与极线背景下的高考试题
极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景.
1.从几何角度看极点与极线
定义1 如图1，设P 是不在圆锥曲线上的一点，过P 点引
两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,E F G H ，连接,EH FG
交于N ，连接,EG FH 交于M ，则直线MN 为点P 对应的极线. 若P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线.
由图1同理可知， PM 为点N 对应的极线，PN 为点M 所
对应的极线.因而将MNP 称为自极三点形.设直线MN 交圆锥曲线 于点,A B 两点，则,PA PB 恰为圆锥曲线的两条切线.
定理1 (1)当P 在圆锥曲线Γ上时，则点P 的极线是曲线
Γ在P 点处的切线；
(2)当P 在Γ外时，过点P 作Γ的两条切线，设其切点分别为,A B ，则点P 的极线是直线AB (即切点弦所在的直线)；
(3) 当P 在Γ内时，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，设Γ在,A B 处的切线交于点Q ，则点P 的极线是动点Q 的轨迹.
定理2 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的极线为l ，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，
交l 于Q ，则PA PB
AQ BQ
= ①；反之，若有①成立，则称点,P Q 调和分割线段AB ，或称点P 与Q 关于Γ调和共轭，或称点P (或点Q )关于圆锥曲线 Γ的调和共轭点为点Q (或点P ).点P 关于圆锥曲线Γ的调
和共轭点是一条直线，这条直线就是点P 的极线.
推论1 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的调和共轭 点为点Q ，则有211PQ PA PB =+ ②；反之，若有②成立， 则点P 与Q 关于Γ调和共轭. 可以证明①与②是等价的.事实上，由①有
11AQ BQ PQ PA PB PQ PQ PQ PA PB PA PB PA PB --=⇒=⇒-=-11
()2PQ PA PB ⇒⋅+= 211PQ PA PB
⇒=+.
特别地，我们还有
推论2 如图3，设点P 关于有心圆锥曲线Γ(设其中心为O )的调和共轭点为点Q ，
PQ 连线经过圆锥曲线的中心，则有2OR OP OQ =⋅ ，反之若有此式成立，则点P 与Q 关于Γ调和共轭.
证明：设直线PQ 与Γ的另一交点为R '，则
PR PR OP OR OP OR
RQ R Q OR OQ OR OQ '-+=⇒='-+，化简
图
1
图2
即可得2
OR OP OQ =⋅.反之由此式可推出
PR PR RQ R Q
'
='，即点P 与Q 关于Γ调和共轭. 推论3 如图4，,A B 圆锥曲线Γ的一条 对称轴l 上的两点(不在Γ上)，若,A B 关于Γ调 和共轭，过B 任作Γ的一条割线，交Γ于,P Q 两点，则PAB QAB ∠=∠.
证明：因Γ关于直线l 对称，故在Γ上存在
,P Q 的对称点,P Q ''.若P '与Q 重合，则Q '与P
也重合，此时,P Q 关于l 对称，有PAB QAB ∠=∠；
若P '与Q 不重合，则Q '与P 也不重合，由于,A B
关于Γ调和共轭，故,A B 为Γ上完全四点形PQ QP ''
的对边交点，即Q '在PA 上，故,AP AQ 关于直线l 对称，也有PAB QAB ∠=∠.
定理3 (配极原则)点P 关于圆锥曲线Γ
的极线p 经过点Q ⇔点Q 关于Γ的极线q 经过点P ；直线p 关于Γ的极点P 在直线q 上⇔直线q 关于Γ的极点Q 在直线p 上.
由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线. 以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【1】，其中定理1的初等证法可参阅文【2】.
2.从代数角度看极点与极线
定义2 已知圆锥曲线22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=，则称点00(,)P x y 和直线0000:()()0l Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=是圆锥曲线Γ的一对极点和极线.
事实上，在圆锥曲线方程中，以0x x 替换2
x ，以02
x x +替换x ，以0y y 替换2y ，以
02
y y
+替换y 即可得到点00(,)P x y 的极线方程. 特别地：
(1)对于椭圆22
221x y a b +=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b
+=；
(2)对于双曲线22
221x y a b -=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b -=；
(3)对于抛物线2
2y px =，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00()y y p x x =+. (4)如果圆锥曲线是椭圆22
221x y a b
+=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为椭圆
的准线；如果圆锥曲线是双曲线22
221x y a b
-=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为
双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线2
2y px =，当00(,)P x y 为其焦点(,0)2
p F 时，极线
恰为抛物线的准线.
3.从极点与极线角度看圆锥曲线试题
图4 R
【例1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆15
92
2=+y x 的左右顶点为,A B ，右焦点为F ．设过点(,)T t m 的直线,TA TB 与此椭圆分别交于点1122(,),(,)M x y N x y ，其中0m >，1200y y ><，．
(1)设动点P 满足422=-PB PF ，求点P 的轨迹；
(2)设121
23
x x ==
，，求点T 的坐标；
(3)设9=t ，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）．
分析与解：前面两问比较简单，这里从略. 对于(3)，当9=t 时，T 点坐标为(9,)m ，
连MN ，设直线AB 与MN 的交点为K ，根据 极点与极线的定义可知，点T 对应的极线经过K ， 又点T 对应的极线方程为
9195
x m y
⋅⋅+=，即 15
m y
x ⋅+
=，此直线恒过x 轴上的定点K (1,0)， 从而直线MN 也恒过定点K (1,0). 【例2】 (2008安徽卷理22)设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>
过点M ，且左焦
点为1(F .
(1)求椭圆C 的方程；
(2)当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 交于两个不同的点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明点Q
分析与解：(1)易求得答案22
142
x y +=. (2)
由条件可有PA PB
AQ BQ
=
，说明点,P Q 关于 圆锥曲线C 调和共轭.根据定理2，点Q 的轨迹就是点
P 对应的极线，即
41142
x y ⋅⋅+=，化简得220x y +-=. 故点Q 总在定直线220x y +-=上.
【例3】( 1995全国卷理26)已知椭圆22:
12416x y C +=，直线:1128
x y l +=，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足2
OQ OP OR ⋅=，当点P 在l 上移
动时，求点Q 的轨迹方程.,并说明轨迹是什么曲线.
分析与解：由条件知2
OR OP OQ =⋅可知点,P Q 关于圆锥曲线C 调和共轭，而点Q 可看作是点P 的极线与直线OP 的交点.
设(12,88)P t t -，则与P 对应的极线方程为
12(88)12416
t x t y
⋅-⋅+=，化简得 (1)2tx t y +-= ③
图5
,)m
图6
x
又直线OP 的方程为8812t
y x t
-=
，化简得 223t
y x t
-=
④ 解由③④联立方程组得
22654244542t x t t t
x t t ⎧
=⎪⎪-+⎨-⎪=⎪-+⎩
，消去t 得22
2346x y x y +=+，可化为22(1)(1)15523x y --+=(,x y 不同时为0)，故点Q 的轨迹是以(1,1)为中心，
，且长轴平行于x 轴的椭圆，但需去掉坐标原点.
【例4】(2006年全国卷II 理21)已知抛物线2
4x y = 的焦点为F ，,A B 是抛物线上的两动点，且AF FB λ=
(0)λ>，过,A B 两点分别作抛物线的切线，并设其交点
为P . (1)证明FP AB ⋅为定值；
(2)设ABP ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式， 并求S 的最小值.
分析与解：(1)显然，点P 的极线为AB ，故可设点
0(,1)P x -，再设1122(,),(,)A x y B x y ，,,F A B 三点对应的极线方程分别为1y =-，112()x x y y =+，222()x x y y =+，由于,,A B F 三点共线，故相应的三极线共点于
0(,1)P x -，将1y =-代入后面两个极线方程得1012022(1)
2(1)
x x y x x y =-⎧⎨=-⎩，两式相减得
12012()2()x x x y y -=-.
又02121(,2),(,)FP x AB x x y y =-=--，故02121()2()0FP AB x x x y y ⋅=---=. (2)设AB 的方程为1y kx =+，与抛物线的极线方程002()x x y y =+对比可知直线AB
对应的极点为(2,1)P k -，把1y kx =+代入2
4x y =并由弦长公式得2
4(1)AB k =+，所
以21
2(12
ABP S AB FP k ∆=
=+. 显然，当0k =时，S 取最小值4. 【例5】(2005江西卷理22)设抛物线2
:C y x = 的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y --=上运动，
过P 作抛物线的两条切线,PA PB ，且与抛物线分别
相切于,A B 两点. (1)求APB ∆的重心G 的轨迹方程； (2)证明PFA PFB ∠=∠.
分析与解：(1)设点001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y ， 与0
02y y x x +=对比可知直线:20l x y --=对应的极点为1
(,2)2
，P 为直线l 上的动点，则点P 对应的极线AB 必恒过点1
(,2)2
.
图8
图9
设1:2()2AB y k x -=-，可化为2
222
k y k x +
-=，故直线AB 对应的极点为(,2)22k k P -，将直线AB 的方程代入抛物线方程得2202
k
x kx -+-=，由此得2121212,(1)44x x k y y k x x k k +=+=+-+=-+，APB ∆的重心G 的轨迹方程为
12221222332
2422
222333k k x x k k x k k k y y k k k y ⎧
+++⎪===⎪⎪⎨
⎪++--++--+⎪===⎪⎩，消去k 即得 21
(42)3
y x x =-+.
(2)设22
1122(,),(,)A x x B x x ，由(1)知1212,22k x x k x x +==-，又1(0,)4
F ，由(1)知
(,2)22k k P -，即1212(,)2x x P x x +，所以2111(,)4FA x x =-，12121
(,)24
x x FP x x +=-，2221
(,)4
FB x x =-.
221211************
111111
()()()()2
44444cos 11()()4x x x x x x x x x x x FP FA PFA FP FA FP FP x FP x x ++--+++
⋅∠====⋅++-.同理1214cos x x FP FB PFB FP FB FP
+
⋅∠==⋅. 所以有PFA PFB ∠=∠.。