计算机控制理论基础

采样/保 持
B
A/D
C
计算机
D
D/A
E
保持
A
传感器
被控对 象
C 7d 5d
F
A f(t)
BLeabharlann Baidu
f(kT)
3d d
(a) D 7d 5d
t
(c)
t
E 7d 5d
T 2T
(b)
5T
t
F 7d 5d
3d d
(d)
3d t d
(e)
3d t d
(f)
t
变量：连续的，离散的 幅值：连续的，离散的 模拟信号f(t)：连续时间、连续幅值的信号 离散时间信号f(kT)：离散时间、连续幅值的信号 离散幅值信号：连续时间、离散幅值的信号 数字信号f(k)：离散时间、离散幅值的信号 时间的离散：非均匀采样与均匀采样 幅值的离散：截尾量化与四舍五入量化 离散时间序列 { f(k) } = {f(-∞)，…，f(-1)，f(0)，f(1)，…，f(∞) } f(k)，fk
T F(ω+ωs)
1 1
T
F(ω)
~ |F(ω) |
1 T F(ω-ωs)
在ωs<2ωm时， 将发生所谓的频 谱混叠现象
ωs 2 -ωm
(a)
ωs 2 ωm
~ |F(ω) |
ω
频 谱 混 叠 现 象
-ωm
(b)
ωm=
ωs 2
ω
ωs
~ |F(ω) |
-ωm
(c)
ωm
ω
4.2.3 采样定理
~ |F(ω) | 1/T X |H(ω)| |F(ω)| 1 = -
T
理 想 重 构 与 非 理 想 重 构
-
ωs
2
ωs
2
ω
ωs
2
ωs
2
ω
-ωm
ωm
ω
理想滤 波器 kT≤t<(k+1)T时的模拟信号f(t)可用级数表示为
f k (t ) f (kT ) f '(kT )(t kT ) f "( kT ) (t kT ) 2 2!
f '(kT ) { f (kT ) f [(k 1)T ]}/ T
零阶保持器的传递函数
零 阶 保 持 器 及 其 特 性
1 e Ts H ( s) s
|G0h(ω)| T
与理想 滤波器 的差异
ωs θ0h(ω) ωs
2ωs 2ωs
3ωs 3ωs
ω ω
-π
f(k)
f0h(t)
零 阶 保 持 器 与 信 号 重 构
t
t
零阶保持器会引起相位滞后 零阶保持器允许高频噪声信号通过 后置滤波器 的使用
1 eTs a 例4-4 已知 F (s) s sa
，求它的Z变换式F(z)。
部 分 分 式 法 或 查 表 法
解：
F ( s) (1 eTs )
a s( s a) c c 1 1 (1 eTs )( 1 2 ) (1 eTs )( ) s sa s sa
查表可以得到如下的Z变换式
z z F ( z ) (1 z )( ) aT z 1 z e 1 e aT z e aT
1
假定时域函数f(t)的拉氏变换为
B(s) b0 b1s bm1s m1 bm s m F ( s) A(s) a0 a1s an1s n1 an s n
第四章 计算机控制理论基础
1. 2. 3. 4. 5. 6.
计算机控制系统中的信号 采样过程与信号重构 Z变换及其性质 离散系统的差分方程 离散系统的脉冲传递函数 离散系统的稳定性
Laplace变换 Z变换
系统是处理信号的设备。模拟系统，离散系统，数字系统。 模拟系统 离散系统
4.3.1 Z变换的定义
n L 1
n
例4-5 已知
f (t ) teat 。求其Z变换式。
1 F ( s) ( s a)2
解：f(t)的拉氏变换式为
上式有一个双重极点 留 数 计 算 法
s1,2 a,
根据留数计算公式有
L1,2 2
1 d 1 z 2 F ( z) { [( s a) ]}|s a 2 Ts (2 1)! ds ( s a) z e TeTs z Te aT z | Ts 2 s a (z e ) ( z e aT ) 2
第四章 计算机控制理论基础
计算机控制系统中的信号 采样过程与信号重构 Z变换及其性质 离散系统的差分方程 离散系统的脉冲传递函数 离散系统的稳定性
计算机控制系统中的信号
信号是传递信息的函数 ：由幅值和变量构成
幅值=f(变量)
变量：时间、频率以及空间坐标等 连续信号与离散信号
变量的离散化：采样 幅值的离散化：量化
F ( z ) (k ) z k 1
k 0
例4-2 求单位阶跃函数1(t)的Z变换。 解：单位阶跃函数f(t)=1(t)的定义有 f(kT)=1 将之代入Z变换定义得 F(z) = 1 + z-1 + z-2 + z-3 + … 级 数 求 和 法 若 |z|>1，上面的无穷级数是收敛的，可以写出和式
理想采样开关的时域数学描述：
T (t )


(t kT )
k
(t T ) (t ) (t T )
(t kT )
(t kT )
单位脉冲序列
-5T
-2T
0 T 2T
5T
t
模拟信号离散化过程的数学描述：脉冲调制过程
f (k ) f (t ) T (t ) f (t ) (t kT )
k

k


f (kT ) (t kT )
f(t)
...
...
f(k)
δT(t)
脉幅调制
4.2.2 理想采样信号的频域特性
傅 里 叶 级 数 与 傅 里 叶 变 换 周期信号频谱 与傅里叶级数
f (t )
k
非周期信号频谱 与傅里叶变换
1 f (t ) 2
jk S t
T
ωs
2
ωs
2
ω
ωs
2
ωs
2
ω
-ωm
ωm
ω
采样定理：若模拟信号是有限带宽的，且它所含的频率分量的最 大值为ωm，当采样频率ωs≥2ωm时，原模拟信号完全可以从其采 样信号来重构，或者说采样信号可以不失真地表示原模拟信号。
物理意义：假定模拟信号中所含的最高频率的正弦分量的周期为 TH，如果能够做到在1个TH周期内采样2次以上，那么经采样所得 的脉冲序列，就包含了模拟信号的全部信息。反之，如采样次数 太少，刚采样信号就不可能无失真地反映模拟信号的特性。
1 z F ( z) 1 z 1 z 1
k=0, 1, 2, 3, …
例4-3 求指数函数f(t)=a t的Z变换
解：
F ( z) a0T z 0 aT z 1 a2T z 2
如果 |a T z-1|<1，或|z|>a T，则级数收敛，且可写成
F ( z ) Z (a kT ) 1 z 1 aT z 1 z aT
T F(ω+ωs)
1 1
]
T
F(ω)
~ |F(ω) |
T F(ω-ωs) ωs
2
1
ωs
2
基本频谱
离散时间非周期信号f(k)的频谱为周期 等于ωs的连续周期分布
采样过程使模拟信号在时域中丢失了采样间隔之间的信息，在 频域内表现为频谱中增加了以ωS为周期的无限多个高频分量。
ωs=2π/T是采样角频率；ωm是模拟信号f(t)的最高频率分量
1
(t t0 )dt = 1 (t t ) t t0 0 0 t t0
1
t
t0
t
脉冲函数的采样性质：



(t ) f (t )dt f (0)



f (t ) (t t0 )dt f (t0 )
零阶保持器 一阶保持器 … …
f "(kT ) { f '(kT ) f '[(k 1)T ]}/ T { f (kT ) 2 f [(k 1)T ] f [(k 2)T ]}/ T 2
零阶保持器的数学描述
g0h (t ) 1(t ) 1(t T )
Ck e

jk S t



F ( )e jt dt

1 Ck F ( k s ) T
T

T 2
T 2
f (t )e
f(t)
dt
F （） F [（ f t） ] f (t )e jt dt

f(t)
t
|F(kωs)| |F(ω)|
t
ωs
ω
-ωm
ωm
ω
理想采样开关描述函数δT(t)
第四章 计算机控制理论基础
1. 2. 3. 4. 5. 6.
计算机控制系统中的信号 采样过程与信号重构 Z变换及其性质 离散系统的差分方程 离散系统的脉冲传递函数 离散系统的稳定性
信号的采样是从模拟系统过渡到数字系统最关键的一步,是联 系模拟信号与离散信号的桥梁. 理想采样过程:均匀采样,采样瞬时完成.
T 2 S T 2 S S
S S
离散时间非周期信号
1 f (k ) f (t ) T (t ) f (t ) e jkS t T k
离 散 时 间 非 周 期 信 号 的 频 谱
的傅立叶变换，或频谱
1 1 jkS t F ( ) F [ f (k )] F [ f (t )e ] F ( kS ) T T k 1 [ F ( 2S ) F ( S ) F ( ) F ( S ) F ( 2S ) T
T (t )
k
(t kT )
-5T -2T 0 T 2T 5T

t
采 是周期函数，可展开成傅里叶级数 样 开 1 Ck T (t )e jk t dt 关 T 1 T /2 1 jk t 1 描 jk t (t )e dt [e ]t 0 T / 2 T T T 述 函 数 1 jk t jk t T (t ) Ck e e 的 T k 频 谱
|F(ω)|
|F1(ω)|
-ωs /2
采 样 ~ |F 1(ω)|
ωs /2
恢 复
工 程 意 义 与 前 置 滤 波
-ωs /2
|F(ω)|
ωs /2
|F1(ω)| 前置滤波
-ωL
|F1(ω)| 恢复 ~ |F 1(ω)|
ωL
采 样
-ωL
ωL
-ωS/2
ωS/2
4.2.4 信号的重构
~ |F(ω) | 1/T X |H(ω)| |F(ω)| 1 = -
F ( z ) Z [ f (kT )]
k



f (kT ) z k
可通过对序列
f (kT ) f (t ) T (t )
k

sT
f (kT ) (t kT )
求拉式变换后作变量替代 z e 因果信号与单边Z变换
得到
F ( z ) Z [ f (k )] f (k ) z k
4.2.1理想采样过程的时域数学描述
脉冲函数的定义：
1 h h (t ) lim [1(t ) 1(t )] h 2 2
h 0
1 t 0 1(t ) 0 t 0
(t )dt = 1 (t ) t 0 0 t 0
已知它的n个极点为s1，s2，…，sn。记极点sj的阶数 为Lj，则其Z变换式可以写成： 留 数 计 算 法
z F ( z ) Res[ F ( s j ) ] Ts j z e j 1 1 d j z Lj { [( s s j ) F ( s ) ]}|s s L j 1 Ts j z e j 1 ( L j 1)! ds
在上式中令 a=e b，可得到f(t)= ebt的Z变换： 级 数 求 和 法
F ( z ) Z (e
bkT
z ) , bT z e
| z | ebT
将时域函数f(t)分解成若干典型函数的组合式的形式， 然后通过查表求出f(t)的Z变换式。
对于表中查不到的较复杂的时域函数，可先求出其拉 氏变换式，再将拉氏变换式进行部分分式分解后再查表。
k 0

4.3.2 求Z变换的方法
根据定义
F ( z ) Z [ f (k )] f (k ) z k
k 0
例4-1 求单位脉冲函数f(t)=δ(t)的Z变换 解：根据单位脉冲函数的定义
(k )
1, 0, k 0 k 0
级 数 求 和 法
因此，根据Z变换定义得