单模高斯光束在自聚焦光纤中的传播分析

桂林电子工业学院学报 1999 年 9 月 20
示) , 因而形成的相位偏移不同而产生畸变。 为了克服 这种缺陷可利用一系列的透镜进行聚焦, 形成透镜波 导 (L en s w a re gu ide ) 。
其中 ∃Υ 1 为光线通过透镜 O 点时产生的相移 ( 相对于 A 点) , 两式相等得: 2Π (s - f ) ∃Υ = 1 = Κ 1 2Π k 2 ( 16) [ ( r2 + f 2 ) 2 - f ] ≈ r , Κ 2f 2Π 式中 k = , Κ为空气中 ( 近似真空中) 的波长。 Κ 由以上理论可以设想: 若光纤的折射率不是均匀 的, 而是有如下特点:
k = w ΛΕ
2 2
1 高斯光束在均匀介质中的传播
单模高斯光束的特点是: 在垂直光束传播方向的 剖面上, 光强的分布有轴对称性, 而且按高斯函数即
ew
2r2
2
在非均匀及非完纯介质中 K 将是位置的函数, 而且 是复数。毫无疑问, 单模高斯光束也应符合 ( 3) 式。做 为试探解, 设光束方程有如下形式: - iK Z ( 4) Ω= Ω 0 (x , y , z ) e
r′ = a c sin dr dz
0
A B 为一凸透镜, 焦距为 f 0 , 有一束与主光轴平行的
]= r′ 0 , 由 ( 20 ) 式得:
c co s cZ
光线投射于透镜上, 则必定会聚于主焦点 F . 根据关 于几何光学的马吕—杜宾定理 (M a lu s D up in T heo 2
rem ) , 穿过透镜上不同点到达 F 点的各条光线的相
2r
1 (x 2 + y 2 )
(Z ) eΩ 0 (x , y , z ) = Υ
Ξ
2 f (z ) r
( 5)
1998- 10- 22 收稿, 1999- 05- 13 修改定稿
作者 男 45 岁 江苏镇江 212003
第 3 期 王建华: 单模高斯光束在自聚焦光纤中的传播分析 19
OC F I B ER ) 是一种新型光纤, 由于它本身折射率 ( 经 向分布) 的渐变特点, 以起到类似于透镜聚焦的作用,
5E ′ ∼ ×H = ∈ 5t 5 H ψ ×E = - Λ 5t ψ (∈ E ) = 0 ∼ (Λ H ) = 0 若电磁场是单色时谐的, 即 Ω( x , y , z , t) = R e Ω( x , y , z ) e it
dz dz
此, 习惯上用 W ( z ) 表示光束在该剖面的粗细, 叫做 光斑尺寸 (Spo t Size ) , 它按 ( 9) 式随 Z 变化。从 ( 9) 式 可以看出 W ( z ) 的最小值是 W 0. 通常把光束最细的 地方 [ 即 W ( z ) = w 0 处 ] 叫做光束的腰部 (W a ist of
Ω 0 = Υ 0
iΩ
,
2 自聚焦光纤的原理
将光频电磁波用金属波导传输实际上是不可能 的, 因此只能采用高透明度的 “介质波导” 。 利用有被 覆的均匀光纤当然可以依靠内全反射的原理将光束 由一端传到另一端, 但是也有缺陷。 这就是由于光进 行 的线路不同 ( 由不同的入射角引起的, 如图 2 所
cZ + b
( 21)
移相同。具体说: 通过 A 点到达 F 点的光线和通过 O 点到达 F 点的光线相移相同。 设空气的相对折射率 为 1, 则两条光线的相移分别为: 经 A 点到 F 点 ∃Υ 1= 经 O 点到 F 点 ∃Υ 2= Κ
现在我们来看 ( 12) 式告诉我们什么?
W 0 w-2 r (z ) e 显然它表示光束中 Z 平 W (z ) 面上各点场量的振幅, 可看出它随 Z 值而变。在某一
2
( 1) 因子 Υ 0
确定的 Z 平面上, 随该点到光束中心轴的距离 r 的平 方而变, 就是高斯光束特点。 从 ( 12) 式可看出, 当 r = W ( Z ) 时, 该点场量的振
n ( r) = n 0 [ 1 c
图 2 不同光程产生波形畸变
2
r ] ,
2
( 17)
采用透镜列的优点是不产生由于光程差别而产 生的畸变, 因为沿透镜中心直线而前进的光线穿过透 镜上最厚的部分, 而偏离透镜中心的光线虽然行程较 长, 但它却是穿过透镜上最薄的地方, 结果它们的光 程 (O p t ica l L eng th ) 恰好是一样的。 自聚焦光纤正是 基于这种原理而设计的, 因而也叫类透镜光纤。 按照几何光学原理, 会聚透镜的聚焦性能可归结 为沿穿过透镜上的任意光线的光程∞ n d s 是 r 的二次 函数, 其中 n = n ( x , y , z ) = n ( r , z ) 是光线所经各点的 折射系数: O Z 轴为透镜的主光轴, r 是光线上某点 到 Z 轴距离。以上原理也可从另一角度表述为: 某光 线穿过 ( 薄) 透镜时产生的相移 ∃5 是透镜上该点到 主光轴的距离 r 的二次函数。 可以简单证明如下 ( 见 图 3) :
the B eam ) , 一般把坐标原点选在该处。 ( 2) 因子 Υ它是光束的相位, 这样光束的等相面
方程是 Υ= K Z +
k (x + y ) 2 kw 0 2 ) ] 2z [ 1 + ( 2z
2 2
Α= 常数 ,
( 14)
立, 则必须:
2f + ik f ′ = 0 2Υ f + ik Υ ′ = 0
( 我们已将时间因子 e it 略去了) 。 式中 Ω 0 代表波束中 场量的振幅。 显然, 在波束 ( 即非无界平面波) 的条件
的形式分布。 其中 r 是该点到光束中心的距离, 每一 个剖面上 w 是一个常数 ( 后面可以看到它表示为光 束截面的粗细) 。 在无自由电荷的均匀无界介质中, 麦氏方程组 为:
若采用圆柱坐标系 ( 3) 式可写做:
2
Ω=
1 5
5Ω 1 5Ω 5Ω (r ) + 2 2 + r 5r 5r r 5Υ 5z 2
2 2
1 幅已减小为光束中心 ( 即 r2 = x 2 + y 2 = 0 ) 处的 . 因
eຫໍສະໝຸດ Baidu
将 ( 4) 式代入 ( 3) 式, 并考虑 Ω 与方位角 Υ 无关, 以及 52 Ω = 0, 并可以略去 Ω 0 随 Z 变化是极缓慢的, 因而 5Υ2 52 Ω 0 . 5Z2 52 Ω 5Ω 0 0 0 1 5Ω 得 2 + - 2 ik = 0 r 5r 5Z 5r 将 ( 5) 式代入上式, 则有: 2 ) r2 - ( 2 Υ ) = 0, ( 2Υ ′ f + ik Υ f ′ f + jk Υ df ( z ) d Υ( z ) 式中 f ′ = ,Υ ′ = 若 r 取任意值上式皆成
若 ( 6) 式有解, 则 ( 5) 式即为所求的光束方程。 由 ( 6) 式 不难求得:
f (z ) =
2 w (z )
1
(1 + i
2z 2) kw 0
( 7) ( 8)
Υ( z ) =
Υ 0
1i
2z
kw
2 0
( 注: 参看郭硕鸿 ) 《电动力学》 (Z ) 时 式中 w 2 0 = A 是解 f ( z ) 时的积分常数; Υ 0 是解 Υ 的积分常数。
( 1)
( 2)
因此也叫类透镜 (L EN SL IT KE ) 光纤, 光束在这种光 纤中传播可以不断地被聚焦, 使传送的图象畸变小。
时, 则由麦氏方程组可直接推得亥姆霍尔兹方程即 H elm ho rtz 方程: 2 ( 3) Ω= K 2 Ω= 0 ψ ∼ 式中 Ω 是场量 E , H 的任意分量 ( 即 E x , Ey , E z , H x , H y 和 H z 中的任一个) 。
a kw
0
图中 Η为光束的半张角, 由图可看出 w (z ) tg Η= ,
Z
为: Υ( z ) = Υ 0 式中 Α = a rctg
2z 2 kw 0
- r2 w 2 (z )
W 0 ja e W
( 10) ( 11)
由 ( 9) 式可知当 Z µ kw 2 0 时, W ( z )≈ 2z kw 0 代入上式 得: 2 tg Η ≈ ,
其中 n 0 为光纤轴线上的折射率, n 为距轴线 r 处的折 射率, c 是表征光纤折射率渐变程度的常数。 中心折 射率最大。那么一条光线在这样的光纤中传播 d z 距 离产生的相移将是: ∃Υ= k
nd z = n 0 [ 1 c
2
r ] k d z ,
2
显然它是该点到轴的距离的二次函数, 因而这样的光 纤具有与透镜相同的作用, 这就是把它叫做类透镜光 纤的原因。 下面来分析光线在这种折射率渐变的光纤 中传播的行为。 根据几何光学原理, 一条光线在非均 匀媒质中传播的行为可用如下方程描述:
kw
0
将 ( 7) ( 10) 式代入 ( 5) 式并整理后得:
W 0 e eW (z ) 2 kr 式中 Υ = K Z+ - Α 2 kw 0 2 ) ] 2z [ 1+ ( 2z
即光束腰部尺寸 W 0 越大则 Η越小, 到 w 0 →∞则 Η →
( 12) ( 13) 0, 这就是无界均匀平面波的情况。
( 19)
式中 r 为光线上一点到 O Z 轴的距离。 上式的一般解为:
r = a. co s
图 3 光线通透镜产生相移
c Z + b sin
cZ
( 20)
式中 a , b 为积分常数。 为确定 a , b 之值, 令 Z = 0 处 ( 例如在光线进入光纤的一端) , 此光线到光纤中心的 距离 r = r0 , 其斜率 r [ =
2
( 6)
由 ( 11) 式和 ( 14 ) 式可知: 在光束的腰部 ( Z = 0 ) 截面 上各点的 Υ 都是零, 也就是说腰部的等相位面是平 面。 在其它地方是曲面, 可以证明: 当 Z µ KW 时 ( 即远离腰部处) , 等相面是以腰部为球心的球面。 在均匀各同性介质中, 光线方向总是与等相面垂 直的, 可以证明: 光线是双曲线族。 这样, 在均匀同性 介质中, 高斯光束的传播特点可以用图 1 表示。
下Ω : ①如前所述, 在单模 0 是坐标的函数, 这是因为 2
w2 w2 高斯光束中 Ω 0 应按因子 e = e 而变; ②随着 波束的传播, 波束宽度将产生变化, 因而即使不计介 质的吸收, Ω 0 也会随 Z 而变 ( 尽管这种变化是缓慢 的) 。 因此, 可以假定 Ω 0 有如下形式:
2 2 w (z ) = w 0 [ 1 + (
2z 2 2) ] kw 0
( 9)
图 1 高斯光束的传播
利 用关于复数的对数的知识: ln ( a + jb ) = ln ( a 2 + 1 2z 2 - 1 b , 并令 a = 1, b = b ) 2 + itg 2 , ( 8 ) 式可改写
第 19 卷 第 3 期 1999 年 9 月
桂 林 电 子 工 业 学 院 学 报
JOURNAL OF GU I L IN INSTITUTE OF EL ECTRON IC TECHNOLOGY
. 19,N o. 3 Vol Sep. 1999
单模高斯光束在自聚焦光纤中的传播分析
王建华
( 华东船舶工业学院 电子信息系)
Ξ
摘 要 根据高斯光束在均匀介质中的传播特点, 用几何光学方法阐述了自聚光纤的原理, 分析了一束 单模高斯光束在自聚光纤中的传播行为, 说明这种中心折射率大, 四周逐渐减小光纤具有自聚焦能力。 关键词 光纤通信; 折射; 透镜 中图法分类 TN 929. 11
引 言
光纤通信技术发展非常迅速, 在短短的 20 多年 时间里, 就完成了以基础研究到大规模应用过程。 光 纤通信以短距离、 低速率到长距离、 高速率; 以多模通 信发展到单模通信。 在光纤中传播的光是光束, 最有代表性的是单模 光束 ( Gau ssian B eam ) 。 光束在传播过程中由于衍射 的原因, 光束的截面将逐渐扩展, 自聚焦光纤 (SEL F 2
d dR [n ]= ds ds n ,
( 18)
式中 s 为从光线上某点到光线上任意点 P 沿光线测 量的距离, R 为 P 点的位置矢量。 在近轴光线的具体 情 况下 “ ” 可以近似用
( 18) 式得:
d r 2 + cr = 0 , dz
2
→
d ds
d 代替, 并将 ( 17 ) 式代入 dz