北师大版数学必修二教师用书：第1课 立体几何初步 阶段复习课

第1课立体几何初步
由三视图求几何体的表
面积与体积【例1】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()
A．1 B.2 C.3D．2
C[根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥
V-ABCD，其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正
方形，VB＝1.所以四棱锥中最长棱为VD.连接BD，易知BD＝
2，
在Rt△VBD中，VD＝VB2＋BD2＝ 3.]
1．以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．
2．多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积问题要注意衔接部分的处理．
3．旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
1．一个几何体的三视图如图所示，其中左视图与俯视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是________．
8π[由三视图知该几何体是半径为2的球被截去四分之一后剩下的几何体，
则该几何体的体积V＝4
3×π×2
3×
3
4＝8π.]
平行关系的判定和性质
1111
分别为AC，A1C1上的点．
(1)当A1D1
D1C1等于何值时，BC1∥平面AB1D1?
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求AD
DC的值．
[解](1)如图所示，取D 1为线段A1C1的中点，此时A1D1
D1C1＝1.连接A1B，交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1∥BC1.
又因为OD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1，所以当A1D1
D1C1＝1时，BC1∥平面AB1D1.
(2)由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩
平面AB1D1＝D1O，得BC1∥D1O，所以A1D1
D1C1＝A1O
OB，又由题可知
A1D1
D1C1＝
DC
AD，
A1O
OB＝
1，所以DC
AD＝1，即
AD
DC＝1.
1．证明线线平行的依据
(1)平面几何法(常用的有三角形中位线、平行四边形对边平行)；(2)公理4；(3)线面平行的性质定理；(4)面面平行的性质定理；(5)线面垂直的性质定理．2．证明线面平行的依据
(1)定义；(2)线面平行的判定定理；(3)面面平行的性质定理．
3．证明面面平行的依据
(1)定义；(2)面面平行的判定定理；(3)线面垂直的性质定理；(4)面面平行的传递性．
2.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方
形，AB＝2EF，EF∥AB，H为BC的中点，求证：FH∥平
面EDB.
[解]连接AC交BD于点G，则G为AC的中点．
连接EG，GH，
∵H为BC的中点，
∴GH綊1
2AB.
又EF綊1
2AB，
∴EF綊GH，
∴四边形EFHG为平行四边形，
∴EG∥FH，∵EG平面EDB，FH平面EDB，
∴FH∥平面EDB.
垂直关系的判定和性质
【例3】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，
CD＝2AB，平面P AD⊥底面ABCD，P A⊥AD，E和F分别是
CD和PC的中点．求证：
(1)P A⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面P AD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
[解](1)因为平面P AD⊥底面ABCD，且P A⊥AD，所以P A⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE，
所以四边形ABED为平行四边形，
所以BE∥AD.
又因为BE平面P AD，AD平面P AD，
所以BE∥平面P AD.
(3)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知P A⊥底面ABCD，所以P A⊥CD.
又AD∩P A＝A，所以CD⊥平面P AD，
所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF，所以CD⊥EF.
又EF∩BE＝E，
所以CD⊥平面BEF.又CD平面PCD，
所以平面BEF⊥平面PCD.
1．两条异面直线相互垂直的证明方法
(1)定义；
(2)线面垂直的性质定理．
2．直线和平面垂直的证明方法
(1)线面垂直的判定定理；
(2)面面垂直的性质定理．
3．平面和平面相互垂直的证明方法
(1)定义；
(2)面面垂直的判定定理．
3．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中(侧棱与底面垂直的棱柱)，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝2，D是A1B1的中点．
(1)求证：C1D⊥平面AA1B1B；
(2)若点F为BB1上的动点，则当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．
[解](1)由题意知，A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.
∵D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1.
∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D平面A1B1C1，
∴AA1⊥C1D.∵AA1∩A1B1＝A1，∴C1D⊥平面AA1B1B.
(2)点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF.证明如下．
∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1.
易知A1B1＝2，∵AA1＝2，∴四边形AA1B1B为正方形．
又D为A1B1的中点，F为BB1的中点，∴AB1⊥DF，又DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.
截面问题
【例4】如图，已知正三棱锥S-ABC，过B和侧棱SA，SC的中点E，F作一截面，若这个截面与侧面SAC垂直，求此三棱锥的侧面积与底面积之比．
[思路探究]构建截面，利用几何知识巧妙判断各棱之间的关系．
[解]取AC的中点M，连接SM，设SM∩EF＝D.
如图．
在△SAC中，E，F分别为SA，SC的中点，所以EF∥AC，所
以
SF
FC＝
SD
DM，
而SF ＝FC
，所以SD＝DM，
所以D为SM的中点．
连接BD，BM.
因为S-ABC为正三棱锥，所以SM⊥AC.
而AC∥EF，所以SM⊥EF，又截面BEF⊥平面SAC，所以SM⊥BD.
又SD＝DM，所以△SBM为等腰三角形，SB＝BM.
设正三棱锥S-ABC的底面边长为a，则BM＝
3
2a，从而SA＝SB＝SC＝BM＝3
2a，
又SM＝SC2－CM2＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
3
2a
2
－
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫a
2
2
＝
2
2a，
所以S
侧
＝3×
1
2×a×
2
2a＝
32
4a
2，S
底
＝
3
4a
2，
所以S
侧
∶S
底
＝6∶1.
在中学数学中，有关截面的问题主要有面积、距离和角的计算问题以及与截面的位置、形状、数量有关的证明和判定问题.在解有关截面问题时要注意
(1)截面的位置；
(2)截面的形状及有关性质；
(3)截面的元素及其相互关系；
(4)截面的有关数量.
4．一个圆锥底面半径为R，高为3R，求此圆锥的内接正四棱柱表面积的最大值．
[解]如图，△SAB为圆锥SO的一个轴截面，且该轴截面经过正四棱柱的对
角面，DF为棱柱的底面对角线，要求棱柱的表面积，只要求出底面正方形边长及棱柱的高即可．
设正四棱柱高为h，底面正方形边长为a，则DE ＝
2 2a.
∵△SDE∽△SAO，∴DE
AO＝
SE
SO.
∵AO＝R，SO＝3R，
∴
2
2a
R＝
3R－h
3R
，∴h＝3R－
6
2a.
∴S
表＝2a2＋4ah＝2a2＋4a
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
3R－
6
2a
.
整理得S
表＝(2－26)
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
a－
3R
6－1
2
＋
6R2
6－1
，0＜a＜2R.
∵2－26＜0，
3R
6－1
＜2R，
∴当a＝
3R
6－1
时，S
表
有最大值
6R2
6－1
＝
6(6＋1)R2
5.
即圆锥的内接正四棱柱表面积最大值是6(6＋1)
5R
2.
折叠问题
【例5】在矩形ABCD中，已知AB＝1
2AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE
折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求证：平面A′BE⊥平面BCDE.
[思路探究]运用线线垂直证明线面垂直，运用线面垂直证明面面垂直．[解]如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，连接
A′M，A′N，MN，则MN∥BC.
∵AB＝1
2AD，E是AD的中点，
∴A′B＝A′E，∴A′N⊥BE.
∵A′C＝A′D，∴A′M⊥CD.
在矩形ABCD中，DC⊥MN，又MN∩A′M＝M，∴DC⊥平面A′MN，∴CD⊥A′N.
∵ED∥BC，且ED≠BC，∴BE必与CD相交，
∴A′N⊥平面BCDE.
又A′N平面A′BE，∴平面A′BE⊥平面BCDE.
把一个平面图形按某种要求折起，转化为空间图形，进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化，这就是折叠问题.求解折叠问题的两个关键点：
(1)画好两个图——折叠前的平面图和折叠后的立体图；
(2)分析好两者之间的关系——折叠前后哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化.
5．如图(1)所示，梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，将平面CDFE沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，如图(2)所示，G，H分别为AD′，BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．
[证明]梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，
∴EF∥AB且EF＝1
2(AB＋CD)．
翻折后，C′D′∥EF，∴C′D′∥AB.又G，H分别为AD′，BC′的中点，
∴GH∥AB且GH＝1
2(AB＋C′D′)＝
1
2(AB＋CD)，
∴GH綊EF，∴四边形EFGH为平行四边形．。