数码相机定位

2008年全国数学建模竞赛试题分析

A题数码相机定位问题

1 问题的提出

所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。于是对双目定位，精确地确定两部相

机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。

标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点，同时

用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没

有几何尺寸的“点”。

实际的做法是在物平面上画若干个

圆（称为靶标），它们的圆心就是几何

的点了。而它们的像一般会变形，如图1

所示，所以必须从靶标上的这些圆的像

图1 靶标上圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实

现。

有人设计靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆。以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆，如图2所示。

图3 靶标的像

图2 靶标示意图

用一位置固定的数码相机摄得其像，如图3所示。

请你们：

1. 建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的焦点，x-y平面平行于像平面；

2. 对由图2、图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 该相机的像距（即焦点到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约为

3.78个像素单位)，相机分辨率为1024×768；

3. 设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；

4. 建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。

2模型基本假设

⑴由数码相机的分辨率、镜面的边缘以及噪声等在成像过程中造成所成的像发生畸变，忽略不计；

⑵数码相机的镜面是理想的，即不会产生混叠、离焦、像散、场曲等现象；

⑶双目定位时的两部相机型号相同，即它们的内部参数及性能相同；

⑷忽略数码相机的尺寸大小，即可将数码相机看作一个凸透镜来进行物像坐标变换。

3.问题分析

相机标定大致有以下几种方法：R.Y.T二步法[2]；空间六点标定法[3]；长方形标定法[4]，灭影线标定法[5]等。传统的相机标定方法虽可以获得较高的精度，但是标定过程复杂或者需要的已知信息较多。

这里提出一种基于射影几何理论中的交比不变性的单数码相机自标定方法，并借助于坐标系变换方法，确定相机定位方法,实现双目定位。。

3单相机标定模型：

——建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相

机像平面的像坐标.

在针孔模型中，照相机参数可以分为内外两种参数，三种

参考坐标系。其中世界坐标系用来描述照相机和环境中任何物体的位置；照相机坐标系以照相机光心为坐标原点；成像坐标系建立在成像平面上用来描述图像的平面二维坐标。外部参数把靶标的世界坐标系转换成照相机坐标系。照相机坐标系与世界坐标系之间的关系可以用旋转矩阵R与平移向量T来描述，这里矩阵R与向量T称为照相机的外部参数。照相机的焦距f、比

,v0)等称为内部参数，它们刻画例因子du, dv，图像中心坐标(u

照相机的内部属性。在已知物平面和像平面的情况下，只要确定物象平面对应的特征点，就能够准确标定照相机的参数。下面介绍一种基于交比不变性的相机标定方法，该方法简单有效，且可以达到较高的精度。

3.1 特征点定位

图4 数码相机成像系统为了准确标定相机参数，需确定物像平面上的对应特征点。即确定靶标圆圆心在像平面上的位置。

建立如图4所示的数码相机成像系统，平面π1为靶标所在的物平面，平面π2为照相机成像平面，点O 为光心。物平面上的靶标为圆，其中两个圆的圆心分别为R 和S ，通过R,S 作直线l （其称为连直径），与两圆分别交于四点A,B,C,D 。

相机成像平面π2与光线OA, OB, OC, OD 分别交于四点a, b, c, d ，线段ad 即为线段AD 的像。显然靶标圆的圆心成像点在线段ad 上。由射影几何理论中交比不变性可知，如图所示的连直径l 与其像l’上的对应点总存在如下关系：

(,,,)(,,,)

A B C D a b c d =（1）这里(,,,):AC AD A B C D BC BD =为直线l 上四点A, B, C, D 的交比,

(,,,):ac ad a b c d bc bd

=为直线l’上四点a, b, c, d 的交比.

在本问题中，两圆心确定的连直径l具有唯一性，同时，相机光心与该直线确定的光线平面与像平面的交线l’也具有唯一性，因此（1）所述交比是唯一的。

为了明确靶标圆心在像平面上的对应特征点位置，只需在靶标像平面上找到符合式（1）的四个点a, b, c, d，且这四点在同一直线上，即可唯一的确定靶标上圆R和圆S的直径所成的像ab和cd。当第三个靶标圆P的圆心与前两个圆不在同一条直线上时，利用圆P，用同样的方法可以获得圆R和圆S的另外一条直径所成的像，设为a’b’和c’d’，ab与a’b’的交点即为点R 的对应像点，cd与c’d’的交点即为点S的对应像点。

类似，可获得物平面上任意靶标圆圆心像点。

3.2 算法描述

解决单相机标定问题的关键在于运用交比不变的特性，在像平面上寻找符合式（1）所述条件的直线l’。由于图像可以转化为离散的像素点，并可以通过对图像边缘进行提取和平滑处理，将点阵的精度提高，这里采取在成像边缘上提取有效坐标点的方式，通过判断两靶标像上分布于同一直线上的四点是否满足交比不变性，来逐渐趋近指定直径的像，对于任意一条连，确定其像的具体算法如下：

直径l

i

1、计算物平面上任意两靶标圆圆心连线与两圆四个交点的交

;

比k

i

2、提取像平面上相对应图形的边缘有效点；