《二次函数》基础复习(知识+练习)

《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解（基础）

【学习目标】

1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；

2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；

3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；

4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、二次函数的定义

一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.

要点诠释：

如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么称y是x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线开口越小.

要点二、二次函数的图象与性质

1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①；②；③；④，

其中；⑤.（以上式子a≠0）

当

(轴) (

轴)

(

，

)

2.抛物线的三要素：

开口方向、对称轴、顶点.

(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；

相等，抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于

轴(或重合)的直线记作

.特别地，

轴记作直线.

3.抛物线20()y ax bx c a =++≠中，,,a b c 的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与

中的完全一样.

(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于其对称轴是直线，

故：①时，对称轴为

轴；

②(即、同号)时，对称轴在轴左侧； ③

(即 、异号)时，对称轴在

轴右侧.

(3)的大小决定抛物线与

轴交点的位置.

当时，

，∴抛物线

与

轴有且只有一个交点(0，)：

①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③

，与

轴交于

负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .

4.用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、

的值，通常选择一

般式.

(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

(可以看成

的图象平移后所对应的函数.)

(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、

，通常选用交点式：

（a≠0）.(由此得根与系数的关系：

).

要点诠释：

求抛物线2

y ax bx c =++（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：

配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．

要点三、二次函数与一元二次方程的关系

函数

，当

时，得到一元二次方程

，

那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.

(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等

实根；

(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；

(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时

，则方程没有实根.

要点诠释：

二次函数图象与x 轴的交点的个数由

的值来确定.

(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；

(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；

(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.

要点四、利用二次函数解决实际问题

利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.

利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：

(1)建立适当的平面直角坐标系；

(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；

(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；

(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.

要点诠释：

常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.

【典型例题】

类型一、求二次函数的解析式

例1．已知二次函数的图象经过原点及点

11

,

24

??

--

?

??

，且图象与x轴的另一交点到原点的距离

为1，则该二次函数的解析式为____ ____．

举一反三：

【变式】已知：抛物线y=x 2

+bx+c 的对称轴为x=1，交x 轴于点A 、B(A 在B 的左侧)，且AB=4，交y 轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M 的坐标.

类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号

例2．二次函数2

y ax bx c =++的图象如图1所示，反比例函数a

y x

=与正比例函数y ＝(b+c)x 在同一坐标系中的大致图象可能是( )．

类型三、数形结合

例3．如图所示是二次函数2

y ax bx c =++图象的一部分，其对称轴为直线x ＝1，若其与x 轴一交点为(3，0)，则由图象可知，不等式2

0ax bx c ++>的解集是________．

类型四、函数与方程

例4．已知抛物线c x x y ++=

2

2

1与x 轴没有交点． ①求c 的取值范围； ②试确定直线1+=cx y 经过的象限，并说明理由．

举一反三：

【变式1】无论x 为何实数，二次函数

的图象永远在x 轴的下方的

条件是( ) A ． B ． C ． D ．

【变式2】对于二次函数

，我们把使函数值等于0的实数x 叫做这个函数的零点， 则二次函数

(m 为实数)的零点的个数是( )

A ．1

B ．2

C ．0

D ．不能确定

类型五、分类讨论

例5．已知点A(1，1)在二次函数2

2y x ax b =-+的图象上．

(1)用含a 的代数式表示b ；

(2)如果该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标．

类型六、二次函数与实际问题

例6．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y(台)与补贴款额x(元)之间大致满足图1所示的一次函数关系．随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增大，但每台彩电的收益z(元)会相应降低且z与x之间也大致满足图2所示的一次函数关系．

(1)在政府出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元?

(2)在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益z与政府

补贴款额x之间的函数关系式；

(3)要使该商场销售彩电的总收益ω(元)最大，政府应将每台补贴款额x定为多少?并求

出总收益ω的最大值．

《二次函数》全章复习与巩固—基础练习

一、选择题

1．将二次函数2

y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是( )．

A ．2

(1)2y x =-+ B ．2

(1)2y x =++ C ．2

(1)2y x =-- D ．2

(1)2y x =+- 2．二次函数2

y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数2

4y bx b ac =+-与反比例函数

a b c

y x

++=

在同一坐标系内的图象大致为（ ）．

3．抛物线2

y x bx c =++图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为2

23y x x =--，则b 、c 的值为( )．

A ．b ＝2，c ＝2

B ．b ＝2，c ＝0

C ．b ＝-2，c ＝-1

D ．b ＝-3，c ＝2 4. 抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ）

A ．2

2y x x =-- B ．211122y x x =-++ C ．211

122

y x x =--+ D ．2

2y x x =-++

5．已知二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列结论：①2

40b ac ->；②abc ＞0；③8a+c ＞0；④9a+3b+c ＜0．其中，正确结论的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

第4题 第5题

6．已知点(1x ，1y )，(2x ，2y )(两点不重合)均在抛物线2

1y x =-上，则下列说法正确的是( )．

A ．若12y y =，则12x x =

B ．若12x x =-，则12y y =-

C ．若0x x <<，则y y >

D ．若0x x <<，则y y >

7．在反比例函数a y x

=

中，当0x >时，y 随x 的增大而减小，则二次函数2

y ax ax =-的图象大致是图中的( )．

8．已知二次函数2

y ax bx c =++(其中0a >，0b >，0c <)，关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧． 以上说法正确的有( )．

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

二、填空题

9．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++>的对称轴为直线1x =，且经过点1(1,)y -，2(2,)y ，试比较1y 和2y 的大小：1y ________2y （填“＞”，“＜”或“＝”）．

10．抛物线2

y x bx c =-++的图象如图所示，则此抛物线的解析式为___ _____． 11．抛物线2

2(2)6y x =--的顶点为C ，已知y ＝-kx+3的图象经过点C ，则这个一次函数图

象与两坐标轴所围成的三角形面积为________．

12．已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程

220x x m -++=的解为___ _____．

第10题 第12题 第13题

13．如图所示的抛物线是二次函数2

2

31y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是________． 14．烟花厂为扬州“4·18”烟花三月经贸旅游节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的

升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是2

5

2012

h t t =-++，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为________．

15．已知抛物线2

y ax bx c =++经过点A(-1，4)，B(5，4)，C(3，-6)，则该抛物线上纵坐标为-6的另一个点的坐标是________．

16．若二次函数2

6y x x c =-+的图象过A(-1，y 1)、B(2，y 2)、C(3，y 3)三点，则y 1、y 2、y 3大小关系是 .

三、解答题

17．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体运动(看成一点)的路线是抛物线2

3315

y x x =-

++的一部分，如图所示．

(1)求演员弹跳离地面的最大高度；

(2)已知人梯高BC ＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次

表演是否成功?请说明理由．

18. 如图所示，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上、下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上、下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬道的宽为x 米．

(1)用含x 的式子表示横向甬道的面积；

(2)当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；

(3)根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米．如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽

度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少?最少费用是多少万元?

19．为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次购买100个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个．乙店一律按原价的80%销售．现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元．

(1)分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；

(2)若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯?

20. 王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好．某一天他

利用了30分钟时间进行自主学习．假设他用于解题的时间x(单位：分钟)与学习收益量)y 的关系如图1所示，用于回顾反思的时间x(单位：分钟)与学习收益量y的关系如图2所示(其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点)，且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．

(1)求王亮解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

(2)求王亮回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x之间的函数关系式；

(3)王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大?

(注：学习收益总量＝解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量)

【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】A ；

【解析】2

y x =向右平移1个单位后，顶点为（1，0），再向上平移2个单位后，顶点为（1，2），

开口方向及大小不变，所以1a =，即2

(1)2y x =-=．

2.【答案】D ；

【解析】由上图可知0a >，0c <，02b

a

-

>，∴ 0b <．0a b c ++<．240b ac ->，

∴ 反比例函数图象在第二、四象限内，一次函数图象经过第一、二、四象限，因

此选D ．

3.【答案】B ；

【解析】2

2

23(1)4y x x x =--=--，把抛物线2

(1)4y x =--向左平移2个单位长度，

再向上平移

3

个单位长度后得抛物线2

(1)1y x =+-，∴

222(1)12y x bx c x x x =++=+-=+，

∴ b ＝2，c ＝0．因此选B ．

4.【答案】D ； 【解析】由图象知，抛物线与x 轴两交点是（-1，0），（2，0），又开口方向向下，所以0a <，

抛物线与y 轴交点纵坐标大于1．显然A 、B 、C 不合题意，故选D ． 5.【答案】D ；

【解析】抛物线与x 轴交于两点，则0b <． 由图象可知a ＞0，c ＜0， 则b ＜0，故abc ＞0．

当x ＝-2时，y ＝4a-2b+c ＞0． ∵ 12b

x a

=-

=，∴ b ＝-2a ， ∴ 4a-(-2a)×2+c ＞0，即8a+c ＞0．

当x ＝3时，y ＝9a+3b+c ＜0，故4个结论都正确． 6.【答案】D ；

则12y y =；若120x x <<，则21y y >；若120x x <<，则12y y >．

7．【答案】A ； 【解析】因为a

y x

=

，当0x >时，y 随x 增大而减小，所以a ＞0，因此抛物线2(1)y ax ax a x x =-=- 开口向上，且与x 轴相交于（0，0）和（1，0）

． 8．【答案】C ；

【解析】∵ 0a >，0b >，∴ 抛物线开口向上，02b

x a

=-<，因此抛物线顶点在y 轴的左侧，

不可能在第四象限；又0c <， 120c

x x a

=<·，抛物线与x 轴交于原点的两侧， 因此①③是正确的．

二、填空题 9．【答案】＞；

【解析】根据题意画出抛物线大致图象，找出x ＝-1，x ＝2时的函数值，比较其大小，易如12y y >．

10．【答案】2

23y x x =-++；

【解析】由题意和图象知抛物线与x 轴两交点为（3，0）、（-1，0），

∴ 抛物线解析式为(3)(1)y x x =--+，即2

23y x x =-++．

11．【答案】1； 【解析】92k =

，932y x =-+，与坐标轴交点为(0，3)，2,03?? ???

． 12．【答案】 x 1＝3或x 2＝-1 ；

【解析】由二次函数2

2y x x m =-++部分图象知，与x 轴的一个交点为(3，0)．代入方程得m ＝3，解方程得x 1＝3或x 2＝-1．

13．【答案】-1；

【解析】因为抛物线过原点，所以2

10a -=，即1a =±，又抛物线开口向下，所以a ＝-1． 14．【答案】4s ； 【解析】20

4(s)522t =-

=???- ???

． 15．【答案】(1，-6)；

【解析】常规解法是先求出关系式，然后再求点的坐标，但此方法繁琐耗时易出错，仔细

分析就会注意到：A 、B 两点纵坐标相同，它们关于抛物线对称轴对称，由A(-1，

4)，B(5，4)得，对称轴15

22

x -+=

=，

而抛物线上纵坐标为-6的一点是(3，-6)，所以它关于x ＝2的对称点是(1，-6)．故抛物线上纵坐标为-6的另一点的坐标是(1，-6)．

16．【答案】y 1＞y 3＞y 2． 【解析】因为抛物线的对称轴为6

323

x -==?．而A 、B 在对称轴左侧，且y 随x 的增大而减小，

∵ -1＜2，∴ y 1＞y 2，又C 在对称轴右侧，且A 、B 、C 三点到对称轴的距离分

别

为2，1，由对称性可知：y 1＞y 3＞y 2．

三、解答题

17.【答案与解析】

(1)2

233519

315524

y x x x ??=-++=--+ ???．

∵ 305-

<，∴ 函数的最大值是194

． ∴ 演员弹跳离地面的最大高度是19

4

米．

(2)当x ＝4时，2

34341 3.45

y BC =-?+?+==．

∴ 这次表演成功．

18.【答案与解析】 (1)横向甬道的面积为

120180

1502

x +=(m 2)． (2)依题意：2

112018028015028082

x x x +?+-=??，

整理得2

1557500x x -+=，解得x 1＝5，x 2＝150(不合题意，舍去)．∴ 甬道的宽为5

米．

(3)

设建花坛的总费用为y 万元，则

21201800.0280(1601502) 5.72y x x x x +??

=??-+-+????

．

∴ y ＝0.04x 2

-0.5x+240． 当0.5 6.25220.04

b x a =-

==?时，y 的值最小． ∵ 根据设计的要求，甬道的宽不能超过6 m ．

∴ 当x ＝6m 时，总费用最少，为0.04×62

-0.5×6+240＝238.44(万元)．

19.【答案与解析】

得低于3500元/个，所以50003500

10025010

x -≤

+=，即100≤x ≤250时，购买一个

需5000-10(x-100)元．

故y 1＝6000x-10x 2

；

当x ＞250时，购买一个需3500元． 故y 1＝3500x ．

所以2

15000(0100),600010(100250),3500(250),

x x y x x x x x ≤≤??

=-<≤??>?

y 2＝5000×80%x ＝4000x ．

(2)当0＜x ≤100时，y 1＝5000x ≤500000＜1400000；

当100＜x ≤250时，y 1＝6000x-10x 2＝-10(x-300)2

+900000＜1400000； 所以，由3500x ＝1400000，得x ＝400． 由4000x ＝1400000，得x ＝350．

故选择甲商家，最多能购买400个路灯．

20.【答案与解析】

(1)设y ＝kx ，把(2，4)代入，得k ＝2，所以y ＝2x ，自变量x 的取值范围是：0≤x ≤30．

(2)当0≤x ＜5时，设y ＝a(x-5)2

+25， 把(0，0)代入，得25a+25＝0，a ＝-1， 所以2

2

(5)2510y x x x =--+=-+． 当5≤x ≤15时，y ＝25．

即210(05),

25(515).x x x y x ?-+≤<=?≤≤?

(3)设王亮用于回顾反思的时间为x(0≤x ＜5)分钟，学习收益总量为Z ，则他用于解题的

时间为(30-x)分钟．

当0≤x ＜5时，2

2

2

102(30)860(4)76Z x x x x x x =-++-=-++=--+． 所以当x ＝4时，76Z =最大．

当5≤x ≤15时，Z ＝25+2(30-x)＝-2x+85． 因为Z 随x 的增大而减小， 所以当x ＝5时，75Z =最大．

综合所述，当x ＝4时，76Z =最大，此时30-x ＝26．

即王亮用于解题的时间为26分钟，用于回顾反思的时间为4分钟时．学习收益总量最大．