集合~基础知识点汇总与练习~复习版

集合知识点总结一、集合的概念教学目标：理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题，掌握集合问题的常规处理方法．教学重点：集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用．：（一）主要知识：1．集合、子集、空集的概念；2．集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法；3．若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个．二、集合的运算教学目标：理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，能利用数轴或文氏图进行集合的运算，进一步掌握集合问题的常规处理方法．教学重点：交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用．（一）主要知识：1．交集、并集、全集、补集的概念；2．A B A A B =⇔⊆，A B A A B =⇔⊇；3．()U U U C A C B C A B =，()U U U C A C B C A B =．（二）主要方法：1．求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用；2．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题；3．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键．考点要点总结与归纳一、集合有关概念1.集合的概念：能够确切指定的一些对象的全体。

2.集合是由元素组成的集合通常用大写字母A、B、C，…表示，元素常用小写字母a、b、c，…表示。

3.集合中元素的性质：确定性，互异性，无序性。

（1）确定性：一个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合，绝无模棱两可的情况。

如：世界上最高的山（2）互异性：集合中的元素是互不相同的个体，相同的元素只能出现一次。

如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}（3）无序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。

如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合4.元素与集合的关系（1）元素a是集合A中的元素，记做a∈A，读作“a属于集合A”；（2）元素a不是集合A中的元素，记做a∉A，读作“a不属于集合A”。

5.集合的表示方法：自然语言法，列举法，描述法，图示法。

（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。

如大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合。

（2）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法，一般适用于元素个数不多的有限集，简单、明了，能够一目了然地知道集合中的元素是什么。

注意事项：①元素间用逗号隔开；②元素不能重复；③元素之间不用考虑先后顺序；④元素较多且有规律的集合的表示：｛0,1,2,3， (100)表示不大于100的自然数构成的集合。

（3）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，一般形式是｛x∈I | p(x)｝.注意事项：①写清楚该集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“且”、“或”；⑤所有描述的内容都要写在集合符号内；⑥语句力求简明、准确。

（4）图示法：主要包括Venn图（韦恩图）、数轴上的区间等。

韦恩图法：画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合的方法，常用于直观表示集合间的关系。

6.集合的分类：有限集：含有有限个元素的集合无限集：含有无限个元素的集合空集：不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝常用数集及其记法：（1）自然数集：又称为非负整数集，记做N；（2）正整数集：自然数集内排除0的集合，记做N+或N※；（3）整数集：全体整数的集合，记做Z（4）有理数集：全体有理数的集合，记做Q（5）实数集：全体实数的集合，记做R二、集合间的基本关系7. 子集的概念：A 中的任何一个元素都属于B 。

记作：A B ⊆① 任何一个集合是它本身的子集。

A ⊆A② 如果 A ⊆B, B ⊆C ,那么 A ⊆C8. 空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集；空集是任何非空集合的真子集。

9. 相等集合：如果构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等，与元素的排列顺序无关。

如：A B ⊆且B A ⊆则A=B10. 真子集:如果A ⊆B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 真子集。

记作：A ≠⊂B11. 集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：B A ⊆有两种可能（1）A 是B 的一部分、（2）A 与B 是同一集合。

反之: 集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A ⊆/B 或B ⊇/A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”12. 若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个．三、集合的运算1、交集：B}x A x |{x B A ∈∈=⋂且2、并集：}|{B x A x x B A ∈∈=⋃或3、补集：A}x x |{x A C U ∉∈=且U★经典例题：例一、判断下列集合是否为同一个集合①{}(){}1,2,1,2A B == --------------不是，一个是点集，一个是数集 ② {}{}|05,|05A x N x B x R x =∈<≤=∈<≤-------------不是，元素范围不同 ③{}(){}|21,,|21A y y x B x y y x ==+==+-不是，一个是点集，一个是数集 ④{}{}|5,|5A x x B y y =>=>------------是，元素相同，均是实数，与代表元素无关例二、用适当的符号填空：∅ ⊆ {}a ；{}a ≠⊂ {},a b ；{}a ⊆ {}a ；∅ ≠⊂ {}a ； {}1,2,3 ≠⊂ {}1,2,3,4；∅ ⊆ ∅应该注意的问题： 集合与元素之间是属于关系，集合与集合之间的是包含关系，两者不能混淆。

例三、已知集合{}{}{}0,1,2,4,5,7,1,4,6,8,9,4,7,9M N P ===，则()()M N M P 等于 【{}1,4,7】解：{}{}1,4,4,7M N M P ⋂=⋂=，故()(){}1,4,7M N M P =例四、若集合{}{}21,3,,,1A x B x ==，且B A ⊆，则x = 【0或 解：依题B A ⊆，则2x x =，或23x =，解出0,1,x =；由于元素具有互异性，故舍去1。

例五、集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B =,则a 的值为【4】解：∵{}0,2,A a =,{}21,B a =,{}0,1,2,4,16A B =∴2164a a ⎧=⎨=⎩∴4a =例六、设集合{}()1(,)1,,1y U x y y x A x y x +⎧⎫==-==⎨⎬⎩⎭，则U C A = 【(){}0,1-】解：()1,1y A x y x +⎧⎫==⎨⎬⎩⎭表示平面上满足直线11y x +=的无数点，其中0,1x y ≠≠-。

又{}(,)1U x y y x ==-表示平面上满足直线1y x =-上的全部点，故补集为(){}0,1-，这组有序数对。

例七、已知集合{}{}14,A x x B x x a =≤<=<，若A B ≠⊂，则实数a 的取值集合为 【{}4a a ≥】解：步骤：①在数轴上画出已知集合；②由x a <确定，应往左画（若为x a >，则往右画），进而开始实验；③得到初步试验结果；④验证端点。

试验得到：4a >，当4a =时，由于A 集合也不含有4，故满足A B ≠⊂。

综上所述，{}4a a ≥。

例八、设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n =∈-Z ≤≤，则M N = 【{}101-，，】解：首先观察，两个集合均为数集，代表元素的不同不影响集合本身。

其次范围均为整数，故{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3M N =--=-，因此取交集后，得到的结果应为{}101-，，。

例九、{}|13A x x =-≤<，{}|B x x a =≥，若A B =∅，则实数a 的取值范围是 【3a ≥】解：步骤：①在数轴上画出已知集合；②由x a <确定，应往左画（若为x a >，则往右画），进而开始实验； ③得到初步试验结果；④验证端点。

试验得到的结果为3a >，验证端点，当3a =时，由于A 集合不含有3，满足交集为∅。

综上所述，a 的取值范围是3a ≥。

注意：在画数轴时，要注意层次感和端点的虚实！例十、满足{}{}11,2,3M ≠⊆⊂的集合M 为 【{}{}{}1,1,2,1,3】 解：因为{}1M ⊆，因此M 中必须含有1这个元素。

又知道{}1,2,3M ≠⊂ 故得到{}{}{}1,1,2,1,3。

（{}1,2,3不满足真子集的要求）例十一、已知集合{}{}2220,0A x x px B x x x q =+-==-+=，且{}2,0,1A B ⋃=-，求实数,p q 的值。

【0,1q p ==】解：观察A 集合，可知0A ∉，又有{}2,0,1A B ⋃=-，则0B ∈。

将0代入20x x q -+=，得到0q =，反解20x x -=，得到0x =或1。

由于{}2,0,1A B ⋃=-，{}0,1B =，则2A -∈。

将2-代入220x px +-=，解得1p =。

例十二、已知集合{}{}222,120A B x x ax a =-=++-=，若A B B ⋂=，求实数a 的取值范围。

【4a ≥或4a <-】解：①当B =∅时，方程22120x ax a ++-=无解，0∆<，解得4a >或4a <-； ②当B ≠∅时，方程22120x ax a ++-=有一个解，0∆=，同时将2-代入22120x ax a ++-=，解得4a =；综上所述a 的取值范围为4a ≥或4a <-。

练习题1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ）A 某班所有高个子的学生B 著名的艺术家C 一切很大的书D 倒数等于它自身的实数2.集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 。

1．已知集合{}t M ,3,1=，{}12+-=t t P ，若M P M =⋃，则t =_____________．2．设集合M=,24k x x k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭，N=,42k x x k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭, A. M=N B. M≠⊂N C. N ≠⊂M D. M N=∅3．如图所示，，，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） （A ）（B ） （C ）（D ）4．设全集，若，，，则下列结论正确的是（ ）（A ）且 （B ） 且（C ） 且 （D ）且 5．设全集为U ，集合A 、B 是U 的子集，定义集合A 、B 的运算： A *B ={x |x ∈A ，或x ∈B ,且x ∉A ∩B }，则(A *B )*A 等于（ ）A ．AB ．BC ．()U C A B ∩D ．()U A C B ∪ 6． 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤=n x n x N m x m x M 43|,31|，且N M ,都是集合{}10|≤≤x x 的子集，如果把a b -叫做集合{}b x a x ≤≤|的“长度”，那么N M 的“长度”的最小值是____________________．7．已知集合{}52|≤≤-=x x A ，{}121|-≤≤+=m x m x B ，且⊆B A ，求实数m 的取值范围．8．已知集合2{263}A x k x k =-+<<-，{}B x k x k =-<<且A 是B 的真子集，求实数k 的取值范围。