元二次方程根的分布重点学习的练习及标准答案.doc

一元二次方程根的分布

一．一元二次方程根的基本分布——零分布

所谓一元二次方程根的 零分布 ，指的是方程的根相对于零的关系。 比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

设一元二次方程 ax 2 bx c

0 （ a 0 ）的两个实根为 x 1 ， x 2 ，且 x 1 x 2 。

【定理 1】 x 1 0 ， x 2 0 ( 两个正根 )

b 2 4a

c 0

b ，

x 1 x 2 0

a

x 1 x 2

c

a

推论 ： x

0 ， x

b 2 4ac

b 2

4ac 0

2

a 0

或

a 0

1

f (0) c 0 f (0) c 0

b

b 0

上述推论结合二次函数图象不难得到。

【例 1】 若一元二次方程 (m 1)x

2

2( m 1) x

m 0 有两个正根， 求 m 的取值范

围。

4( m 1)2 4m(m 1) 0

分析：依题意有

2( m 1)

0< m <1。

m 1 0

m 0

m 1

b 2 4a

c 0 【定理 2】 x 1

0 ， x 2 0

x 1

x 2

b 0 ，

a

x 1 x 2 c 0

a

推论 ： x 1 0 ， x 2

b 2

4ac

0 b 2 4ac

a 0 或

a 0

f (0) c 0 f (0) c 0

b 0

b 0

由二次函数图象易知它的正确性。

【例 2】 若一元二次方程

kx

2

3kx k

3

的两根都是负数，求

k 的取值范围。

12 或 k>3）

（ k

5

c 【定理 3】 x 1

x 2 0

a

kx 2

【例 3】 k 在何范围内取值，一元二次方程

3kx k 3 0有一个正根和一个负

根 分析：依题意有 k

3

<0=>0< k <3

k

【定理 4】 1 0 ， x2 0 c 0 b 0 ；

○

x1 且

b a

2 0 ， x2 0 c 0 0 。

○ x1 且

a

【例 4】若一元二次方程kx 2 (2k 1) x k 3 0 有一根为零，则另一根是正根还是负根k k x ，另一根为负。

分析：由已知－ 3=0，∴=3，代入原方程得 3 2

+5 =0

x

二．一元二次方程的非零分布——k 分布

设一元二次方程ax 2 bx c 0 （ a 0 ）的两实根为x1， x2，且 x1 x2。k为常数。则一元二次方程根的k 分布（即x1，x2 相对于 k 的位置）有以下若干定理。

【定理 1】k x1 x2

b 2 4a

c 0 af (k) 0

b

k

2a

【定理 2】x1x2k

b2 4ac 0 af (k )

。

b

k

2a

【定理 3】x1 k x2 af (k ) 0 。

推论 1 x1 0 x2 ac 0 。

推论 2 x1 1 x2 a(a b c) 0 。

【定理 4】有且仅有k1 x1（或 x2）k2 f ( k1 ) f ( k2 ) 0

a 0 a 0

f ( k1 ) 0 f (k1 ) 0

【定理 5】k1 x1 k2 p1 x2 p2 f ( k2 ) 0 或 f (k 2 ) 0

f ( p1 ) 0 f ( p1 ) 0

f ( p2 ) 0 f ( p2 ) 0 此定理可直接由定理 4 推出，请读者自证。

b2 4ac 0 b 2 4ac 0

a 0 a 0

【定理 6】k1 x1 x2 k2 f (k1 ) 0 或 f (k1 ) 0

f (k2 ) 0 f (k2 ) 0

k1

b

k1

b

k2 k2 2a 2a

三、例题与练习

【例 5】 已知方程 x 2

11x m

2 0 的两实根都大于

1 ，求 m 的取值范围。

（

12 m

129 ）

4

mx

2

( m 1) x 3 0 的两个实根都大于

（ 2 ）若一元二次方程 -1 ，求 m 的取值范围。

（ m 2或 m 5 2 6 ）

（ 3）若一元二次方程

mx 2 (m 1)x 3 0 的两实根都小于

2 ，求 m 的取值范围。

（ m

1

或 m 5 2 6 ）

2 2 2 2

2

3 0 有一根大于 ，另一根比 小，求 m 的取值

【例 6】 已知方程

x mx

2

m

2

范围。

（ 1

2

m

1

2 ） （ 2）已知方程 x 2

2

2

(m 2)x 2m 1 0 有一实根在

0 和 1 之间，求 m 的取值范围。

（

1

m 2 ）

2 3

（3）已知方程 x 2 ( m 2) x 2m 1 0 的较大实根在 0 和 1 之间，求实数 m 的取值范围。

变

式：改为较小实根

（不可能； 1 m 2

）

（ 4 ）若方程 x 2

2

(k 2)x k

0 的两实根均在区间（ 1 、 1）内，求 k 的取值范围。

（ 4 2 3

k

1

）

（5）若方程 x 2

2

(k 2)x

2k 1 0 的两根中， 一根在 0 和 1 之间，另一根在 1 和 2 之间， 求 k 的取值范围。

（

1

k 2 ）

2 3

（ 6 ） 已 知 关 于 x 的 方 程 (m 1) x 2

2mx m 2

m 6 0 的 两 根 为 、 且 满 足 0

1

，求 m 的取值范围。

（ 3 m 7 或 2 m

7 ）

【例 7】 已知关于 x 的二次方程

x

2

+2 +2 +1=0.

mx

m

(1) 若方程有两根，其中一根在区间 ( －1，0) 内，另一根在区间 (1 ，2) 内，求 m 的范围 .

(2) 若方程两根均在区间 (0 ， 1) 内，求 m 的范围 .

本题重点考查方程的根的分布问题， 解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义 .

技巧与方法： 设出二次方程对应的函数， 可画出相应的示意图， 然后用函数性质加以限

制. 2

解： (1) 条件说明抛物线 f ( x )= +2 +2 +1 与 x 轴的交点分别在区间 ( － 1，0) 和 (1 ， 2)

x mx m

内，画出示意图，得

m

1

f ( 0) 2m 1 0,

2

m

R,

f ( 1) 2 0,

5

1

∴

m

f (1) 4m 2 0, m

1 , 6

.

2

f ( 2) 6m

5 0

2

5

m

6