唐常杰翻译的计算理论导引课件

一半。于是它通过全部k个随机选择的测试的概率不大于 ，因此该算法以错
误概率 识别所有伪素数组成的语言。
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唐常杰翻译的计算理论导引
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避免卡米切尔数的算法PRIME
• 基本原理是：对于任意素数p，1恰好有两个模p的 平方根：1和-1。而对于许多合数，包括卡米切尔 数在内，1有4个或更多的平方根。
能是足够好的，而且可能更容易找到。 • 近似算法是为了求近似最优解而设计的。
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顶点覆盖问题 • 若G是无向图，则G的顶点覆盖是节点的一个子集， 使得G的每条边都与子集中的节点之一相关联。
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最小顶点覆盖的一个近似算法
• 下述多项式时间算法近似地解这个最优化问题，它给出一个顶点覆 盖，其大小不超过最小顶点覆盖的大小的2倍。
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k-优算法 • 如果一个最小化问题的近似算法总能找到不超过 最优解k倍的可行解，则称这个算法是k-优的。 • 对于最大化问题，一个k-优近似算法总能找到不 小于最优解大小的1/k的可行解。
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最大割集的近似算法
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• 把顶点集V划分成两个不相交的子集S和T，称为无向图中的割。顶点分别在两个子集 中的 边称为割边，割边的数目称为割的大小。
Chap 10 复杂性理论中的高级专题 (同学报告）
可以从下列文件获得ＰPT素材： 13_10-复杂理论高级专题-同学报告素材.doc
本章提纲 10.1 近似算法、 10.2 概率算法 10.3 交错式 10.4 交互证明， 10.5 并行计算 10.6 密码学
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Chap 10 复杂性理论中的高级专题 (同学报告）
• A＝ “对于输入<G>，这里G是一个无向图： • 重复下述操作直至G中所有的边都与有标记的边相邻。 • 在G中找一条不与任何有标记的边相邻的边。 • 给这条边作标记。 • 输出所有有标记边的顶点。 ”
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定理1０.1
• 定理11.1：A是一个多项式时间算法，它给出G的一个顶点覆盖，其大 小不超过最小顶点覆盖的大小的2倍。
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概率算法 • 概率算法使用随机过程的结果。典型包含一条 “扔硬币”的指令，并且扔硬币的结果可能影响 算法后面的执行和输出。
• BPP类 • 素数性 • 只读一次的分支程序
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概率图灵机
• 概率图灵机M是一种非确定型图灵机，它的每一非确 定步，称作掷硬币步，并且有两个合法的下次动作。 定义分支b的概率如下，其中k是在分支b中出现的掷 硬币步的步数。
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引理10.5
• 引理11.5：设ε是一个固定常数，且0<ε<1/2。又设
M1是一台错误概率为ε的多项式时间概率图灵机，则
对于任意的多项式poly(n)，存在与M1等价的错误概
率为
的多项式时间概率图灵机M2。
• 证明思路：M2用如下方式模2拟pMo1l(yn：) 运行M1多项式 次，并且取这些运行结果中的多数作为计算结果。错 误概率将随M1的运行次数指数下降。
• 割的大小不超过G的边数，故B是多项式时间的。 • 证明B输出的割X至少包含G中的所有边的一半。
• X的每个顶点的割边>=非割边。 • X的所有顶点的割边数和＝ X的割边总数×2。 • X的所有顶点的非割边数和＝ X的非割边总数×2。 • X的割边数和>= X的非割边数和 • X的割边数 >= G的所有边数/2 • G的所有边数>=最大割边数
• 定义M接受ω的P概r率b[]为2k
PrM [接 受 ]＝P[rb] b是接受分支
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BPP类
• 对于0<=ε<1/2，如果满足下面的条件则称M以错 误概率ε识别语言A。
A蕴P 涵rM [接 受 ]1 A蕴P 涵rM [拒 绝 ]1
• BPP是多项式时间的概率图灵机以错误概率1/3识 别的语言类。
可根据 提供的ＰPT素材+参考以前同学的报告， 修改成为有自己见解的讨论报告
建议：
底色用浅色（象牙白， 浅黄， 白色等） 适合色盲 色弱 观众 字体颜色选择余地大 在投影机 效果差时 也还能能看见
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近似算法
• 在最优化问题中，通常试图在可行解中寻找最好的解，即最优解。 • 在实践中，可能并不一定非要最优解不可，一个接近最优的解可
• B＝ “对于输入<G>，这里G是顶点集为V的无向图： • 令S＝Ø和T＝V。 • 如果把一个顶点从S移到T或者从T移到S，使割的大小变大，则做这样的移动，并且重 复这一步。 • 如果不存在这样的顶点，则输出当前的割并且停止。”
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定理1０.2
• 定理11.2：B是最大割集的2-优的多项式近似算法。 • 证明：
• 证明思路: • A的运行时间显然是多项式界限的。 • 设X是它输出的顶点集合，H是有标记的边的集合。因为G的每一 条边要么属于H，要么与H中的一条边相邻，因此X与G的所有边关 联，因此X是一个顶点覆盖。 • 证明X的大小不超过最小顶点覆盖Y的大小的2倍。
• X的大小是H的2倍 • H不大于Y
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则称这个数为伪素数，其中可能包含卡米切尔数和素数。
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测试伪素数的多项式概率算法
PSEUDOPERI“ M对于输p： 入 在p中随机地选 a1, 取,ak 对于每一i，个计算 ai(p1) modp 如果所有计算出都 来等 的于 1值 ，则接受；否则拒绝”
• 如果p是伪素数则能通过全部测试，如果p不是伪素数则至多能通过全部测试的
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素数性
• 定理11.6： • 例子：
如p是 果素a 数 p ， ， ap 则 1 且 1 (mp)。 od
p7,a2 2(71)266,46m 4 7 od 1
• p通过在a的费马测p 试6,是a 指2 2(61)253,232m5 od 2 • 如果一个数能通过所有关于小于它且与ap它1互1(素m的o数pd)的费马测试，
• 引理11.7：如果p是一个奇素数，则