第四章量纲分析与相似共33页

特点：
(1)无量纲量的大小与所选单位无关，具有客观性；
(2)不受运动规模的影响，模型与原型常用同一无量纲数；
(3) 在 超 越 函 数 （ 对 数 、 指 数 、 三角 函数 ） 运 算 中 ， 均应用无量纲量。
三、量纲和谐原理 （Theory of Dimensional Homogeneity） 凡是正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都 必须是一致的，即只有方程两边量纲相同，方程才能 成立。这称为量纲和谐原理。 量纲和谐原理的重要性： a、一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验 物理方程或经验公式的正确性和完整性。
同理求得
2DvR 1e , 3D
将各代入得
F(02 R1eD )0
整理得
0 2
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f (R1e, D )
令
f
(R1e,
D )
8
，则
0
8
2
例题：
管中紊流，单位管长沿程水头损失hf /L，取决于下列因素： 流速v，管径D，重力g，动力粘度，管壁粗糙高度和密度。
试用定理分析确定方程的一般形式。
解：
【例4-2】求圆管层流的流量关系式 （P74）
二、布金汉（Buckingham）定理（定理）
若某一物理过程包含n个物理量，即
f(q 1q2q3 qn)0
其中有m个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理量） 则该物理过程可由n个物理量构成的n－m个无量纲项所表达的
关系式来描述 ，即
F (1 nm )0
qi K1 aq2 bqn p1
3、 根据量纲和谐原理，即等式两端的量纲应该相同，确定物
理量的指数a，b，……p，代入指数方程式即得各物理量之间
的关系式。
q i q 1 a q 2 b q n 1 p
应用范围：一般情况下，要求相关物理量个数 n 不超 过4个，待求量纲指数不超过3个。 【例4-1】求水泵输出功率的表达式
模型和原型保证流动相似，应满足： • 几何相似 • 运动相似 • 动力相似 • 初始条件和边界条件相似
基本量纲（Fundamental Dimension）：具有独 立性的，不能由其他量纲推导出来的量纲叫做 基本量纲。一般取质量M，长度L、时间T、即 量 [M- L-T]为基本量纲体系。 纲
导出量纲（Derived Dimension）:是指由基 本量纲导出的量纲。
［A］= L2 ［ρ］= ML-3
（动力量）为基本量建立（6~3 ） 项：
1D a 1vb 0 1
,
c 1
2D a 2vb 2
,
c 2
3D a 3vb 3
c 3
对 1 ： [M -T 1-2 ]L [L a1[]L -1 ]b T 1[M -]3c1L
L:1a1b13c1
T:2b1
M:1c1
a10 b12
c11
102
[ F ]= MLT -2
量纲公式:
某一物理量q的量纲[q］都可用3个基本量纲的指
数乘积形式表示
[q]MLT
几何学量纲： = 0，0，=0
分 类
运动学量纲： = 0，0，0
动力学量纲：0，0，0
二、无量纲量
当 0
则 ［q］= 1
无量纲量可由两个具有相同量纲的物理量相比得到； 可由几个有量纲物理量乘除组合，使组合量的量纲 指数为零得到。
b、根据量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。
c、可用来建立物理方程式的结构形式。为科学地组 织实验过程、整理实验成果提供理论指导。
第二节 量纲分析法
一、瑞利法（Rayleigh）
瑞利法是量纲和谐原理的直接应用。
具体分析步骤如下：
1、 确定与所研究的物理现象有关的n 个物理量；
2、 写出各物理量之间的指数乘积的形式，如：
选择基本变量的原则：
1）基本变量与基本量纲相对应。即若各物理量中基本量纲 （M，L，T）出现三个，那么基本变量也选三个；倘若 基本量纲只出现两个，则基本变量只须选择两个。
2）选择基本变量时，应选择重要的变量。换句话说，不要 选择次要的变量作为基本变量，否则次要的变量在大多数 项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。
模型(Model)：通常把原型（工程实物）按一定比例 关系缩小（或放大）的代 表物，称为模型。
水力学模型试验的目的：利用模型水流来模拟和研 究原型水流问题。
关键问题：使模型水流和原型水流保持流动相似。
流动相似：若两个流动的对应点上的同名物理量（如 速度、压强及各种作用力等）具有各自的固 定比例关系，则这两个流动就是相似的。
f(hL f ,,d,,,,g)0
取v， d， 为基本变量，则的个数 n-m=7-3=4
1
hf / L
d a1 b1 c1
2
d a2 b2 c2
3
d a3 b3
c3
4
g
d a4 b4 c4
进行量纲分析，则有
a1 = 0， b1= 0， c1 = 0
a2 = 1， b2=1，c2 = 1
3）不能有任何两个基本变量的量纲是完全一样的，换言之， 基本变量应在每组量纲中只能选择一个。
例 用布金汉定理确定圆管流动中边壁切应力的表达式0。已 知0与液体的密度 ，液体的动力沾滞系数 ，圆管直径D，管 壁材料的粗糙度以及管中断面平均流速有关。
解
f（D、 v 、 、 0 、 、）=0
从各独立影响因素中选取D（几何量）、 （运动量）、
定理的解题步骤：
（1）确定关系式：根据对所研究的现象的认识，确定影响 这个现象的各个物理量及其关系式：
f(q 1q2q3 qn)0
（2）确定基本变量：从n个物理量中选取m个基本物理量， 一般取m=3，如q1、 q2、 q3。在管流中，一般选d，， 三 个作基本变量，而在明渠流中，则常选用H， ， 。
（3）基本变量依次与其余物理量组成π项，即
1
q4 q1a1 q2b1 q3c1
2
q5 q1a2 q2b2 q3c2
……
n3
qn q q q an3 bn3 cn3
1 23
（4）满足π为无量纲项，定出上面各项中基本量的指数ai , bi , ci
（5）整理方程式
应用范围：对相关物理量个数 n 没有限制，应用 更为普遍。
a3 = 0， b3 = 1，c3 = 0
a4 = 2， b4 = - 1， c4 = 0
1 hf / L
2
d
1 Re
3
d
4
gd
2
即
F(hL f ,Re d,, g2d )0
解得：
hf L
F1(Re d ,g2d)
第三节 相似原理 一、流动相似
原型(Prototype)：天然水流和实际建筑物称为原型。