《高中数学复习中的变式教学》课题成果主体报告
“高中数学变式教学的课堂教学研究”课题研究报告
教育研究64学法教法研究课程教育研究一、课题提出的背景大量的研究表明这样一个事实：不管是国际数学教育成就调查还是国际奥林匹克数学竞赛，中国中学生的成绩明显比其他国家的同龄生；但是中国学生在开放问题以及动手能力方面却逊于西方学生；这两个方面凸显出的问题被西方学者认为是大班教学下以教师为主导的典型的“强灌”和“填鸭式训练”产生的结果，被称作“中国学习者的悖论”。
2005年顾泠沅与黄荣金、瑞典学者马顿合作发表了《变式教学：促进有效的数学学习的中国方式》，认为“中国教师先提出问题，让学生探寻不同的解法，师生共同探讨各种解法的优缺点的课堂模式”要优于“美国教师先给出解法，让学生练习一批类似的问题的教学模式”，认为有变化的重复学习是有意义的学习，而不是机械学习，变式教学是中国数学课堂教学中的合理成分。
但是我国的专家学者对变式教学的理论研究比较多，实践研究相对较少，也很少有高中教师在教学实践中去深层次探索变式教学，所以本课题侧重研究高中数学变式教学的课堂教学研究。
我们正处在高考命题改革时期，在“以能力立意、不刻意追求知识覆盖面、重点知识重点考查、在网络知识的交汇点处命题、加大新增内容的考查力度、体现向量及导数的工具作用、回归教材、小题综合化以及向新课标靠拢”的背景下，近几年全国及各省市的高考在坚持对基础知识和基本技能的考查的同时，与前两年相比，更加重视数学思想与方法的考查。
试卷从多角度、多视点、多层次地考查数学理性思维，考查考生对数学本质的理解，考查考生的数学素养和学习潜能。
而高三数学复习，时间紧迫，内容繁杂。
如何在比较紧的时间内，尽可能的提高复习效率和质量，提高学生分析问题、解决问题的能力呢？我们的方法就是在高三复习中以“变”应“变”，通过合理恰当地运用变式教学，把互相关联的知识通过变式教学融合在一起，使学生深刻理解所学知识，识别问题的本质，这样运用起来就会得心应手。
二、课题研究的意义以往的课题研究对变式教学在课堂教学中的关注比较少。
《高中数学变式教学的研究》开题报告
多角度、多层次的变式教学——《高中数学变式教学的研究》开题报告黄坪数学变式教学已经成为中国数学教师课堂教学的一种有意识的行为。
在每一节数学课里，老师从课题引入到数学概念的表述，再到概念的应用，老师设计了与课题相关的变式教学链，虽然课堂变式教学的环节不一定做到丝丝入扣，但围绕一个新的知识或重要的知识所展开的变式训练，其目的是为了促进对本节课教学内容的理解和掌握。
从问题解决的角度来看变式教学，就是变化不同问题的类型，不断变更问题的情境或改变思维的角度，在保持事物的本质特征不变的情况之下，不断地迁移事物的非本质属性。
数学变式教学，就是指在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式，以及问题进行不同角度（情形、背景、设问方式等）不同层次（横向联系、纵向引深等）的变式，以暴露问题的本质特征，揭示不同知识点间的内在联系并不断提升数学思维品质的一种教学设计方法。
通过变式教学，一题多用，多题归类，唤起学生的好奇心和求知欲，从而保持学生主动参与教学过程的兴趣和热情，提高学生举一反三解决数学问题的能力。
一、从两大方面来看变式教学的必要性1．从学习的认知心理方面（1）概念性的理解需要进行知识的变式——多角度的变式数学学习离不开对概念的掌握，数学中的概念很多，学生初次接触一个新的概念，总是寻找和原先知识经验里相一致的东西，这在学习建构主义的理论上叫做知识的“同化”；如果当所学的新知识（概念）和原先的知识不一致的时候，学生就打开一个新的知识窗口接受它，这叫知识的“顺应”。
概念的顺应过程是学生学习中最为艰苦的过程，变式教学要为学生的知识顺应做好铺垫性的准备，让学生准确地理解和掌握新知识的概念，使学生有一个先入为主的知识正迁移。
如，均值不等式教学的概念性变式：①均值不等式的引入： 右图,由正方形的面积不小于四个全等的直角三角形的面积，得到：222a b ab +≥；又由中间的一个小正方形的面积，得到：2()0a b -≥。
将上式中0,0a b >>推广到,a R b R ∈∈，不等式仍成立。
高中数学复习课变式教学的思考与实践
生 回 顾 旧 知 识 的 兴 趣 ；（ 2 ） 引 导 学 生 建
2t2+2t =t=右. 2t+2
证 法 4：tanθ =
（1-cos2θ+sin2θ）sin2θ 1-cos2θ = =右. （1+cos2θ+sin2θ）sin2θ sin2θ 式即可.
1-cos2θ , 左 = sin2θ
证法5： 只要证下 （可用变更论证法）
￡
摘 要：高中数学复习课教学注重变式的训练， 是提高数学复习效率的重要途径. 教师有意识地引导学生
和探求的 . 如 何理解和 贯 彻这 个 原则 , 笔 者认 为 , 通 过 对课 本内容 的深 挖 , 对 考试题 有 机 地 结 合 起 来 , 从而在课堂 例 题 、 习题 重 组 , 就 能 将 课 本 、 资 料 、 高 上 展 示 知 识 的 发 生 、 发 展 过 程 , 形成完 悟、 探究 . 在高中 数学 复 习课 教学 和 讲 学 复 习 效 率 、 激 发学 生对 数学学 习 兴 评 课中 注 重 变式 的 训 练 , 这 是 提高 数 整的 认 知过 程 , 去 启 迪学 生 思 考 、顿
复习课所说 的“ 变式 ”, 与 新课 教学
求证： 案例3： 度） 左 =
证 法 1： （运 用 二 倍 角 公 式 统 一 角 2sin2θ + 2sinθcosθ 2cos2θ + 2sinθcosθ =
点 B （0,6） 和 C （0, -6）, 另 两 边 的 斜 率 之 积是-
（1）（2）圯（3） 判断 或 证明 函 数 单 调 （3）（1）圯（2）比较函数值的大小；
变”的本质,从“ 不变”中探求规 律, 逐步
培养学生灵活多变 的思维品质 ,增强其
例说“变式教学”在高三数学复习课中的应用
例说“变式教学”在高三数学复习课中的应用对于紧张备考的高三教师来说，如何提高课堂效率，让学生学会举一反三、融会贯通，成为广大高三一线教师一直以来追求的目标。
笔者在高三授课的具体实践中，尝试应用“变式教学”、“一题多解”的方式，对于打造高效课堂，提高备考效率成效显著。
高中数学内容有“两多”：知识点多，题型多。
教师使用“举一反三”的方法进行教学，可以达到以点带面、触类旁通的目的。
对学习能力较强的学生而言，能拓宽知识面，提高知识的应用能力。
因此，在教学中，尤其是在高三复习中，如果能引导学生运用题组训练构建数学知识网络，实现一题多解，对于提升学生解决问题的能力是有很大帮助的。
现以一道复习备考题为例，谈谈“变式教学”在高三复习课中的应用。
题目：已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（-2,2），过点F且斜率为K的直线l与C交于A,B两点，若MA·MB=0，则k=（）。
A. 2B.C.D.2解法一：该题显然是一道直线与抛物线的位置关系问题，常规的解题思路是：用点斜式表示出直线方程，通过联立抛物线与直线方程，消元后得到关于x的一元二次方程，再用韦达定理表示出A,B两点坐标之间的关系，进而表示出向量MA与向量MB的坐标，由其数量积为0，可以得到一个关于k的方程，解出k即可。
由于高考数学（理）中对抛物线的考查要求比较高，因此在高三复习中，大部分教师都会给学生推导一些常见的结论，比如焦点半径公式，焦点弦长公式，以焦点弦为直径的圆与准线相切等等。
这些结论的给出，固然给人一种“赏心悦目”的感觉，但是如果无法在做题中加以应用，似乎又显得“徒有虚名”，因此，笔者尝试着引导学生应用这些结论。
于是我们提出第二种解决此问题的方法如下：解法二：根据结论“以焦点弦为直径的圆与准线相切”，则以AB为直径的圆与准线x=-2相切。
因为MA⊥MB，所以M点在以AB为直径的圆上，又因为点M在准线上，所以点M是切点，设AB中点N，则MN∥x轴，故点N的纵坐标为2，再利用“点差法”，即可求出AB的斜率。
高中数学变式教学实践研究的开题报告
高中数学变式教学实践研究的开题报告一、研究背景与意义高中数学的学科性质是理科性学科，它的教学不仅要求学生具备一定的数学基础，还需要学生掌握一定的方法和思维方式。
但是现实情况是，学生的数学成绩普遍较为跨度，不同学生在数学方面的基础和能力存在较大差异。
为了有效提升学生数学的学习成绩和发展数学思维的能力，我们需要不断探索数学的教学方式和方法。
变式教学是一种基于数学重要概念或方法的一种教学方式，它要求学生在掌握数学知识的基础上，掌握数学概念的多种表达方式以及应用场景。
此外，变式教学也能有效提升学生的数学思维能力和综合运用能力。
因此，本研究将探索高中数学变式教学的实践应用，以期提高学生的数学学习成绩，促进数学教学的有效改进，提高教学效果。
二、研究目的和内容本研究旨在探究高中数学变式教学的实践应用，包括以下内容：1. 当前高中数学教学存在的问题及其原因分析。
2. 变式教学的理论依据和实践方法。
3. 变式教学在具体数学知识点上的应用。
4. 变式教学在高中数学教学中的实践效果分析。
三、研究方法本研究将采用文献分析法和实证分析法相结合的研究方法。
文献分析法将主要用于对现有文献的阅读和分析，明确当前高中数学教学存在的问题以及变式教学的理论依据和实践方法。
实证分析法将通过实际的数学教学实践活动，对变式教学进行应用，并收集学生的学习数据，分析变式教学在提高学生数学学习成绩和数学思维能力方面的实际效果。
四、研究预期成果1. 确定当前高中数学教学需要改进的问题，明确变式教学理论依据和实践方法，提出的可行性建议。
2. 探究变式教学在具体数学知识点上的应用，总结变式教学的实践经验，提高高中数学的教学质量。
3. 对变式教学在提高学生数学学习成绩和数学思维能力方面的实际效果进行收集和分析，为后续的研究提供参考。
变式教学在高三数学复习中的应用
一 、引 言 高 三 面 临 着 高 考,学 生 们 承 担 着 沉 重 的 升 学 压 力,教 师
为了能够让学生在最终的考试中获得优 异 的 成 绩,在 高 三 数 学复习阶段大都以大量的例题联系来巩固学生掌握的数学 知识,并试图以此方法来提升学生的 综 合 能 力. 实 际 的 情 况 是这样的方法不但加重了学生的负担,而 且 起 到 的 效 果 并 不 明显.而变式教学策略的应用,不但解 决 了 学 生 漫 无 边 际 的 题 海 战 术 ,而 且 有 效 地 提 高 了 学 生 的 复 习 效 率 . 二 、变 式 教 学 的 作 用
变式教学在高三数学复习中的应用
黄宗升
摘 要:就当前我国教育而言,尤其针对高三学生的教 学,由 于 深 受 应 试 教 育 的 影 响,以 及 升 学 的 压 力,针 对 高 三 的 数 学 复 习环节,教师大都采用题海战术,来对学生的数学能力进行提升,但最终的结果往往 并 不 理 想. 题 海 战 术 严 重 缺 乏 科 学 性,学 生 在学习过程中处于被动的状态,这很容易起到事倍功半的 效 果,对 于 学 生 能 力 的 提 升,成 绩 的 突 破 都 有 着 一 定 的 局 限 性. 随 着 变式教学法的诞生,此方法也越来越广泛的应用到了高三数 学 复 习 教 学 中,在 此 笔 者 也 将 根 据 高 三 复 习 教 学 的 现 状,谈 谈 如 何 有效的实施变式教学.
(一 )利 用 变 式 教 学 强 化 学 生 对 数 学 基 础 概 念 的 认 识 针 对 高 中 数 学 而 言,难 度 逐 渐 递 增,学 生 在 学 习 过 程 中 也变得吃力,造成这一现状的主要原因即 是 在 教 学 过 程 中 学 生对于数学的基础概念没有充分的认识并加以掌握.基础 打得牢固学生才能在日后的学习中逐渐的接受更广泛的知 识,才能有效地解决 数 学 问 题,如 果 学 生 不 能 扎 实 地 掌 握 基 础概念,则会在后续的学习中由于对知识 点 模 棱 两 可 而 对 问 题的解决产生影响,进 而 也 降 低 了 学 生 学 习 和 复 习 的 效 率. 因此在教学过程中,教师可以采用变式教 学 来 强 化 学 生 对 基 础概念的认识,让学生真正地去理解基础 概 念 才 能 更 好 更 准 确地加以利用. 例 如,我 们 在 学 习 几 何 体 的 相 关 知 识 时,在 解 题 的 过 程 中,很多学生由于对 概 念 理 解 不 透 彻,影 响 了 自 身 的 空 间 想 象能力,因此在教授 基 础 概 念 的 过 程 中,教 师 可 以 拿 来 几 何 道具供学生观看,或 者 通 过 多 媒 体 的 形 式,采 用 视 频 或 者 图 片来让学生更清楚地发现几何体的直观 图 形,通 过 这 样 的 形 式来学习基础概念则可以让学生更好地 掌 握 基 础 知 识,提 高 复习效率. (二 )通 过 变 式 教 学 明 确 学 习 的 目 标 在高三数学复习教学环节,在进行任 何 一 阶 段 的 复 习 过 程,教师都要明确复 习 的 最 终 目 标,这 样 才 能 够 让 学 生 的 复 习过程呈现事半功倍的效果.因此教师可以利用变式教学
《高中数学变式教学的课堂教学研究》研究报告
《高中数学变式教学的课堂教学研究》研究报告作者：郝耀来源：《文理导航·教育研究与实践》2016年第05期一、课题的提出变式教学在传统教学中的作用是使学生获得对概念的多角度理解。
促使中外学者对变式教学系统研究的直接原因是“中国学习者悖论”，内容如下：其一，教师在数学教学中起着绝对的支配作用，学生处于纯粹的被动地位；其二，中国学生比其他国家学生有着较好的学习效果。
2005年顾泠沅与黄荣金、瑞典学者马顿合作发表了《变式教学：促进有效的数学学习的中国方式》，从变式教学的角度揭示了中国数学课堂教学中的合理成分。
目前国内对高三复习课变式教学的研究基本处于空白，各主要论文库中只存有一篇刘士良的《高三数学变式教学实验研究》（2006）。
按照顾泠沅的理论，变式有“平行变式”和“垂直变式”。
在新课讲授中设计的变式教学，受学生掌握知识的限制，主要是在一个“点”上平行展开。
在高三复习课的教学中，可以做到“平行变式”和“垂直变式”同时展开，一方面有利于学生对知识深刻理解，培养学生思维的灵活性，另一方面，更有利于学生将所学的知识融会贯通，形成良好的知识结构。
两方面结合，既有利于学生掌握知识在细节上的微妙变化，识清本质，又有利于学生从宏观层面俯瞰全局，运筹帷幄。
新课改考试大纲要求“以能力立意、不刻意追求知识覆盖面、重点知识重点考查、在网络知识的交汇点处命题、加大新增内容的考查力度、体现向量及导数的工具作用、回归教材、小题综合化以及向新课标靠拢”。
从近几年全国各省市高考数学试题看，都在坚持基础知识和基本技能的考查的同时，更加重视数学思想与方法的考查，试卷从多角度、多视点、多层次地考查数学理性思维，考查考生对数学本质的理解，考查考生的数学素养和学习潜能。
而高三数学复习，时间紧迫，内容繁杂。
如何在比较紧的时间内，尽可能的提高复习效率和质量，提高学生分析问题、解决问题的能力呢？我们的方法就是在高三复习中以“变”应“变”，通过合理恰当地运用变式教学，把互相关联的知识通过变式教学融合在一起，使学生深刻理解所学知识，识别问题的本质，这样运用起来就会得心应手。
变式——让高三数学复习课堂更精彩
变式——让高三数学复习课堂更精彩变式——让高三数学复习课堂更精彩高三是学生们面临高考的关键阶段，而数学作为高考科目之一，对于很多学生来说是一个挑战。
在高三数学复习阶段，如何让课堂更加精彩、更加有效成为了教师们思考的问题。
本文将谈论如何通过变式方法让高三数学复习课堂更加精彩。
什么是变式方法呢？变式是指对原题目进行修改或者转变，使其具有与原题目相似但又有所不同的特点。
在高三数学复习中，变式方法可以使学生更好地掌握各种考点和解题技巧。
变式方法促使学生思考，加深对知识点的理解，并培养学生的创新能力和解决问题的能力。
首先，变式方法可以帮助学生巩固基本知识。
在高考数学中，往往有很多基本的解题方法和公式需要学生掌握。
通过变式方法，教师可以改变问题的形式，使学生在解题过程中深入思考，并运用所学知识灵活解决问题。
例如，在讲解二次函数时，教师可以将问题改变成对称轴的问题、顶点的问题等，引导学生从不同角度理解二次函数的性质和解题技巧，帮助他们更好地掌握二次函数。
其次，变式方法可以培养学生的解决问题的能力。
高考数学试题往往有一定的难度和复杂度，需要学生具备较强的解决问题的能力。
通过变式方法，教师可以设计一些拓展性的问题，引导学生在已有知识的基础上思考、探索和解决问题。
例如，在讲解函数的导数时，教师可以设计一些应用题，让学生在实际问题中应用导数的概念，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
再次，变式方法可以激发学生的学习兴趣。
高三学生因为高考的压力和重复的复习内容，往往容易产生学习疲劳和厌学情绪。
通过变式方法，教师可以设计一些趣味性的变式题目，增加教学的趣味性和活跃性，激发学生的学习兴趣。
例如，在讲解概率问题时，教师可以设计一些有关概率的游戏，让学生在游戏中进行探索和解决问题，增加学习的趣味性。
最后，变式方法可以帮助学生理解数学的应用价值。
数学作为一门实用的学科，不仅仅只是为了应对考试。
通过变式方法，教师可以设计一些与实际生活相关的变式题目，让学生感受数学在现实生活中的应用和价值。
高三复习课变式教学的实践研究(期刊版)
高三数学复习课变式教学的实践研究吉林大学附属中学吴普林摘要本文着力于高三数学复习课变式教学的实践研究.理论层面上，作者从变异理论中汲取了更多营养.实践层面上，对高三复习课中，变式教学应掌握的基本原则、在课堂教学中变异的生成点进行了实践研究.关键词:高三数学；复习课；变式；变式教学；变异一、问题的提出（一）中国学习者悖论引发变式教学的研究变式教学在中国由来已久，在传统教学中的主要作用是使学生获得对概念的多角度理解.促使中外学者对变式教学系统研究的直接原因是“中国学习者悖论”，基本内容如下：其一，教师在数学教学中起着绝对的支配作用，学生在数学教学中处于纯粹的被动地位；其二，中国学生比起他国家学生(尤其是西方国家)有着较好的学习效果.教师绝对的支配作用和学生纯粹的被动地位的数学教学却产生较好的学习效果,悖论也就由此产生. 2005年顾泠沅与黄荣金、瑞典学者马顿(F.Marton)合作发表了《变式教学: 促进有效的数学学习的中国方式》,从变式教学的角度揭示了中国数学课堂教学中的合理成分.（二）高三数学复习课变式教学研究的必要性目前国内对高三复习课变式教学的研究基本处于空白，各主要论文库中只存有一篇刘士良的《高三数学变式教学实验研究》（2006）.按照顾泠沅的理论，变式有“平行变式”和“垂直变式”.在新课讲授中设计的变式教学，受学生掌握知识的限制，主要是在一个“点”上平行展开.在高三复习课的教学中，可以做到“平行变式”和“垂直变式”同时展开，一方面有利于学生对知识深刻理解，培养学生思维的灵活性，另一方面，更有利于学生将所学的知识融会贯通，形成良好的知识结构.两方面结合，既有利于学生掌握知识在细节上的微妙变化，识清本质，又有利于学生从宏观层面俯瞰全局，运筹帷幄.二、变式教学理论综述（一）概念性变式和过程性变式概念性变式和过程性变式是两种基本的教学策略.概念性变式的目的在于帮助学生形成对学习对象的本质属性的多角度理解，而过程性变式的目的在于建立学习对象与学习者已有知识的内在合理联系.1．概念性变式——对概念的多角度理解概念性变式包括概念变式和非概念变式.概念变式属于概念的外延集合，又可以分为标准变式和非标准变式.标准变式有利于学生对概念的准确把握，但也容易限制学生的思维，从而人为地缩小概念的外延.解决这个间题的方法之一就是充分利用非标准变式，通过变换概念的非本质属性，突出其本质属性.非概念变式不属于概念的外延集合，但与概念对象有某些共同的非本质属性，其中包括用于揭示概念对立面的反例变式.非概念变式，一方面可以帮助学生建立相关概念之间的联系;另一方面也可以预防或者澄清学生在概念理解时可能出现的混淆.2．过程性变式——数学活动的有层次推进20世纪80年代初，顾泠沅提出了“过程性变式”的概念，将教学变式从概念教学推广到活动经验的教学.过程性变式的主要教学含义是在数学活动过程中，通过有层次的推进，使学生分步解决问题.（二）变式教学理论的理论解释1．马顿(瑞典·F.Marton)的理论与概念性变式变异理论对学习有着特珠的理解与解释:学习与学习者主体能够审辨到的变化有关.当一现象的特定方面变化，而另一些方面保持不变时，那些变化的方面就会被审辨到.比如，我们不能单独地谈论数字“3”代表什么，不能孤立地谈它代表3个（多少）或是第3（序号），我们首先要意识到其它的数才能感觉到作为变异维度的“多少”和“序号”，然后通过与其它数的比较感觉这此维度上的特殊值3.通过变异，学生可以了解不同的情境并获得不同的识见方式，进而认识到，不同的理解方式可以应用于同一种情境，同一种理解方式也可以应用于不同的情境.马顿理论表明，如果我们希望发展学生的任何一种特定的能力，必须先让他们体会为了发展这种能力的某种变异\不变异模式.2．脚手架理论与过程性变式维果斯基用最近发展区（ZPD）概念来描述学习.最近发展区的定义如下：学习者独立问题解决的实际能力与在成人指导下或与更有能力的伙伴合作下所达到的潜在发展水平之间的距离(1978).教师在帮助学生发展潜在能力上的关注及研究导致了脚手架理论的建立.布鲁纳（1985）认为，教学中的“脚手架”就是一个更有能力的人来帮助学生从现有水平进步到潜在水平的一个过程.为了学习新知识，有必要在最近发展区中设计合理的“脚手架”.在中国的课堂教学中，非常强调教师通过设计一系列恰当的问题来引导课堂教学，使学生在认知上产生有层次的推进.中国教师在长期的实践中积累起的经验充分表明，适当的“过程性变式”，可以帮助学生体验新知识是如何从已有知识逐渐演变或发展而来的，从而理解知识的来龙去脉，形成一个知识网络.三、高三数学复习课变式教学的实践研究（一）高三数学复习课变式教学的实施原则1．目标导向性原则高三数学复习课的变式教学，首先要制定出具体明确、切实可行的目标.我们虽然提倡融恰宽松的课堂氛围，允许课堂上通过师生互动在一定程度上有超出预设的“生成性”，但是我们同样强调要发挥教师的主导作用，引领学生的思维沿着理性的河床前行,使大多学生在有限的时间内，思维高效集中地运行.2．注重过程性原则高三数学复习课的教学，很多教师重结论而轻过程，为学生总结大量“结论”和“规律”.最终是机械的结论没记住，分析问题的过程不了解，陷入学习的被动之中.3．主体参与性原则高三复习课的变式教学，教师不能搞包办代替,“变”与“不变”，都要让学生去体验,这样做也有助于学生形成个性化的知识结构.4．突出“四基”原则高三复习课的变式教学，很多知识都可以通过知识网络建立起内在联系，讲课时不能随心所欲地联系.变式教学要围绕“四基”（基础知识、基本技能、基本活动经验、基本数学思想）来进行，要紧紧围绕课程标准和考试说明进行，以免增加学生不必要的负担.5．重复和逻旋上升原则高三的复习课的变式教学要突出层次性，一个问题的变式训练，因变式的综合程度而异，因学生而异，因时间而异，往往要分别穿插在几个阶段来进行，使学生在重复的基础上逻旋上升.（二）高三数学复习课变式教学的课堂实施研究高三学生在学习上的欠缺主要体现在两方面，一是对知识的深度和广度不够，二是各章节的知识建立良好的知识网络.如何把基础知识、思想方法和具体问题三者揉合一起，进行变式教学呢？在马顿（瑞典·F.Marton ）的变异理论中，对“学习”的理解的论述，或许对我们会有一些启发.学习的意义在于能够审辨到学习内容中的变异,基于学习内容中的“不同”与“相同”的不同组合，马顿归纳出四种变异模式.“对比”（contrast ）:要了解什么是“３”，就必须知道什么不是“３”. “类比”（generalization ）：要了解“３”这个数值，我们就必须知道“３”在不同的地方是怎样表现的,“３”个苹果，“３”个人，“３”本书等等.通过类比，“３”这个数值的概念就会从其他无关的特征中被审辨出来，成为这几类事物的共同特征.“区分”(separateion)：要学习一件事物的某一方面时，我们就必须把这方面的因素从事物整体中区分出来.方法是改变我们要区分出来的方面，而保持其他各方面不变.“融合”(fusion)：事物往往是复杂的，同时由不同的因素构成，学习过程中就必须把事物的不同的方面有机地融合起来，或者说能够觉察到事物各方面的变化，对事物进行整体认识.我们下面对变式教学的实施研究，无意对高三复习课的变式教学进行分类，在设计时往往更注重突出了其中的一个或几个方面.1．延伸与拓展：改变知识呈现方式的变式实例１ 对称问题的变式设计教学中我们共分三个层次，介绍对称问题.从两个函数之间的对称问题，变异到一个函数本身的对称问题，再变异到一般曲线的对称问题.每一次变异，问题的呈现方式都发生了改变，不变的是“对称”的共同特征.变式层次一：两个函数之间的对称问题两个函数对称问题，有四种常见的类型：类型１： ()()y f x y y f x ==- 对称关于轴 类型２： ()()x y f x y f x ==- 关于轴对称 类型３： ()()y f x y f x ==--关于原点(0,0)对称 类型４： 1()()y x y f x y f x -===关于对称 这几种类型中，形式上容易混淆，给学生的学习造成了很大困难.在教学实践中，笔者改变问题的呈现方式，将问题转化成寻找对应点之间的对称关系，收到了很好的教学效果.我们把原函数的图象抽象成一个点(,)x y ，把四种对称变换后对应的图象也抽象成一个点，那么类型１：(,)(,)y x y x y −−−−−−−−−−−−→-关于轴对称 纵坐标相同时，横坐标互为相反数类型２：(,)(,)x x y x y −−−−−−−−−−−−→-关于轴对称 横坐标相同时，纵坐标互为相反数类型３：(0,0)(,)(,)x y x y −−−−−−−−−−−−→--关于原点对称 横、纵坐标都变成相反数类型４：(,)(,)y x x y y x =−−−−−−−−−−−−→关于对称 横、纵坐标交换我们用一个变式题来检验教学的效果.◆问题１：关于函数x y e -=，下面叙述正确的是（ ）A.与x y e =-关于x 轴对称B.与x y e =关于y 轴对称C.与x y e -=-关于原点对称D.以上都不对分析：x x x x y e y e y e ---=−−−−−−−−−−−−→-=⇒=-关于轴对称 横坐标相同时，纵坐标互为相反数x x y y e y e -=−−−−−−−−−−−−→=关于轴对称 纵坐标相同时，横坐标互为相反数(0,0)x x x y e y e y e -=−−−−−−−−−−−−→-=⇒=-关于原点对称 横、纵坐标都变成相反数因此，B 选项是正确的.变式层次二：一个函数本身的对称问题◆问题２：已知函数()f x 是奇函数，且当x ≥０时，2()2f x x x =+，当0x <时，()f x 的解析式为分析：2()2,f x x x x =+≥０(0,0)−−−−−−−−−→关于原点对称 横、纵坐标都变成相反数2()2()y x x -=-+-，即2()2(0).f x x x x =-+<变式层次三：一般曲线的对称问题◆问题3：圆22(1)(1)4x y -++=关于直线y x =对称的圆的方程是（ ）A. 22(1)(1)4x y +++=B. 22(1)(1)4x y -+-=C. 22(1)(1)4x y ++-=D. 22(1)(1)4x y -++=分析：22(1)(1)4x y -++=y x =−−−−−−−→关于对称 横、纵坐标交换22(1)(1)4y x -++=，选择Ｃ. 2.一般与特殊：统一在化归思想下的变式实例2 多面体与球组合的变式设计在这个多面体与球组合问题的变式设中，从一般到特殊的化归成为一条设计主线.使学生善于抓住问题的主要方面，窥一斑而知全豹.◆问题1：已知一个长方体的长、宽、高分别为3、4、5，且它的八个顶点都在球O 的表面上，求球的半径. 1分析:这个模型是长方体与球组合问题的基本模型,要抓住“球心”与“长方体的中心”完全重合的特征.因此，“长方体的体对角线的长与球的直径相等”，12BD R ==,R=◆问题2：已知一个边长为1的正方体，上底面的四个顶点在半球的表面上，下底面的四个顶点在半球的大圆面上，求球的半径.分析:引导学生将两个相同的半球，合成一个整球（右图），将问题化归成基本模型.2R=,R=.◆问题3：已知球面上有P、A、B、C四个点，PA、PB、PC两两垂直，且1PA PB PC===，求球的半径.分析:引导学生将PA、PB、PC还原成正方体的一个“角”（右图），将问题化归成基本模型. 2R=,R=.◆问题4：已知四面体ABCDA、B、C、D都在球O的表面上，求球的半径.分析:第一步，将一个正四面体还原成一个正方体;第二步，将正方体与球组合成问题１的基本模型.抓住正四面体的棱是正方体的“面对角线”，正方体的体对角线是球的直径这两个关键特征.1=∴球的直径21R=∴2R=3．对比与比较：建立知识的合理联系与区别的变式实例3 椭圆与双曲线标准方程及其性质的变式设计椭圆和双曲线同宗，它们的定义、表达式、图象和性质都具有许多相同或相近的性质，但在许多细节方面又有烔异的区别.通过对比研究，可以使共同的因素更加突出，细节处的微异暴露无遗.4.主干与枝叶：由核心知识产生的变式实例4 抛物线定义应用问题的变式设计在抛物线的学习中，定义是解决有关问题的核心知识.◆问题１：已知抛物线24y x=，抛物线上一点P到焦点F的距离为７，则点P到坐标轴y轴的距离为ABCDABCD1111ABCDABCD1111P BCAP BCA分析：过点P 作准线的垂线，与准线交点为N ，与y 轴交点为M .依题意||7PF =，||PM 即所求.||||7PN PF ==，||1NM =,∴||716PM =-=◆问题２：过抛物线22(0)y px p =>的焦点作一条直线和此抛物线相交，两个交点坐标分别是1122(,),(,)A x y B x y .求证：12||AB x x p =++. 分析：||||||||||AB AF BF AN BM =+=+1212[()][()]22p p x x x x p =--+--=++ ◆问题３：以过抛物线焦点的弦为直径作圆，与抛物线准线的对应关系是（ ）A.相离B.相切C.相交D.无法判定分析：设抛物线22(0)y px p =>过焦点F 的弦为AB ，点C为弦AB 的中点，由A 、B 和C 向抛物线的准线作垂线，垂足分别为M 、N 和K . 而||||||||||||222AM BN AF BF AB CK ++=== ∴本题答案为相切关系，选择Ｃ.5.思想与方法：由核心解法产生的变式实例5 三角函数中“五点对应法”问题的变式设计“五点对应法”不仅是画正、余弦函数图象的基本方法，更包含了转化和化归的思想，成为解决有关正、余弦函数的性质问题的一种核心方法.首先，我们看一个特殊的例子，我们用“五点对应法”画出函数2sin(2)3y x π=+在一个周期上的图象.设23t x π=+，列表如下：最值、对称性等关键因素.通过“五点对应法”，我们就可以把一个复杂的三角函数sin()y A x ωϕ=+转化成基本三角函数sin y A t =来研究.问题：已知()2sin(2)16fx x π=++. ⑴当[,]33x ππ∈-，且()1f x =求对应的x 值； ⑵当[,]33x ππ∈-时，求出函数()f x 的值域； ⑶当[,]33x ππ∈-时，求出函数()f x 的递增区间；y=2sint ,t ∈ 的图象2-65π，[]y=2sin(2x + )的图象3πy=2sin t 的图象⑷求出函数()f x 在区间[,]33ππ-内的对称轴方程； 分析：设26t x π=+∵[,]33x ππ∈-，∴5[,]26t ππ∈-.作出函数2sin y t =的简图，以这个简图为媒介进行研究. 结语变式教学，能锻炼学生问题的迁移能力，是培养学生创造性思维的有效途径，是促进有效学习的重要方式。
在高中数学教学中实施变式教学的策略研究
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在高中数学教学中实施变式教学的 策略研究
01 引言
03 参考内容
目录
02
高中数学教学中变式 教学的策略研究
引言
随着新课程改革的深入，高中数学教学面临着更多的挑战。为了提高数学教 学的效果，许多教师开始尝试各种新的教学方法。其中，变式教学策略作为一种 有效的教学方式，越来越受到广泛。变式教学策略能够引导学生从不同的角度思 考问题，有助于培养学生的创新能力和数学思维能力。本次演示将围绕高中数学 教学中变式教学的策略进行研究，以期为同行们提供一些有益的参考。
4、组织问题解决小组。让学生 分组合作解决问题，每组学生可 以使用不同的方法进行求解。
1、更多的教学实践和研究。随着越来越多的一线教师和专家学者变式教学 在高中数学教学中的应用，将会有更多的教学实践和研究活动出现，进一步推动 变式教学的理论和实践发展。
2、与信息技术的结合。随着信息技术的发展，变式教学将会与更多的信息 技术手段结合，例如利用数学软件、图形计算器等工具进行变式探究，使教学活 动更加生动、形象、有趣。
3、注重启发引导
在变式教学中，教师需要注重启发引导。例如，在讲解数学问题时，教师可 以引导学生从不同的角度思考问题，帮助学生发现问题的本质和解决方法。同时， 教师还需要注重培养学生的思维能力和创新能力，鼓励学生提出自己的见解和思 路。
4、及时总结反馈
在变式教学中，教师需要及时总结反馈。通过对变式问题的分析和解答，教 师可以帮助学生总结规律和方法，从而提高学生的解题能力和思维能力。教师还 需要及时发现学生在学习中存在的问题和困难，及时给予指导和帮助。
（4）组织问题解决小组。鼓励学生分组合作解决问题，培养团队协作能力 的同时，也能够促进学生对问题的深入探讨。
变式问题在高三数学复习教学中的应用
变式问题在高三数学复习教学中的应用1、问题的提出在“以能力立意、不刻意追求知识覆盖面、重点知识重点考查、在网络知识的交汇点处命题、加大新增内容的考查力度、体现向量及导数的工具作用、回归教材、小题综合化以及向新课标靠拢”的背景下，近几年全国及各省市的高考试题中，涌现了诸如“差集、融洽集、集合运算即时定义”问题、“耐克函数性质推广”问题、“等和数列、绝对差数列”问题、“5根木棒可连接所得三角形最大面积”问题、“三角形‘五心’性质的向量表示”问题、“三岔路口交通环岛”问题、“绝对距离、距离坐标”问题、“椭圆分点与数列”问题、“小球堆积”问题、“莱布尼茨三角形”问题、“信息传输、接收器与信号源”问题、“频率分布直方图、正态分布”问题等等，无论热点问题还是冷点问题都有，如果没有较强的自学能力、探索能力、创新能力和综合素质，是难以应对这些“变式问题”的。
提高学生的综合素质，培养学生的创新精神和实践能力，开展研究性、探究性学习，既是新课标推出的人才培养的新模式，也是新课标对教育教学提出的新要求。
怎样开展研究性、探究性学习，培养学生提出问题、独立分析问题和解决问题的能力，增强高三数学复习的针对性和实效性，是广大高中数学教师共同研究的课题。
笔者在所教的理科实验班及平行重点班采用“变式问题教学法”，取得较好的教学效果（其中04级11班在摸底及诊断考试中数学平均分均不亚于4、7、9中的平均分，具体情况见下表,全班49人在高考中数学成绩上120分的达21人，上有效分88分的达48人; 07级15班摸底考试平均分为121.64分，四、七、九中均分为115.22分，07级12班摸底考试平均分为91.95分）本文就围绕所谓变式，是指对数学概念、定义、定理、公式、法则等的变化以及题目之不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变化，使其面目不一，而本质特征不变。
“变式问题在高三数学复习教学中的应用”，遵循目标导向、启迪思维、暴露过程、主体参与、探索创新的教学原则；以现代教育理论为指导；以精心设计问题、引导探索发现、展现形成过程、注重知识建构、摒弃题海战术、提高应变能力、优化思维品质、培养创新精神为基本要求；以知识变式（概念定义、定理公式法则变式）、题目变式（“一题多变”）、方法变式（“一题多解”）、思维变式等为基本途径；以培养具有创新意识和创新能力的人才为目标。
高中数学教学改革成果汇报
一、引言随着教育改革的不断深入，高中数学教学也发生了许多变化。
这些变化旨在提高教学质量，增强学生数学能力，以及适应新时代的教育要求。
我们在此将详细汇报这些改革的成果。
二、教学内容的改革强化基础知识：为了让学生更好地掌握数学基础知识，我们重新设计了教材内容，加强了对概念、公式、定理等基础知识的讲解和应用。
增加实际应用：我们增加了许多与实际生活相关的例子和应用题，让学生能够更好地理解数学在现实生活中的应用。
引入新的教学方法：我们引进了更多的互动式教学和多媒体教学，使学生能够更直观、生动地理解数学知识。
三、教学方式的改革互动式教学：我们提倡更多的互动式教学，鼓励学生提问和讨论，让课堂变得更加活跃。
分层教学：针对学生数学能力参差不齐的问题，我们实施了分层教学，使不同层次的学生都能得到适合的教学。
课外辅导：我们增加了课外辅导，为学生提供更多的学习支持和帮助。
四、学生评价的改革过程性评价：我们重视对学生学习过程的评价，不仅仅看考试成绩，还看他们在课堂上的参与情况、作业完成情况等。
多元性评价：我们实施了多元性的评价方式，包括学生自评、互评、教师评价等多种方式，以更全面地了解学生的学习情况。
五、教师培训的改革教师专业素养的提升：我们加强了对教师的专业培训，提高了他们的数学素养和教学能力。
教师教学理念的更新：我们鼓励教师更新教学理念，采用新的教学方式和方法，以更好地适应教育改革的要求。
六、成果展示经过一系列的改革措施，高中数学教学质量得到了显著提高。
具体表现在以下几个方面：学生成绩提高：通过强化基础知识、增加实际应用、实施分层教学等措施，学生的数学成绩普遍提高。
学生参与度提升：互动式教学的开展使得学生在课堂上的参与度大幅提升，课堂氛围得到了明显改善。
评价方式更加合理：过程性评价和多元性评价的实施，使得对学生的评价更加公正、合理。
教师素质提升：教师专业素养的提升和教学理念的更新，使得教师的教学能力和专业素养得到了显著提高。
高三数学复习课变式教学研究与实践
中便呈现了两个直角三角形"分别表示出A7-2.,L
和A7-2>,L"再以两角和正切来构造关系"即可得出
结论!本 题 解 决 问 题 的 关 键 在 于 #构 造 直 角 三 角 形 $"
不少学生无法意识到这一关键性思路"此时的变式就
很有必要了!
变式如图!已知 2.-> #2.L> #,-# %若.> ##!+则当M 为何值时& 最大
所以就目前的 课 堂 模 式 而 言尤 其 是 对 于 高 三 数学复习课变式教学的开展是改变这种状态的途径 之一!所谓变式教学是指以一两个问题为主线紧 扣数学本质进行一系列的数学变化为学生提供再思 考和再创造的机会有助于他们在探究中体验探究之 乐培养灵活转换和举一反三的能力感悟数学本质!
复习 备考 备考指南!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!"!#年/月
高三数学复习课变式教学研究与实践
" 广东省珠海市第一中学平沙校区 ! 赵雪妍
一引言
美籍华裔学者蔡金法曾对中美高中生的数学能 力进行过 调 查并 得 出 结 论中 国 的 高 中 生 在 计 算 能 力和解决一般问题能力这两个方面相较于美国高中 生有着明 显 的 优 势而 在 解 决 一 些 复 杂 性开 放 性 和 新颖性的数学问题以及提出新颖具有一定深度的独 特见解能力这两个方面美国高中生则要明显优于中 国高中生!而这些表现的主要根源在于传统数学教学 对于学生创新意识培养方面的缺憾教师在问题提出 策略上较 为 单 一往 往 一 味 地 搞 题 海 战 术而 这 些 问 题只能反复训练学生解决问题的能力对于学生思维 的发展毫无意义数学学科本身的教育价值难以得到 发挥禁锢了学生思维的发展!
浅谈高三数学复习课中的变式教学
浅谈高三数学复习课中的变式教学【摘要】高三数学复习课中，往往存在：老师讲解多，学生思考少；一问一答多，研讨交流少；操练记忆多，鼓励创新少；强求一致多，发展个性少；照本宣科多，智力活动少；显性内容多，隐性内容少；应付任务多，精神乐趣少等现象。
通过变式教学，使一题多解、一题多变，唤起学生的好奇心和求知欲，由浅入深、体现梯度、形成系统，把知识从一个问题迁移到另一个问题，从而达到举一反三，触类旁通之效果。
使不同程度的学生都有所发展。
【关键词】高三复习课变式教学一题多解一题多变高三数学复习课中，往往存在：老师讲解多，学生思考少；一问一答多，研讨交流少；操练记忆多，鼓励创新少；强求一致多，发展个性少；照本宣科多，智力活动少；显性内容多，隐性内容少；应付任务多，精神乐趣少等现象。
由于缺乏新信息刺激，学生思维难以兴奋，成了解题的机器，发散思维受到了抑制，好奇心、想象力和创新能力逐渐削弱，复习效果可想而知。
为了克服以上弊端，高三复习笔者尝试了变式教学。
所谓数学变式教学练，即是指在数学教学过程中对概念、性质、定理、公式，以及问题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式，以暴露问题的本质特征，揭示不同知识点间的内在联系的一种教学设计方法。
通过变式教学，使一题多解、一题多变、一题多思，唤起学生的好奇心和求知欲，由浅入深、体现梯度、形成系统，把知识从一个问题迁移到另一个问题，从而达到举一反三，触类旁通之效果。
使不同程度的学生都有所发展。
1.一题多解，触类旁通例：已知x+2y=1，求x2+y2的最小值。
本题分析时，侧重引导学生从方程、函数、数形结合等不同的角度去思索、探讨，得到了以下解法：解法一（利用方程的思想）：设x2+y2=t ，∵x,y 满足x+2y=1，∴由方程组x+2y=1x2+y2=t ，得5y2-4y+1-t=0。
要使方程组有解，必须△≥ 0，即16-20（1-t）≥0 ，∴t≥15 ，∴x2+y 2 的最小值是15解法二（利用函数的思想）：设t=x2+y 2 ，∵x+2y=1 ，∴x=1-2y，∴t=x2+y2=(1-2y)2+y2=5y2-4y+1=5(y-25) 2+15，∴x2+y 2 的最小值是15解法三（利用数形结合的思想）：由x2+y2=((x-0)2+(y-0)2) ，可知求x2+y2的最小值就转化为求直线x+2y=1上的一点到原点的距离的最小值，即求原点到直线的距离。
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
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《高中数学复习中的变式教学》课题成果主体报告乳山九中数学课题组主持人：杨永利参与人：高明岩、姜培勤、隋明湖、郑美华一、课题研究的背景从高中一线数学教学现状来看，“教师讲，学生听”仍是主要的教学思路，基本上是题海战术以致熟能生巧，基本流于“齐步走”“一刀切”的教学模式和“大一统”的教学进度。
这种“重复低效”的数学课堂教学，无视学生个性差异对教学的不同需要，使相当一部分学生“丧失”了数学学习的兴趣，思维变得越来越狭窄，对所学知识往往只注重数学表象，而忽视了数学知识的核心——数学思想。
2009年春季，威海市教研室祝广文主任和乳山教研室高明岩老师因我校数学成绩优异莅临我校视察。
当时正值高三二轮复习,杨永利老师执讲了一节数列专题复习的讲评课。
在这节课中，杨老师运用变式教学贯穿了整个课堂。
课后，祝主任就这一点给予了肯定的评价，并提出了宝贵的意见。
从这以后我们开始走上“高中数学复习中的变式教学”的探索道路。
经过多年的探索，我们逐步摸索出了一套适合我校学生发展的变式教学模式，在2012年9月，我们向教研中心提交申请，正式开始进行变式教学研究。
二、课题研究的理论依据从顾泠沅先生提出变式教学理论，维果茨基的认知发展理论，到马顿（Marton）的变异理论为变式教学提供了认识论基础和支撑理念。
在数学变式教学中，学生合作探究、启发引导问题变式等竞略都是建立在维果茨基的发展理论之上。
《普通高中数学课程标准》中也强调“通过丰富的实例引入数学知识，引导学生应用数学知识解决实际问题，经历探索、解决问题的过程，体会数学的应用价值。
”变式教学以现代教育理论为指导，以精心设计问题、引导探索发现、展现形成过程、注重知识建构、提高应变能力、优化思维品质、培养创新精神为基本要求，以知识变式、题目变式、思维变式、方法变式为基本途径，遵循目标导向、启迪思维、暴露过程、主体参与、探索创新等教学原则，深入挖掘教材中蕴涵的变式创新因素，努力培养学生的求异思维、创新意识和创造能力。
三、课题研究的目标1．探索不同课型的变式教学模式及流程。
围绕变式教学探索研究教法与学法，为高三数学复习课的有效教学提供指导。
主要是研究在高中数学课堂教学过程中，探讨如何通过教师合理安排变式教学，呈现数学教学的本质内涵，达到学生高效的学习目的，逐步探索提高高中数学教与学的有效程度的途径与方法。
2.不同问题的变式策略。
注重问题是如何演变和如何深入的途径，以及问题演变的技术手段。
主要有如下几方面：对原题型的条件或结论的变式探究；原题数量关系的变式探究；因某一知识迁移的变式探究；增加试题层次的变式探究；转化设问方向的变式探究；纵横交错、信息互换的变式探究。
四、课题研究的具体内容立足于教师课堂教学和学生解题训练的实际情况，针对四种教学模式不同的课型，我们又做了具体的细化。
（一）定义复习课教学模式定义复习课中的变式教学，是一个以学生为中心，以学生自主创新学习为基础，以学生创新精神和创新素质的全面发展为目标的教学过程。
具体操作程序为：“概念回顾→例题探究→变式深化→变式训练→总结升华”五个环节。
1．概念回顾教师活动主要体现在：根据概念类型、设计概念变式，将概念还原到客观实际(如实例、模型或已有经验、题组等)提出问题。
学生在教师创设的特定情境中，从实践经验和原认知结构中提取与新知相关的旧知，发现新知、旧知间的联系。
2．例题探究教师要创造性地引导学生“探究”，鼓励学生“质疑”，激励学生“超越”。
在学生自主学习、小组讨论、集体交流的过程中，教师让学生大胆质疑，勇于求异，敢于争辩。
学生活动体现在：(1)学生自主创新学习。
(2)个体自主探究。
(3)小组相互探讨。
(4)集体相互交流。
3．例题变式在变式深化环节中，教师活动体现在：(1)设计概念辨析变式题组，引导学生讨论、探究。
(2)设计概念等价深化变式，引导学生探索、发现。
可采用诱导、点拨、适度评价等方法。
学生活动体现在：(1)积极调动原有知识，与新学概念进行比较、分析，逐步形成新的知识结构与知识系统。
(2)根据教师的引导，积极探索、发现新知。
通过自主思考、小组讨论等形式，对概念进行更深层次上的认识和把握。
4．变式提高教师精心选编题目，通过变式得到一组变式训练题组，让学生在解答、变式、探索中，深化对概念的理解，促进认知结构的内化过程。
学生活动表现在：(1)自我探索。
在多方位探求解法的基础上，通过探索题目变式及对变式问题的解决，理解新概念。
(2)公开表述。
通过小组讨论，集体交流，将个人学习成果贡献给大家，同时分享集体学习的成果，从中体验成功的快感，形成自主创新学习的动力。
5.总结升华在完成上述各环节后，对课堂教学内容及方法作适当的总结，使学生对所学概念、方法的认识得以升华。
一是建立新知识的内在联系，并纳入原有知识新系统，形成知识结构，实现内化过程中的再建构；二是对研究问题的方法进行回顾、反思，使学生逐步掌握自主创新学习的方式方法，培养科学、严谨的研究态度，从而全面完成教学目标，逐步形成创新能力。
（二）经典习题课教学模式例题(习题)课的教学程序为：“精选范例→解法变式→方法应用→题目变式→问题解决→总结升华”。
应当指出，上述六个环节可根据具体情况有所删减。
1．精选范例范例的选取应具有“四性”：针对性、基础性、灵活性和可变性。
即对所学知识的训练有针对性；能用基本知识、基本方法加以解决；解法灵活多变；可以进行题目变式，联题成片。
学生活动体现在：自主审题，为实施解法变式、题目变式和主动探索、尝试发现作好情感准备。
2．解法变式通过对范例实施解法变式追求一题多解、解法优化。
学生活动体现在：(1)自主探索解法，求得问题解决。
(2)求新求异，多角度思考问题，多渠道寻求解决问题的方法。
(3)相互交流，相互启发，扩大探索成果。
(4)自主总结各种解法的规律与技巧，形成解题技能。
3.方法应用在方法应用环节中，教师引导下学生活动体现在：自主解答变式训练题组，使方法得以迁移，形成技能技巧，提高解题能力。
4．题目变式通过师生对范例的共同探索(包括变化条件、探求讨论、等价变化、逆向探索、图形变化、推广拓广等)，获得题目的一类或几类变式。
在教师的诱导和及时评价下学生活动体现在：(1)在教师的引导下，独立探索，挖掘题目变式。
(2)小组相互探讨，通过相互交流，自由发言，充分体会成功感。
5．问题解决在教师的适时启发下学生活动体现在：(1)按教师要求，探求规定题目的求解策略与方法。
(2)对不能自主解决的问题，同学之间、师生之间相互探讨。
(3)注意解题规律、方法的积累与总结。
6．总结升华一是对解题方法、规律的总结升华，对课堂上所用知识、方法加以梳理、概括，纳入知识方法体系；二是对研究问题的方法加以总结，使学生掌握探究学习的方式方法。
（三）知识整合专题课教学模式知识整合专题课的教学程序是：“知识归析→精选范例→解法探究→探索变式→问题解决→总结升华”。
1．知识归析在知识归析环节中，教师活动体现在：(1)设计针对性、启发性强的问题，激发学生回顾旧知识的兴趣。
(2)引导学生建立知识结构。
学生活动体现在：主动参与，积极回顾、探究所学知识的内在本质联系，建立明晰、稳固的知识体系，使所学知识在回顾与反思中得到进一步升华。
2．精选范例复习课所选的范例应具有针对性、典型性、灵活性、综合性、层次性。
教师活动体现在：选择符合上述要求的题目，为学生创设广阔的探索空间。
学生活动体现在：自主审题，为实施解法变式、题目变式作好情感准备。
3．解法探究具体操作请参考经典习题课教学模式说明2——“解法变式”。
4．探索变式教师活动体现在：(1)诱导启发，激发学生的探索、创新欲望。
(2)适时引导、点拨，指引学生的探索方向。
(3)及时评价，鼓励学生的探索精神和继续探索的勇气。
学生活动体现在：通过独立探索、小组讨论、集体交流等方式，全员参与、积极思维，最大限度地探索题目的各种变式。
5．问题解决具体操作请参考经典习题课教学模式说明5——“问题解决”。
6．总结升华具体操作请参考经典习题课教学模式说明6——“总结升华”。
（四）试卷讲评课教学模式讲评课是指在进行了单元考查、阶段考查或期末考查之后，对试卷进行评析的课型。
数学讲评课的教学程序是：“总体评价——归类评析——变式训练——回顾全卷——总结升华”。
1．总体评价总体评价包括对试题难度、信度、区分度的简要评价；对学生成绩的简要分析；对出错较多的题目、题型、知识点等“错点”的简要分析。
学生活动体现在：(1)根据教师的分析正确评价自己的成绩。
(2)找准自己的薄弱环节，把握课堂学习重点。
2．归类评析归类评析又包括典型错例评析、同类题目归类(多题一解)评析、典型方法评析、重点知识评析等。
在一份试卷的讲评中，可根据学生答题情况，有所侧重的选择1—2项重点评析。
(1)错例评析选择典型的、有针对性的、能触类旁通且出错率较高的题目作范例，进行点拨、评析。
在评析时，要注意引导学生深刻剖析出错的根源，在找到根源的基础上，引导学生探究正确的解题思路方法，进而培养学生严谨的学习态度和良好的学习习惯。
在错例评析环节中，教师活动体现在：①选择典型范例；②引导分析错因；③点拨解题方法，引导学生给出范例的正确解答。
学生活动体现在：①自主寻找错因；②积极参与，成果共享；③探求正确解题方法，完成范例解答。
(2)同类题目归类评析一份试题，总存在同类型的题目。
在试卷讲评中，把这些同类型题目集中讲评，不仅可以加深学生对问题的理解，使之透过现象看本质，又可以举一反三，事半功倍。
在这一环节中，教师活动体现在：①引导学生挖掘题目本质，按知识或方法寻求同类型题目；②引导学生确定同类型题目中的一个，深入探究，研深研细。
学生活动体现在：①自主探索，将题目归类；②探求类题的优解，提高解题能力。
(3)典型方法评析在典型方法评析环节中，教师活动体现在：①引导学生提炼数学思想方法；②设计变式问题，强化数学思想方法的运用。
学生活动体现在：自主参与，积极总结、提炼数学思想方法，并自觉用之解决有关问题。
(4)重点知识评析在试卷讲评中，通过对有关题目的重点评析，引导学生进一步回顾、总结、归纳基础知识，深化知识体系。
教师活动体现在：以题目带知识，引导学生反思。
学生活动体现在：在教师的点拨下，自主回顾旧知，理清知识网络，重构知识体系。
3．变式提高这里的变式是指对典型范例的变式，是针对学生出现的错误编拟的矫正练习、针对数学思想方法所设计的强化训练或一些典型范例的引申拓广。
教师活动体现在：①设计变式。
②引导学生求解变式问题。
学生活动体现在：在教师的指导、点拨下，设计、求解变式问题，矫正错误，建立准确无误的知识网络，形成明晰的数学思想方法，养成良好的思维和学习习惯。
4．回顾全卷因学生的个别差异，每个人存在的知识缺陷不同，解题中出现的错误也不尽相同。