高中数学中的中国传统文化

数学中的中国传统文化

教育部考试中心函件《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》要求“增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用．比如，在数学中增加数学文化的内容．”因此，我们特别策划了此专题，将数学文化与数学知识相结合，选取典型样题深度解读，希望能够给予广大师生的复习备考以专业的帮助与指导．

一、算法问题

1．用更相减损术求294和84的最大公约数时，需要做减法的次数为()

A．2 B．3

C．4 D．5

答案 C

解析(84,294)→(84,210)→(84,126)→(84,42)→(42,42)，一共做了4次减法．

2．如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a为()

A．4 B．2

C．0 D．14

答案 B

解析由题意输出的a是18,14的最大公约数2，故选B.

3．用辗转相除法求459和357的最大公约数，需要做除法的次数是()

A．1 B．2

C．3 D．4

答案 C

解析∵459÷357＝1…102，

357÷102＝3…51，

102÷51＝2，

∴459和357的最大公约数是51，需要做除法的次数是3.

4．秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，对于求一个n次多项式函数f n(x)＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x＋a0的具体函数值，运用常规方法计算出结果最多需要n

次加法和n(n＋1)

2次乘法，而运用秦九韶算法由内而外逐层计算一次多项式的值的算法至多需要

n次加法和n次乘法．对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以此算法极大地缩短了CPU运算时间，因此即使在今天该算法仍具有重要意义．运用秦九韶算法计算f(x)＝0.5x6＋4x5－x4＋3x3－5x当x＝3时的值时，最先计算的是()

A．－5×3＝－15

B．0.5×3＋4＝5.5

C．3×33－5×3＝66

D．0.5×36＋4×35＝1 336.6

答案 B

解析f(x)＝0.5x6＋4x5－x4＋3x3－5x＝(((((0.5x＋4)x－1)x＋3)x＋0)x－5)x，

然后由内向外计算，最先计算的是0.5×3＋4＝5.5.

5．若用秦九韶算法求多项式f(x)＝4x5－x2＋2当x＝3时的值，则需要做乘法运算和加减法运算的次数分别为()

A．4,2 B．5,3

C．5,2 D．6,2

答案 C

解析∵f(x)＝((((4x)x)x－1)x)x＋2，∴乘法要运算5次，加减法要运算2次．

6．已知函数f(x)＝6x6＋5，当x＝x0时，用秦九韶算法求f(x0)的值，需要进行乘方、乘法、加法的次数分别为()

A．21,6,2 B．7,1,2

C．0,1,2 D．0,6,1

答案 D

解析∵f(x)＝6x6＋5，

多项式的最高次项的次数是6，

∴要进行乘法运算的次数是6.

要进行加法运算的次数是1，

运算过程中不需要乘方运算．

7．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，

若输入的a依次为2,2,5，x，n均为2，则输出的s等于()

A．7 B．12

C．17 D．34

答案 C

解析第一次运算，a＝2，s＝2，n＝2，k＝1，不满足k>n；

第二次运算，a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2，不满足k>n；

第三次运算，a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3，满足k>n，

输出s＝17，故选C.

8．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x3－3x2＋2x－11的值时，应把f(x)变形为()

A．x3－(3x＋2)x－11 B．(x－3)x2＋(2x－11)

C．(x－1)(x－2)x－11 D．((x－3)x＋2)x－11

答案 D

解析f(x)＝x3－3x2＋2x－11＝((x－3)x＋2)x－11

9．用秦九韶算法求函数f(x)＝3x5－2x4＋2x3－4x2－7当x＝2的值时，v3的结果是()

A．4 B．10

C．16 D．33

答案 C

解析函数f(x)＝3x5－2x4＋2x3－4x2－7＝((((3x－2)x＋2)x－4)x)x－7，

当x＝2时，v0＝3，v1＝3×2－2＝4，v2＝4×2＋2＝10，v3＝10×2－4＝16.

10．用秦九韶算法求多项式f(x)＝x6－5x5＋6x4＋x2＋0.3x＋2的值，当x＝－2时，v1的值为()

A．1 B．7

C．－7 D．－5

答案 C

解析∵f(x)＝x6－5x5＋6x4＋x2＋0.3x＋2＝(((((x－5)x＋6)x＋0)x＋1)x＋0.3)x＋2，

∴v0＝a6＝1, v1＝v0x＋a5＝1×(－2)－5＝－7.

11．利用秦九韶算法求多项式f(x)＝－6x4＋5x3＋2x＋6的值，当x＝3时，v3的值为() A．－486 B．－351

C．－115 D．－339

答案 C

解析f(x)＝－6x4＋5x3＋2x＋6＝(((－6x＋5)x＋0)x＋2)x＋6，

∴v0＝a4＝－6，

v1＝v0x＋a3＝－6×3＋5＝－13，

v2＝v1x＋a2＝－13×3＋0＝－39，

v3＝v2x＋a1＝－39×3＋2＝－115.

12．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为4,3，则输出v的值为()

A．20 B．61

C．183 D．548

答案 C

解析由程序框图知，初始值：n＝4，x＝3，v＝1，i＝3，第一次循环：v＝6，i＝2；第二次循环：v＝20，i＝1；第三次循环：v＝61，i＝0；第四次循环：v＝183，i＝1.结束循环，输出当前v的值183.