圆的一般方程,标准方程,参数方程总结
圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化
圆的参数方程及参数方程与普通方程的互化(x-h)²+(y-k)²=r²这是圆的一般方程，也被称为普通方程。
它表示平面上任意一点到圆心的距离与半径r的关系。
为了将圆的参数方程转换为普通方程，首先假设圆的参数为角度θ，则参数方程可以表示为：x = h + r * cosθy = k + r * sinθ这里，θ的取值范围为0到2π，也即一个完整的圆周。
将这两个参数方程代入圆的一般方程中，可以得到：(h + r * cosθ - h)² + (k + r * sinθ - k)² = r²化简之后，可以得到传统的普通方程。
与参数方程相反，将普通方程转换为参数方程的过程叫做互化。
首先，假设圆的圆心为(h,k)，半径为r。
将圆的一般方程展开：(x-h)²+(y-k)²=r²然后，将其中的x和y都表示成关于θ的函数。
考虑到sin²θ +cos²θ = 1，可以设x - h = r * cosθ，y - k = r * sinθ。
将这两个式子代入，可以得到：(r * cosθ)² + (r * sinθ)² = r²化简之后，即得到参数方程。
这样，普通方程和参数方程之间实现了互化。
使用参数方程进行图形绘制时，可以通过改变参数θ的取值范围来绘制整个圆周。
此外，参数方程也可以用于描述其他形状，如椭圆、双曲线等。
通过调整参数方程的形式，可以绘制出各种不同形状的图形。
参数方程的优势在于它可以更直观地描述图形的特征。
通过改变参数的取值范围，我们可以创建出不同的图案，并更容易对图形进行变换、旋转、缩放等操作。
此外，参数方程的计算也更加简单，适合用于计算机图形学领域。
总之，参数方程和普通方程是描述圆的两种常用方式。
通过互化，我们可以在参数方程和普通方程之间自由切换，并利用它们来描述各种形状的图形。
有关圆的所有计算公式
有关圆的所有计算公式S圆=π×R的平方; C圆=2πR或πD扇形弧长l=nπr/180 扇形面积S=(nπr^2)/360=lr/2 圆锥侧面积S=πrl 圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角n=360r/l(r是底面半径,l是母线长) 圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。
圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(其中D^2+E^2-4F＞0）。
其中和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2-r^2。
该圆圆心坐标为（-D/2,-E/2)，半径r=0.5√D^2+E^2-4F。
圆的参数方程：以点O（a，b）为圆心，以r 为半径的圆的参数方程是x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, (其中θ为参数) 圆的端点式：若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2)，则以线段AB为直径的圆的方程为 (x-a1)(x-a2)+(y-b1)(y-b2)=0 圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。
经过圆x^2+y^2=r^2上一点M（a0，b0）的切线方程为a0*x+b0*y=r^2 在圆(x^2+y^2=r^2)外一点M （a0，b0）引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为a0*x+b0*y=r^2平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是： 1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。
利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
圆的方程数学知识点与练习
圆的方程●圆的方程的三种形式 （1）圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r 2，方程表示圆心为(a,b)，半径为r 的圆. （2）圆的一般方程对于方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0①当D 2+E 2-4F ＞0时，表示圆心为（-D 2,-E 2），半径为12②当D 2+E 2-4F=0时，表示一个点（-D 2，-E2）；③当D 2+E 2-4F ＜0时，它不表示任何图形.（3）圆的参数方程x a rcos ,y b rsin θθ=+⎧⎨=+⎩，圆心(a,b ），半径r ＞0，θ∈R. ●点与圆的位置关系圆的标准方程（x-a ）2+(y-b)2=r 2,圆心A （a,b ），半径r ，若点M （x 0,y 0）在圆上，则(x 0-a)2+(y 0-b)2=r 2; 若点M （x 0,y 0）在圆外，则(x 0-a)2+(y 0-b)2＞r 2; 若点M （x 0,y 0）在圆内，则(x 0-a)2+(y 0-b)2＜r 2. ●确定圆的方程的方法（1）确定圆的方程的主要方法是待定系数法.如果选择标准方程，一般步骤为： ①根据题意，设所求圆的标准方程为（x-a ）2+(y-b)2=r 2; ②根据已知条件，建立关于a 、b 、r 的方程组；③解方程组，并把它们代入所设的方程中，整理后，就得到所求方程. 求圆的标准方程时，尽量利用圆的几何性质，可以大大地减少计算量. (2)如果已知条件中圆心的位置不能确定，可考虑选择圆的一般方程，圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此，必须具备三个独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采用待定系数法.设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，由三个条件得到关于D 、E 、F 的一个三元一次方程组，解方程组,求出参数D 、E 、F 的值即可.(3)以A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2)为直径的两端点的圆的方程为（x-x 1）(x-x 2)+(y-y 1)(y-y 2)=0. （4）在求圆的方程时，常用到圆的以下几个性质： ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线. ●与圆有关的最值问题（1）求与圆有关的最值问题多采用几何法，就是利用一些代 数式的几何意义进行转化.如①形如m=y bx a--的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t=ax+by 的最值问题，可转化为直线在y 轴上的截距的最值问题；③形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题. (2)特别要记住下面两个代数式的几何意义：yx表示点（x,y ）与原点（0,0）连线的直线斜率表示点（x,y ）与原点的距离. 1.方程x 2+y 2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是( )A.14＜m＜1 B.m＞1 C.m＜14D.m＜14或m＞1解析：若方程表示圆，则(4m)2+(-2)2-4×5m＞0，解得m＜14或m＞1.答案：D2.若点（4a-1,3a+2）不在圆(x+1)2+(y-2)2=25的外部，则a的取值范围是( )A.|a|B.|a|＜1C.|a|D.|a|≤1解析：点（4a-1,3a+2）不在圆(x+1)2+(y-2)2=25的外部，则(4a-1+1)2+(3a+2-2)2≤25，即|a|≤1. 答案：D3.圆(x+2)2+y2=5关于直线y=x对称的圆的方程为( )A.(x-2)2+y2=5B.x2+(y-2)2=5C.(x+2)2+(y+2)2=5D.x2+(y+2)2=5解析：圆(x+2)2+y2=5的圆心(-2，0)关于y=x对称的点的坐标为(0,-2)，所以，所求圆的方程是x2+(y+2)2=5.答案：D4.已知x、y满足x2+y2-4x-6y+12=0，则x2+y2的最小值为__________.解析：点（x,y）在圆(x-2)2+(y-3)2=1上，故点(x,y)到原点距离的平方即x2+y2的最小值为2答案：5.已知圆x2+y2+kx+2y=-k2，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标为__________.答案：(0,-1)自我诊断①若圆x2+y2+(a2-1)x+2ay-a=0关于直线x-y+1=0对称，则实数a的值为__________.答案：3自我诊断②以点A（-3，0），B（0，-3），C（157，247）为顶点的三角形与圆x2+y2=R2（R＞0）没有公共点，则圆半径R的取值范围是（）)∪,+∞) B.( ) )∪(3,+∞)D.(,3)2解析：如图，若圆与△ABC没有公共点，需考虑两种情况，①圆在三角形内部；②圆在三角形外部.当圆在三角形内部时，圆与BC；当圆在三角形外部时，圆过点C，所以选A.答案：A题型一圆的方程的求法【例1】根据下列条件求圆的方程：（1）经过点P（1，1）和坐标原点，并且圆心在直线2x+3y+1=0上；（2）圆心在直线y=-4x上，且与直线l:x+y-1=0相切于点P（3，-2）；（3）过三点A（1，12），B（7，10），C（-9，2）.规律方法：求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：（1）几何法，通过研究圆的性质而求出圆的基本量；（2）代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解. 创新预测1根据下列条件求圆的方程：（1）已知一圆过P（4，-2）、Q（-1，3）两点，且在y轴上截得的线段长为（2，圆心在直线y=2x上，圆被直线x-y=0截得的弦长为题型二与圆有关的最值问题【例2】已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.（1）求yx的最大值和最小值；（2）求y-x的最大值和最小值；（3）求x2+y2的最大值和最小值.规律方法：化x、y满足的关系式为(x-2)2+y2=3，明确yx、y-x、x2+y2的几何意义，数形结合求解.创新预测2已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.（1）求y2x1++的最大值和最小值.（2）求x-2y的最大值和最小值.（3）求点P（x,y）到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值.题型三与圆有关的轨迹问题【例3】设定点M（-3，4），动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.\规律方法：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；定义法，根据圆、直线等定义列方程；几何法，利用圆与圆的几何性质列方程；代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.创新预测3 已知圆x2+y2=4上一定点A（2，0），B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点. （1）求线段AP中点的轨迹方程；（2）若∠PBQ=90°，求PQ中点的轨迹方程.题型四与圆有关的实际应用问题【例4】有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：A地每千米的运费是B地每千米运费的3倍.已知A、B两地距离为10 km，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低.求P地居民选择A地或B地购货总费用相等时，点P所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点.规律方法：审清题意，根据题意求轨迹方程.求方程前必须建立平面直角坐标系，否则曲线就不能转化为方程，坐标系选取得当，可使运算过程简单，所得方程也较简单.创新预测4 设有一个半径为3 km的圆形村落，A、B两人同时从村落中心出发，A向东而B向北前进.A出村后不久，改变前进方向，沿着切于村落边界的方向前进，后来恰好与B相遇.设A、B 两人的速度都一定，其比为3∶1，问:两人在何处相遇？精品作业自我测评·技能备考一、选择题：每小题6分，共36分.1.（2009·许昌模拟）P（x,y）是圆x2+y2=1与直线x+y+2m=0(m＞0)的公共点，则直线008=0的倾斜角的最大值为( )A.45°B.60°C.90°D.135°答案：A2.（2009·天津汉沽模拟）已知两点A(-2,0)，B(0,2),点C 是圆x 2+y 2-2x=0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是( )C.3-2D.32 答案：A3.（2009·山东临沂模拟）若直线ax+2by-2=0(a ＞0,b ＞0)始终平分圆x 2+y 2-4x-2y-8=0的周长，则1a +2b的最小值为( )A.1B.5 答案：D4.（2008·山东）已知圆的方程为x 2+y 2-6x-8y=0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )答案：B5.（2009·湖北沙市模拟）直线l:4x-3y-12=0与x、y轴的交点分别为A、B，O为坐标原点，则△AOB内切圆的方程为( )A.(x-1)2+(y+1)2=1B.(x-1)2+(y-1)2=1C.(x-1)2+(y+1)2D.(x-1)2+(y+1)2=2 答案：A解析：A(3,0),B(0,-4)，O（0，0），∴内切圆的半径r=OA OB AB2+-=1，由图象知，圆心为(1,-1),∴方程为(x-1)2+(y+1)2=1，故选A.6.（2009·西南师大附中模拟）已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0（k＞0）上一动点，PA、PB是圆C：x2+y2-2y=0的两条切线，A、B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( )A.3B.2C.22D.2 答案：D二、填空题：每小题6分，共18分.7.（2009·江苏江宁高级中学3月模拟）直线ax+by=1过点A(b,a)，则以坐标原点O为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是______.答案：π解析：直线过点A(b,a)，∴ab=12，圆面积S=πr2=π(a2+b2)≥2πab=π.8.（2009·广东华南师大附属中学测试）从圆(x-1)2+(y-1)2=1外一点P(2,3)向这个圆引切线，则切线长为____________.答案：2解析：圆心(1,1)，则|PC|2=5，∴切线长9.（2009·浙江金华模拟）已知圆O的方程为x2+y2=4，P是圆O上的一个动点，若OP的垂直平分线总是被平面区域|x|+|y|≥a覆盖，则实数a的取值范围是_____________.答案：a≤1解析：易知OP的垂直平分线即为单位圆的切线，当a≤0时，平面区域即坐标平面，显然满足题意；当a＞0时，由图象易知0＜a≤1，综上，a≤1.三、解答题：10、11题每题15分，12题16分，共46分.10.（2009·江苏通州调研）如图，在平面直角坐标系xOy中，A(a,0)(a＞0),B(0,a),C(-4,0),D(0,4)，设△AOB的外接圆圆心为E.(1)若⊙E与直线CD相切，求实数a的值.(2)设点P在⊙E上，使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问：这样的⊙E是否存在？若存在，求出⊙E的标准方程；若不存，说明理由.11.（2009·江苏盐城模拟）已知以点C(t,2t)(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点.(1)求证：△OAB的面积为定值；(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M、N，若OM=ON，求圆C的方程.\12.设O 为坐标原点，曲线x 2+y 2+2x-6y+1=0上有两点P 、Q ，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足OP ·OQ =0.(1)求m 的值；(2)求直线PQ 的方程.。
圆的一般方程标准方程参数方程总结
1.圆的标准方程1、已知圆心为C(4b),半径为r,如何求的圆的方程？运用上节课求曲线方程的方法，从圆的定义出发，正确地推导出：(x-a)2+(y-b)2=r2这个方程叫做圆的标准方程2、圆的标准方程:(x-a)2 +(y-b)2 =r2若圆心在坐标原点上，这时a = b = O,则圆的方程就是x2+ /=r23、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要•三个量确定了且厂>0,圆的方程就给定了。
这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件，确定可以根据条件，利用待定系数法来解决三、讲解范例：例1求以C(l,3)为圆心，并且和直线3x-4y-7 = 0相切的圆的方程例2已知圆的方程x2+ y2=r2,求经过圆上一点M(x o,yo)的切线方程例3.求过点M(3,l),且及圆(x-l)2 + y2 =4相切的直线/的方程例4・一圆过原点O和点P(l,3),圆心在直线)=x+2上，求此圆的方程例5.已知一圆及y轴相切，在直线y = x上截得的弦AB长为2",圆心在直线x-3y = 0上，求此圆的方程.圆的一般方程1.圆的一般方程将标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开，整理，得 X + y2一2ax- 2by + a2 +b2 -r2 = 0 f可见，任何一个圆的方程都可以写成口 +尸+氐+ £)，+尸=0|的形式。
① 反过来，形如①的方程的曲线是否一定是圆呢？将①配方得：(x +与+ (>- +孑=D土严.. ②把方程②和圆的标准方程进行比较，可以看出：(1)当D2+E2-4F>0时，方程①表示以为圆心，为半径的圆；(2)当D2 + E2-4F = 0时，方程①表示一个点；(3)当D2 + E2-4F<0时，方程①不表示任何图形.结论：当D2+E2-4F>0时，方程①表示一个圆，此时，我们把方程①叫做圆的一般方程.2.圆的一般方程形式上的特点：(1)疋和〉卫的系数相同，且不等于o； (2)没有小这样的二次项. 以上两点是二元二次方程A.r2 + + Cy2 + Dx +Ey + F = 0表示圆的必要条件，但不是充分条件.充要条件是？(A二C H O, B二0, D2 +E2 -4FA>0 ) 说明：1、要求圆的一般方程，只要用待定系数法求出三个系数D、£、F 就可以了.2、圆的一般方程及圆的标准方程各有什么优点？(圆的标准方程：有利于作图。
圆知识点总结及归纳
第一讲 圆的方程一、知识清单（一）圆的定义及方程定义标准 方程一般方程平面内与定点的距离等于定长的点的会合 (轨迹 )(x － a)2 ＋(y －b)2＝ r 2(r>0)圆心： (a ， b)，半径： rx 2＋ y 2＋ Dx ＋ Ey ＋F ＝ 0圆心： － D ，－ E，2 2 (D 2＋E 2－ 4F>0)半径： 1 D 2＋ E 2－ 4F21、圆的标准方程与一般方程的互化（ 1）将圆的标准方程 (x －a)2＋( y －b)2＝ r 2 睁开并整理得 x 2＋ y 2－ 2ax － 2by ＋ a 2＋ b 2－ r 2＝ 0，取 D ＝－ 2a ，E ＝－ 2b ， F ＝ a 2＋ b 2－ r 2，得 x 2＋ y 2＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0.（ 2）将圆的一般方程 x 2＋ y 2＋ Dx ＋Ey ＋ F ＝ 0 经过配方后获得的方程为：(x ＋ D 2＋ (y ＋ E 2 D 2 ＋E 2－ 4F2 ) 2 ) ＝ 4①当 D 2＋E 2－ 4F>0 时，该方程表示以 (－D ，－ E)为圆心， 1 D 2＋ E 2 － 4F 为半径的圆；2 2 2②当 D 2＋ E 2－ 4F ＝ 0x ＝－ D ， y ＝－ E (－ D 时，方程只有实数解2 2，即只表示一个点 2 ，－E)；③当 D 2＋ E 2－ 4F<0 时，方程没有实数解，因此它不表示任何图形．22、圆的一般方程的特点是 ： x 2 和 y 2 项的系数都为 1 ，没有 xy 的二次项 .3、圆的一般方程中有三个待定的系数 D 、 E 、 F ，所以只需求出这三个系数，圆的方程就确立了．（二）点与圆的地点关系点 M(x 0， y 0)与圆 (x －a)2＋(y － b)2 ＝r 2 的地点关系：（ 1）若 M(x 0， y 0)在圆外，则 (x 0－ a)2＋ (y 0－ b) 2>r 2.（ 2）若 M(x 0， y 0)在圆上，则 (x 0－ a)2＋ (y 0－ b) 2＝ r 2.（ 3）若 M(x 0， y 0)在圆内，则 (x 0－ a)2＋ (y 0－ b) 2<r 2.(三)直线与圆的地点关系方法一：方法二：（四）圆与圆的地点关系1外离2外切3订交4内切5内含（五）圆的参数方程（六）温馨提示1、方程 Ax2＋ Bxy＋ Cy 2＋ Dx ＋ Ey＋ F ＝ 0 表示圆的条件是：（ 1）B＝ 0；（ 2） A＝C≠0；（ 3）D 2＋ E2－4AF＞ 0.2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．（ 1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上．（ 2）圆心在任一弦的中垂线上．（ 3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．3、中点坐标公式：已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2， y2) ，点 M (x， y) 是线段 AB 的中点，则 x＝x1x2 ，y＝y1y2 .22二、典例概括考点一：相关圆的标准方程的求法【例1】圆22，半径是. x a y bm2 m 0 的圆心是【例2】点 (1,1)在圆 (x－ a)2＋ (y＋ a)2＝ 4 内，则实数A ． (－ 1,1)C．( －∞，－ 1)∪ (1，＋∞ )a 的取值范围是(D． (1，＋∞))B． (0,1)【例 3】圆心在 y 轴上，半径为1，且过点 (1,2)的圆的方程为 ()A ． x2＋ (y－2)2＝1B． x2＋ (y＋ 2)2＝ 1C．( x－ 1) 2＋ (y－3) 2＝ 1D． x2＋ (y－ 3)2＝ 1【例 4】圆 (x＋2) 2＋ y2＝ 5 对于原点P(0,0)对称的圆的方程为 ()A ． (x－ 2)2＋y2＝5B． x2＋ (y－ 2)2＝ 5C．( x＋ 2) 2＋ (y＋2) 2＝ 5D． x2＋ (y＋ 2)2＝ 5【变式 1】已知圆的方程为x 1 x 2y 2 y 40 ，则圆心坐标为【变式 2】已知圆 C 与圆x 1221 对于直线 y x 对称，则圆C的方程为y【变式3】若圆 C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－ 3y＝ 0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是()A ． (x－ 3)2＋7y－ 3 2＝ 1B． (x－ 2)2＋ (y－ 1)2＝ 1C．( x－ 1) 2＋ (y－3) 2＝ 1D. x－ 3 2＋(y－ 1)2＝ 12【变式4】已知ABC 的极点坐标分别是 A 1,5 ， B 5,5 ， C 6, 2 ，求ABC 外接圆的方程 .方法总结：1．利用待定系数法求圆的方程重点是成立对于a， b， r 的方程组．2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，从而写出方程，表现了数形联合思想的运用．考点二、相关圆的一般方程的求法【例 1】若方程 x2＋ y2＋ 4mx－ 2y＋5m＝0 表示圆，则m 的取值范围是()A .1＜ m＜ 1 B ． m＜1或 m＞ 1 C ．m＜1D． m＞ 1 444【例 2】将圆 x2＋ y2－ 2x－ 4y＋1＝ 0 均分的直线是 ()A ． x＋ y－ 1＝ 0B． x＋ y＋ 3＝ 0C． x－y＋ 1＝ 0D． x－ y＋ 3＝ 0【例 3】圆 x2－2x＋y2－ 3＝0 的圆心到直线x＋3y－ 3＝ 0 的距离为 ________．【变式 1】已知点P是圆C : x2y24x ay 5 0 上随意一点，P点对于直线2 x y 1 0 的对称点也在圆 C 上，则实数a =【变式 2】已知一个圆经过点 A 3,1 、 B 1,3 ，且圆心在3x y 20 上，求圆的方程 .【变式 3】平面直角坐标系中有 A 0,1 , B 2,1 , C 3,4 , D 1,2 四点，这四点可否在同一个圆上？为何？【变式4】假如三角形三个极点分别是O(0,0)， A(0,15) ， B(－ 8,0)，则它的内切圆方程为________________ ．方法总结：1．利用待定系数法求圆的方程重点是成立对于D， E， F 的方程组．2．娴熟掌握圆的一般方程向标准方程的转变考点三、与圆相关的轨迹问题【例 1】动点 P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的 2 倍，则动点P 的轨迹方程为()A ． x2＋ y2＝32B． x2＋ y2＝ 16C．( x－ 1) 2＋ y2＝16D． x2＋ (y－ 1)2＝ 16【例 2】方程y25 x2表示的曲线是（）A. 一条射线B. 一个圆C. 两条射线D. 半个圆【例3】在ABC 中，若点B,C的坐标分别是（-2,0）和（2,0），中线AD的长度是3，则点 A 的轨迹方程是（）A. x2y23B. x2y24C. x 2222y 9 y 0 D. x y 9 x 01【例4】已知一曲线是与两个定点O(0,0) ，A(3,0) 距离的比为的点的轨迹．求这个曲线的方程，并画出曲线．【变式 1】方程x 1 12y 1 所表示的曲线是（）A. 一个圆B. 两个圆C. 一个半圆D. 两个半圆【变式 2】动点 P 到点 A(8,0) 的距离是到点B(2,0)的距离的 2 倍，则动点P 的轨迹方程为()A ． x2＋ y2＝32B． x2＋ y2＝ 16C．( x－ 1) 2＋ y2＝16D． x2＋ (y－ 1)2＝ 16【变式 3】如右图，过点M(－ 6,0)作圆 C： x2＋y2－6x－ 4y＋ 9＝ 0 的割线，交圆C于 A、B 两点，求线段 AB 的中点P 的轨迹．【变式4】如图，已知点A( －1,0)与点长至 D ，使得 |CD |＝ |BC|，求 AC 与 ODB(1,0)， C 是圆 x2＋ y2＝ 1 上的动点，连结的交点 P 的轨迹方程．BC 并延方法总结：求与圆相关的轨迹问题时，依据题设条件的不一样常采纳以下方法：（1）直接法：依据题目条件，成立坐标系，设出动点坐标，找出动点知足的条件，而后化简．(2)定义法：依据直线、圆等定义列方程．(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点知足的关系式等．考点四：与圆相关的最值问题【例 1】已知圆x2＋ y2＋ 2x－ 4y＋ a＝ 0 对于直线y＝ 2x＋b 成轴对称，则a－ b 的取值范围是________【例 2】已知 x， y 知足 x2＋ y2＝ 1，则y－2的最小值为 ________．x－ 1【例 3】已知点则|MN|的最小值是M 是直线()3x＋ 4y－ 2＝ 0 上的动点，点N 为圆( x＋1) 2＋ (y＋1)2＝ 1 上的动点，9A. 5B． 14C.5D.135【例 4】已知实数x， y 知足 (x－ 2)2＋ (y＋ 1)2＝ 1 则 2x－ y 的最大值为 ________，最小值为________．【变式 1】 P(x， y)在圆 C： (x－ 1)2＋ (y－ 1)2＝1 上挪动，则x2＋ y2的最小值为 ________．【变式 2】由直线 y＝ x＋ 2 上的点 P 向圆 C： (x－ 4)2＋ (y＋ 2)2＝ 1 引切线 PT(T 为切点 )，当|PT|最小时，点 P 的坐标是 ()A ． (－ 1,1)B． (0,2)C ． (－ 2,0)D． (1,3)【变式 3】已知两点A(－ 2,0)， B(0,2)，点积的最小值是 ________．C 是圆x2＋ y2－ 2x＝ 0 上随意一点，则△ABC面【变式 4】已知圆M 过两点 C(1，－ 1)， D (－ 1,1)，且圆心M 在 x＋y－ 2＝ 0 上．（1）求圆 M 的方程；（2）设 P 是直线 3x＋ 4y＋ 8＝0 上的动点， PA、 PB 是圆 M 的两条切线， A， B 为切点，求四边形 PAMB 面积的最小值．方法总结：解决与圆相关的最值问题的常用方法（1）形如 u＝y－b的最值问题，可转变为定点 (a， b)与圆上的动点 ( x，y)的斜率的最值问题x － a（2）形如 t＝ ax＋ by 的最值问题，可转变为动直线的截距的最值问题；（3）形如 (x－ a)2＋ (y－ b)2的最值问题，可转变为动点到定点的距离的最值问题．（4）一条直线与圆相离，在圆上找一点到直线的最大（小）值： d r （此中d为圆心到直线的距离）。
圆的曲线方程总结
圆的曲线方程总结引言圆是平面上最基本的几何图形之一，在数学和物理学中有着广泛的应用。
圆可以由其几何特征和方程来描述，其中最常用的是圆的曲线方程。
圆的曲线方程可以通过不同的方法推导得到，本文将总结常见的几种圆的曲线方程，并给出相应的示例。
圆的定义和基本特征在平面几何中，圆的定义如下：圆是由平面上到给定点的距离恒定不变的所有点构成的集合。
由此可知，圆有以下几个基本特征： - 圆心：圆的中心点称为圆心，通常用字母O表示。
- 半径：圆心到圆上任意一点的距离称为半径，通常用字母r表示。
- 直径：通过圆心且与圆上两点相连的线段称为直径，直径的长度为半径的两倍。
一般式方程圆的一般式方程是最常用的圆的曲线方程之一，其一般形式为：(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2其中，(h, k)表示圆心的坐标，r表示半径的长度。
通过一般式方程，我们可以方便地确定圆心和半径，从而准确地描述圆的位置和大小。
示例1假设一个圆的圆心坐标为(2, 3)，半径的长度为5。
根据一般式方程，这个圆的曲线方程可以表示为：(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 25这个方程可以用来描述一个圆心在(2, 3)，半径为5的圆。
参数方程除了一般式方程外，圆的曲线方程还可以使用参数方程来表示。
参数方程使用参数t作为变量，并将圆上的点的坐标表示为关于参数t的函数。
圆的参数方程为：x = h + r * cos(t)y = k + r * sin(t)其中，(h, k)表示圆心的坐标，r表示半径的长度。
示例2假设一个圆的圆心坐标为(0, 0)，半径的长度为2。
根据参数方程，这个圆的曲线方程可以表示为：x = 2 * cos(t)y = 2 * sin(t)这个方程可以用来描述一个圆心在原点，半径为2的圆。
极坐标方程除了一般式方程和参数方程外，圆的曲线方程还可以使用极坐标方程来表示。
极坐标方程使用极坐标表示圆上的点的坐标，其中半径和角度分别作为变量。
圆的参数方程与椭圆的参数方程
y
b
r
sin
0,2
圆的参数方程
1.圆心在原点,半径为r的圆的参数方程:
x
y
r r
cos sin
(为参数）
2.圆心为(a,b),半径为r的圆的参数方程:
x
y
a b
r r
cos sin
(为参数）
0,2
例1. 如图,已知点P是圆x2+y2=4上的一个动点,
例2 把下列普通方程化为参数方程
（3）x2 y2 1 49
（4）x 2
y2
16
1
例3
已知椭圆
x2 100
y2 64
1
有一内接矩形ABCD，
求矩形ABCD的最大面积
D
y B2 A
A1 F1
O F2 A2 X
C
B
B1
例4 在椭圆 x2 y2 1 上, 到直线 l : 3x 2y 16 0
点A是x轴上的定点,坐标为(6,0).当点P在圆
上运动时,线段PA中点M的轨迹是什么?
y
解:设M的坐标为(x,y), 圆x2+y2=4
P
的参数方程为 x =2cosθ y =2sinθ
M
O
Ax
∴可设点P坐标为(2cosθ,2sinθ)
由中点公式得:点M的轨迹方程为
x =3+cosθ y =sinθ
∴点M的轨迹是以(3,0)为圆心、1为半径的圆。
P M
O
Ax
例:如图，已知点P是圆x²+y²=16上的一个动点，点A 是x轴上的定点，坐标是（12，0）。当点P在圆上运 动时，线段PA的中点M的轨迹是什么y ？
圆的方程复习课(新2019)
4、已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往 往设圆的一般方程．
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皇子及尚书九官等在武昌 曹孟德 孙仲谋之所睥睨 黄忠为后将军 嘉靖本又有“陆逊石亭破曹休”一回（毛本只有寥寥数语） 乃将兵袭破之 陛下忧劳圣虑 可以其父质而召之 [72] ②今东西虽为一家 公子光就派专诸行刺吴王僚而后自立为王 历史评价 ?以至将城门堵住 荆州重镇江 陵守将麋芳（刘备小舅子） 公安守将士仁因与关羽有嫌隙而不战而降 3 官至虎贲中郎将 陆逊的确是善于审时度势 《三国志》：黄武元年 而开大业 藤桥离孽多城有六十里 赞曰：“羯贼犯顺 言次 伍子胥拜谢辞行 ?骂仙芝曰：“啖狗肠高丽奴 并嘱托渔丈人千万不要泄露自己的 行踪 以三千军队驻守这里 25.城中吏民皆已逃散 势危若此 由于唐朝在西域实施了有效的对策 知袭关羽以取荆州 但因害怕段韶 刘备却说：“当得到凉州时 人众者胜天 与孙皎 潘璋并鲁肃兵并进 陆逊呵斥谢景说：“礼治优于刑治 ”单恐惧请罪 但由于宦官的诬陷 对比西域各国 准备进攻襄阳（今湖北襄樊） 唐军人数一说2-3万人一说6-7万人 回答说：“是御史中丞您的大力栽培 一生出将入相 时汉水暴溢 就掘开楚平王的坟墓 天宝八载（749）十一月 终年六十三岁 4 恐有脱者后生患 陈志岁：知否申胥本楚人 司马光：昔周得微子而革商命 目的是刺杀他 孙权遂以陆逊代吕蒙守陆口 称相国公 功业昭千载 才能足以担负重任 又攻房陵太守邓辅 南乡太守郭睦 封夫概於堂溪 夜行而昼伏 荆州可忧 阖庐使太子夫差将兵伐楚 拜中军将军 乞息六师 翻手伏尸百万 关羽画像 谓小勃律王曰：“不窥若城 遂顿特勒满川 常清自尔候仙芝出入 加特进 ”遂登山挑战 以威大虏 ”而城中有五六个首领 惊险困难 只好拖着病躯 令关羽入益阳 乞食 清德宗 被吐蕃（今青藏高原）和大食誉为山地之王 臣请将所部以断之
(完整版)圆与方程知识点整理(可编辑修改word版)
矣于圆与方程的知识点整理一、标准方程：(x-rt)0+(y-b)・=厂 二一般方程：A"+r+Dx+£y + F = 0(D - +F--4F>0)1・ AF + By- + + Dx+Ey+F = 0 表示圆方程则「A — B 工 O O <5 U - O2 _ 4 F > O [Q 2 + £2 _ 4 A F > O 2•求圆的一般方程一般可采用待定系数法。
3・D" + £- -4F > 0常可用来求有关参数的范帀 三'点与圆的位g 矢系1・判断方法：点到圆心的距离d 与半径『的大小：〃<厂=> 点在圆内：d = r=>点在圆上：J>r=>点在圆外2•涉及最值：(1)圆外一点圆上一动点P,讨论|PB|的最值max四、S 线与圆的位置矣系L 判断方法(d 为圆心到宜线的距离〉：(1)柑离O 没有公共点=>△< OodAr ： (2)相切O 只有一 个公共点oA = 0od = r ： (3)柑交O 有两个公共点>0od<r 。
这一知识点可以出如此题型:告诉你直线与圜相交让你求有关参数的范围.2 •宜线均圆相切(1)知识要点：①基本图形②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线/与圆C 相切意味着什么？圜心C 到直线/的距离恰好等于半径r (2) 常见题型一一求过世点的切线方程① 切线条数：点在圆外一两条：点在圆上……一条：点在圆内……无 ② 求切线方程的方法及注意点f n 、 2 "E 、k V z+ TV I z 『3 仁=|BN| = |BC|-r卜 |BC|+厂讨谐中的最值U - Oi)点在圆外J 如泄点 P(X ,)* 圆：(x-aY +(y-hy =r . [(x -aY+(y -/?)" >r-] 0 0 0 0第一步：设切线/方程y-yo = k （兀一小）：第二步：通过〃 =『=>«,从而得到切线方程 特別I 注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上……千万不要漏了！ 如：过点P （l, 1）作圆F + r — 4x — 6y+12 = 0的切线，求切线方程.ii ）点在圆上J <1）若点（xo, yo ）在阿x+j = r 上，则切线方程为x x + yy = r^■ ■ ■ ■U 0（2）若点 a ，y ）在圆（.<-«）■ +（y-/?）' = r 则切线方程为 a -"）（兀 一 "）+（y -方）（，一方）=八由上述分析：过一定点求某圆的切线方程，非常磴要的第一步——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数. 件Jf AC\= r求切点坐标：利用两个关系列出两个方程<' 如心=-1J （l + P ）［（西+£）2-4 气 xj（2） 判断直线与圆相交的一种特殊方法：直线过定点，而；1^点恰好在圆内. （3） 关于点的个数问题例：若E^（.v-3/+（y + 5/ = r 上有且仅有两个点到直线4%-3>'-2 = 0的距离为1,则半径厂的取值范用是4•直线与圆相离：会对宜线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）五、対称间题1. 若圆疋+尸+（川2 -l ）x + 2加$—加=0,关于直线X — y + l = 0,则实数加的值为答案:3 （注意：m = -\时，D- + £--4F<0.故舍去）变式：已知点A 是圆C:“+r + ar + 4y -5 = 0匕任意一点・A 点关于宜线x + 2y-\ =0的对称点在圆C 上，则实数《= _________ ・2•圆（x-l/+（y-3/= 1关于宜线x + y = 0对称的曲线方程是 变式：已知圆（x-4）2+（y-2）2 = I 与圆C2： （x-2/+（y-4）'= 1关于宜线/对称，则直线/的方程为 3•圆（—3）2+0 + 1）2 =1关于点（2. 3）对称的曲线方程是, 4•已知直线y = x + h^圆C ： F+r=l,问：是否存在实数b 使自A （3,3）发出的光线被直线/反射后与③求切线长：利用基本图形，AP-=|CPF CP"-r-3 •直线与圆相交 （1）求弦长及弦长的应用问题：垂径定理及勾股定理——常用弦长公式：/=ViTPiv'■/f 24 7、 B ' .1?若存在，求出b 的值：若不存在，试说明理由.1 25 25 I 丿方法主要有三种：（1）数形结合：（2〉代换：（3）参数方程（1） 丄 的最大值和最小值：一一看作斜率 （2） y-X 的报小值；一一截距（线性规划） X-5（3） X- + y-的最大值和最小值.一一两点间的距离的平方 2•已知 AAOB 中，\OB\ = 3 , \OA\ = 4. \AB\ = 5 •点 P 是AAOB 内切圆上一点，求以 pA|, |PB|, pO|为直径的三个圆而枳之和的最大值和最小值.数形结仟和参数方程两种方法均可!3 •设P （x. y ）为圆x-+{y-\Y = 1上的任一点，欲使不等式犬+ y + c>0恒成立，则e 的取值范用是,■答案：（数形结合和参数方程两种方法均可！）L 若直线"u ・ + 2ny — 4 = 0 （ m , neR 始终平分圆，+ y2-4x-2y-4 = 0的周长，则的取值范围是2. 已知圆C ： x-+r _2x + 4y-4 = 0.问：是否存在斜率为1的宜线/,使/被圆C 截得的弦为AB .以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出宜线/的方程，若不存在，说明理由. 提示：XX +3' y =0或弦长公式d = Jj+ E2 -v 一X3•已知圆C ： (x-3/+(y-4/=b 点A((U). 3(0.1),设P 点是圆C 上的动点，d = \PA\"+\PB\\ 求 d的最值及对应的P 点坐标.4 •已知圆 C J (X-1)'+(3'-2)" =25 r 宜线 / ：(2加 + 1)兀+ (w + l)y-7〃?一4 = 0 (weR) （1） 证明：不论也取什么值，宜线/与圆C 均有两个交点; （2） 求苴中弦长最短的直线方程.5•若宜线y = -x + k^曲线x = -/-f 恰有一个公共点，则R 的取值范I 利.6 •已知圆£ + y2+x-6y +加=0与宜线x + 2y-3 = 0交于P. 0两点，O 为坐标原点，问：是否存在实数也,使OP 丄OQ,若存在，求出W 的值；若不存在，说明理由.圆c 相切于点 L 已知实数X, y 满足方程宀严一4兀+1=0,求:七'圆的参数方程r...Z c\ |x=/・cos X ・+y ・=/*-(r>0)Oy =为参数：(%-«) +(y-h) =r (r>0)o1 M Jx=a+rcos y = b + rsin为参・答案J x-y+1 = 0或大一y — 4 = 0I •判断方法：几何法（d 为圆心距）:（1） dA 打+厂20外离 （3） |打一巧［vdv 斤+巧0相交 （4） t/= r-zs O 内切 2 •两圆公共弦所在直线方程圆C ： }r+y-+Dx+Ey + F=0.圆C ： jr+y^+Dx + Ey + F =0,I I I I 2 2 2 2则（D,-D2）x + （£,-£2）y + （F,-F2）= 0为两相交圆公共弦方程.补充说明：若G 与C2相切，则表示其中一条公切线方程：若G 与C2相离，则表示连心线的中垂线方程.3圆系问题(1)过两圆 C J jr+y- + Dx + Ey + F = 0 和 C J X - +y- + D X + E y + F =0 交点的圆系方程为 J I I I 2 22 2 F + ))2 + Dj.v + 耳y + 斤+ (“+>^ + D;v + gy + g)=0 ( H-说明：1）上述圆系不包括C2 : 2）当 =-1时，表示过谢圆交点的直线方程（公共弦）(2)过宜线？b ・+B.\・+C=0打圆 十Dx+£> + F = 0交点的圆系方程 x-+y^+Dx+Ey+F+ (Ax+By + C)= Q（3）两圆公切线的条数问题：①相内切时，有一条公切线：②相外切时，有三条公切线：③相交时，有两条公切线：④相离时，有四条公切线 十、轨迹方程（1） 世义法（圆的定义）（2） 直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式…轨迹方程•例:过圆F + y? =1外一点人（2, 0）作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.（3）相关点法（平移转换法）：一点随列一点的变动而变动 特点为：主动点一宦在某一已知菇亘所表示的（固崔）轨迹上运动.例1 •如图，已知定点A （2,0）,点2是圆F+r= I 上的动点，ZA0Q 的平分线交AS 于当0点在圆上 移动时，求动点M 的轨迹方程.分析：角平分线；^^理和泄比分点公式・例2 •已知圆O ： x-+y-=9,点A （3,0）, B 、C 是圆Ot:的两个动点，A 、B 、C 呈逆时针方向排列，且(2) </ =八+^0外切(5) d< n -ri o 内含分析：|0円'+4"|=4^2|AABAC = _ ,求MBC的重心G的轨迹方程. 3法I：-ZBAC=-, :.\BC\为定长且等于3^/3X A+X B +X C 3 +X B +X Cx =——3 ----- =——3——Xi+Vfl+yc^yB+Jc3 3「33) (2厂31取BC的中点为址€|-一卩£€| -込」IL24 丿 1 4 2J94••• \OE" + \CE" = ]pC : /.兀£ + >£'"=(1)XB + XC 尸—2- y+y >■ =^- £ 23 + 2XE 兀=—3—J XB + XC=2XE n I y+y =2y，••(3x-3"\ (3 V 93x-3富=—-3 \y =_yI E 2故由（1）得: ____ I +1 I =_n(Z)I 2丿l2丿4 + r =1 xe 0,3、-，y €2)-邑112 I法2：(参数法) 2设B(3cos Jsin )•由ZBOC=2ZBAC= _3C 3cos|\ I 2 ) ( + L3sin| + '丿VX + X + Xy- A B C_A ——(2 }3 + 3cos +3cos . + — II 3(2、=I + cos +cos|「+ 」•••(！)3(2_'3s】n +3sin|l+ 3 丿.• ( “ /八y =〉l +)4+)S = ----------- --------- = sin +sin | + —・・「・(2)2 22 「3、+(2)得：(X-1) +y = 1 xe 0,-」€-2^3 12 I参数法的本质是将动点坐标（x,y）中的X和y都用第三个变量（即参数）表示，通过消参得到动点轨迹方程, 通过参数的范围得出X , y的范(4) 求轨迹方程常用到得知识心 + XB + XCIX = ________ 4 ___ .②中点I匕分点公式：磊 ⑤韦达世理•高中数学圜的方程典型例题类型一:圓的方程例1求过两点A(l,4)、8(3,2)且圆心在直线j = 0 I;的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系.圆的方程为(X+1)2+),2 =20：点P 在圆外.例2求半径为4.与圆* + y2-4x-2y-4 = 0相切，且和直线y = 0相切的圆的方程.圆的方程为(兀一2 — 2^/^)2+0 + 4)2 =42,或(x-2 + 275)2 + (y + 4)2 = 42 . 例3求经过点A(0,5),且与宜线x-2y = 0和2兀+ y = 0都相切的圆的方程.分析：欲确世圆的方程.需确崔圆心坐标与半径，由于所求圆过世点A ,故只需确；^^圆心坐标・又圆与两 已知宜线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上・解：•「圆和直线x-2y = (Pj2x+y = 0相切• •••圆心C 在这两条直线的交角平分线上.又圆心到两直线X -2y = 0和2x+y = 0的距离相等.•••两直线交角的平分线方程是x + 3y = 0或3x-y =0.又T 圆过点4(0,5),•••圆心C 只能在直线3»•-y = 0③内角平分线世理:BD\ _ \AB\x-2y x+2y r ■75・XI +X2上.设圆心C{t, 3r)V C到宜线2x + y = 0的距离等于AC\二1?£^ =护+（3一5）2 . v5化简整理得t--6t + 5 =0-解得：21或f = 5•••圆心是(1,3),半径必或圆心是(5.15),半径为5j^・•••所求圆的方程为（X-1）2+0-3）2 = 5 或（兀一5）2+0-15）2= 125 ・说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确；4^圆心坐标得到圆的方程, 这是过;^点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法• 例4 -设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2： (2)被兀轴分成两段弧，其弧长的比为3:1,在满足条件⑴⑵的所有圆中，求圆心到直线X-2y = 0的距离最小的圆的方程.分析：要求圆的方程.只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程-满足两个条件的圆有无数个•其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确世圆的半径，求出圆的方程•解法一：设圆心为P(« ■ h),半径为I 则P到X轴、y轴的距离分卩1为PI和由题设知：圆截X轴所得劣弧所对的圆心角为90。
高三数学课件：圆的方程
2
(3)直径式：(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0，其中 直径式： 直径式 ， 点(x1，y1)，(x2，y2)是圆的一条直径的两个端 ， 是圆的一条直径的两个端 。（用向量法证之 用向量法证之） 点。（用向量法证之）
（4）半圆方程： y = r2 −(x −a)2 +b, y = − c +bx− x2 −d ）半圆方程： (5)圆系方程： 圆系方程： 圆系方程 i)过圆 ：x2+y2+Dx+Ey+F=0和直线 过圆C： 过圆 和直线 l：Ax+By+C=0的交点的圆的方程为 ： 的交点的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0 ii)过两圆 1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，C2： 过两圆C 过两圆 ， x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆的方程为 的交点的圆的方程为 x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0( λ≠-1)该方程不包括圆 2； 该方程不包括圆C 该方程不包括圆 时为一条直线方程， （ λ = −1时为一条直线方程，相交两圆时 为公共弦方程； 为公共弦方程；两等圆时则为两圆的对称 轴方程） 轴方程）
(1+k2)[x1 + x2)2 −4x1x2] （2）代数法：用弦长公式 ）代数法：
的半径为3， 相切， 例4、已知⊙O的半径为 ，直线 l 与⊙O相切， 、已知⊙ 的半径为 相切 相切，并与⊙ 相交的公共弦恰 一动圆与 l 相切，并与⊙O相交的公共弦恰 的直径， 为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程。 的直径 求动圆圆心的轨迹方程。 【点评】建立适当的 点评】 坐标系能使求轨迹方 程的过程较简单、 程的过程较简单、所 求方程的形式较“ 求方程的形式较“整 A 齐” .
圆的参数方程
随堂练习
5 5 x 5 cos x 3 2 1 答案： 5 5 y 5 sin y 3 2
P81练习的第一,二题。
3
5 1 x 5 cos cos 2 2 2 2 5 3 3 3 y 5 sin sin 2 2
圆的参数方程
钢都中学 胡亮
1、若以（a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程为：
(x-a)² +(y-b)² =r²
圆的标准方程的 优点： 明确指出圆的圆心和半径 2、圆的一般方程：
x² +Dx+Ey+F=0 (D² -4F>0) +y² +E²
这一形式的方程突出了圆方程形式上的特点： 1、x² y² 和 的系数相同，不等于0； 2、没有xy这样的二次项。 问题：圆是否还可以用其他形式的方程来表示呢？
x 1 2 cos x 1 2 cos (1) y 3 2 sin y 3 2 sin
x
1
2
y
3 4
2
(2)
x 2 cos x 2 cos 2 2 x 2 y 2 1 y 2 sin y 2 sin
则我们把方程组
x r cos y r sin
叫做圆心为原点、半径为r
的圆的参数方程，θ是参数。
x r cos 圆心在原点,半径为r的圆的参数方程为 y r sin
(θ为参数),圆
上任一点为P1(x1,y1) 将其按向量 v =(a,b)平移后所得到的点为 P P(x,y). y o1 因为 O(0,0)平移后所对应的点为O1(a,b), v 则有OP=(x,y),OP1=(x1,y1),OO1=(a,b) P1 OP=OO1+OP1 o x x1 a x 所以,(x,y)=(x1,y1)+(a,b) 得
圆与方程知识点
圆与方程知识点GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-关于圆与方程的知识点整理一、标准方程:()()222x a y b r -+-=二、一般方程：()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1.220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法。
3.2240D E F +->常可用来求有关参数的范围三、点与圆的位置关系1.判断方法：点到圆心的距离d 与半径r 的大小：d r <⇒点在圆内；d r =⇒点在圆上；d r >⇒点在圆外2.涉及最值：（1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 （2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值四、直线与圆的位置关系1.判断方法（d 为圆心到直线的距离）：（1）相离⇔没有公共点⇔0d r ∆<⇔>；（2）相切⇔只有一个公共点⇔0d r ∆=⇔=；（3）相交⇔有两个公共点⇔0d r ∆>⇔<。
这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切（1）知识要点：①基本图形②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线l 与圆C 相切意味着什么圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径r （2）常见题型——求过定点的切线方程①切线条数：点在圆外——两条；点在圆上……一条；点在圆内……无 ②求切线方程的方法及注意点．．．i ）点在圆外：如定点()00,P x y ，圆：()()222x a y b r -+-=，[()()22200x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=-；第二步：通过d r =k ⇒，从而得到切线方程特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上……千万不要漏了！如：过点()1,1P 作圆2246120x y x y +--+=的切线，求切线方程.ii ）点在圆上：（1）若点()00x y ，在圆222x y r +=上，则切线方程为200x x y y r += （2）若点()00x y ，在圆()()222x a y b r -+-=上，则切线方程为()()()()200x a x a y b y b r --+--=由上述分析：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数.③求切线长：利用基本图形，222AP CP r AP =-⇒=求切点坐标：利用两个关系列出两个方程1AC APAC rk k ⎧=⎨⋅=-⎩3.直线与圆相交（1）求弦长及弦长的应用问题：垂径定理．．．．及勾股定理——常用弦长公式：12l x =-=（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法：直线过定点，而定点恰好在圆内. （3）关于点的个数问题例：若圆()()22235x y r -++=上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离为1，则半径r 的取值范围是_________________. 答案：()4,64.直线与圆相离：会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时） 五、对称问题1.若圆()222120x y m x my m ++-+-=，关于直线10x y -+=，则实数m 的值为____. 答案：3（注意：1m =-时，2240D E F +-<，故舍去）变式：已知点A 是圆C :22450x y ax y +++-=上任意一点，A 点关于直线210x y +-=的对称点在圆C 上，则实数a =_________.2.圆()()22131x y -+-=关于直线0x y +=对称的曲线方程是________________.变式：已知圆1C ：()()22421x y -+-=与圆2C ：()()22241x y -+-=关于直线l 对称，则直线l 的方程为_______________.3.圆()()22311x y -++=关于点()2,3对称的曲线方程是__________________. 4.已知直线l ：y x b =+与圆C ：221x y +=，问：是否存在实数b 使自()3,3A 发出的光线被直线l 反射后与圆C 相切于点247,2525B ⎛⎫⎪⎝⎭若存在，求出b 的值；若不存在，试说明理由.六、最值问题 方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程1.已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求： （1）5yx -的最大值和最小值；——看作斜率 （2）y x -的最小值；——截距（线性规划）（3）22x y +的最大值和最小值.——两点间的距离的平方2.已知AOB ∆中，3OB =，4OA =，5AB =，点P 是AOB ∆内切圆上一点，求以PA ，PB ，PO 为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值. 数形结合和参数方程两种方法均可！3.设(),P x y 为圆()2211x y +-=上的任一点，欲使不等式0x y c ++≥恒成立，则c 的取值范围是____________. 答案：1c ≥（数形结合和参数方程两种方法均可！）七、圆的参数方程()222cos 0sin x r x y r r y r θθ=⎧+=>⇔⎨=⎩，θ为参数 ；()()()222cos 0sin x a r x a y b r r y b r θθ=+⎧-+-=>⇔⎨=+⎩，θ为参数 八、相关应用1.若直线240mx ny +-=（m ，n R ∈），始终平分圆224240x y x y +---=的周长，则m n ⋅的取值范围是______________.2.已知圆C ：222440x y x y +-+-=，问：是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦为AB ，以AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l 的方程，若不存在，说明理由.提示：12120x x y y +=或弦长公式12d x =-. 答案：10x y -+=或40x y --= 3.已知圆C ：()()22341x y -+-=，点()0,1A ，()0,1B ，设P 点是圆C 上的动点，22d PA PB =+，求d 的最值及对应的P 点坐标.4.已知圆C ：()()221225x y -+-=，直线l ：()()211740m x m y m +++--=（m R ∈） （1）证明：不论m 取什么值，直线l 与圆C 均有两个交点； （2）求其中弦长最短的直线方程.5.若直线y x k =-+与曲线x =k 的取值范围.6.已知圆2260x y x y m ++-+=与直线230x y +-=交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，问：是否存在实数m ，使OP OQ ⊥，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.九、圆与圆的位置关系1.判断方法：几何法（d 为圆心距）：（1）12d r r >+⇔外离 （2）12d r r =+⇔外切 （3）1212r r d r r -<<+⇔相交 （4）12d r r =-⇔内切 （5）12d r r <-⇔内含2.两圆公共弦所在直线方程圆1C ：221110x y D x E y F ++++=，圆2C ：222220x y D x E y F ++++=， 则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程.补充说明：若1C 与2C 相切，则表示其中一条公切线方程；若1C 与2C 相离，则表示连心线的中垂线方程. 3圆系问题（1）过两圆1C ：221110x y D x E y F ++++=和2C ：222220x y D x E y F ++++=交点的圆系方程为()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（1λ≠-）说明：1）上述圆系不包括2C ；2）当1λ=-时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）（2）过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=交点的圆系方程()220x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=（3）两圆公切线的条数问题：①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线 十、轨迹方程（1）定义法（圆的定义）（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式…轨迹方程.例：过圆221x y +=外一点()2,0A 作圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程.分析：222OP AP OA +=（3）相关点法（平移转换法）：一点随另一点的变动而变动特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动.例1.如图，已知定点()2,0A ，点Q 是圆221x y +=上的动点，AOQ ∠的平分线交AQ 于M ，当Q 点在圆上移动时，求动点M 的轨迹方程.分析：角平分线定理和定比分点公式.例2.已知圆O ：229x y +=，点()3,0A ，B 、C 是圆O 上的两个动点，A 、B 、C 呈逆时针方向排列，且3BAC π∠=，求ABC ∆的重心G 的轨迹方程.法1：3BAC π∠=，BC ∴为定长且等于33设(),G x y ，则33333A B C B C A B C BC x x x x x x y y y y y y ++++⎧==⎪⎪⎨+++⎪==⎪⎩取BC 的中点为33,24E x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，333,2E y ⎛⎤∈- ⎥ ⎝⎦222OE CE OC +=，2294E E x y ∴+=（1）2222B C E B C E B C E B C Ex x x x x x y y y y y y +⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=+⎩⎪=⎪⎩，3233322323E E E E x x x x y y yy +-⎧⎧==⎪⎪⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪==⎪⎪⎩⎩故由（1）得：()2222333933110,,,12242x y x y x y ⎛⎤-⎛⎫⎛⎫⎡⎫+=⇒-+=∈∈- ⎥ ⎪ ⎪⎪⎢ ⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎝⎦法2：（参数法）设()3cos ,3sin B θθ，由223BOC BAC π∠=∠=，则 设(),G x y ，则4,33ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由()()()22112-+得：()2233110,,,12x y x y ⎛⎤⎡⎫-+=∈∈- ⎥⎪⎢ ⎣⎭⎝⎦参数法的本质是将动点坐标(),x y 中的x 和y 都用第三个变量（即参数）表示，通过消参．．得到动点轨迹方程，通过参数的范围得出x ，y 的范围.（4）求轨迹方程常用到得知识①重心(),G x y ，33A B C A B C x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩②中点(),P x y ，121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩③内角平分线定理：BD ABCD AC=④定比分点公式：AMMB λ=，则1AB M x x x λλ+=+，1A B M y y y λλ+=+ ⑤韦达定理.高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．圆的方程为20)1(22=++y x ；点P 在圆外．例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ． 例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解：∵圆和直线02=-y x 与02=+y x 相切，∴圆心C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线02=-y x 和02=+y x 的距离相等．∴5252y x y x +=-．∴两直线交角的平分线方程是03=+y x 或03=-y x ． 又∵圆过点)5,0(A ，∴圆心C 只能在直线03=-y x 上． 设圆心)3,(t t C∵C 到直线02=+y x 的距离等于AC ，∴22)53(532-+=+t t t t ．化简整理得0562=+-t t ． 解得：1=t 或5=t∴圆心是)3,1(，半径为5或圆心是)15,5(，半径为55． ∴所求圆的方程为5)3()1(22=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x ．说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．解法一：设圆心为),(b a P ，半径为r ． 则P 到x 轴、y 轴的距离分别为b 和a ．由题设知：圆截x 轴所得劣弧所对的圆心角为︒90，故圆截x 轴所得弦长为r 2．∴222b r =又圆截y 轴所得弦长为2．∴122+=a r ．又∵),(b a P 到直线02=-y x 的距离为∴2225b a d -=当且仅当b a =时取“=”号，此时55min =d ． 这时有⎩⎨⎧=-=1222a b ba∴⎩⎨⎧==11b a 或⎩⎨⎧-=-=11b a 又2222==b r故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x 解法二：同解法一，得52b a d -=．∴d b a 52±=-． ∴2225544d bd b a +±=． 将1222-=b a 代入上式得：01554222=++±d bd b ．上述方程有实根，故0)15(82≥-=∆d ，∴55≥d ． 将55=d 代入方程得1±=b ． 又1222+=a b ∴1±=a ． 由12=-b a 知a 、b 同号．故所求圆的方程为2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x ．说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢 类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线． 解：∵点()42，P 不在圆O 上， ∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y根据r d =∴ 21422=++-kk解得 43=k 所以 ()4243+-=x y 即 01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解． 本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．例6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：0101012020=++++F y E x D y x ①0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：0)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．∴方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程． 又过A 、B 两点的直线是唯一的．∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ． 说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛． 例7、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。
圆的函数知识点总结
圆的函数知识点总结圆是几何学中非常重要的一种形状，对于圆的函数也是数学学科中的重要内容。
圆的函数是指与圆有关的函数，可以描述圆的性质和特点，对于圆的函数有很多重要的知识点需要掌握，下面我们就来总结一下圆的函数知识点。
1. 圆的标准方程圆的标准方程是表示圆的一般形式，通常写作(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b) 表示圆心坐标，r 表示半径。
通过这个方程，我们可以得到圆心坐标和半径的信息。
2. 圆的一般方程将圆的标准方程展开可以得到圆的一般方程，通常写作 x²+y²+dx+ey+f=0，其中 (d,e) 表示圆心坐标，f 表示半径。
3. 圆的参数方程圆的参数方程是用参数形式来表示圆的方程，通常写作x=a+r*cosθ，y=b+r*sinθ，其中(a,b) 表示圆心坐标，r 表示半径，θ 表示参数。
4. 圆的极坐标方程圆的极坐标方程是用极坐标形式来表示圆的方程，通常写作r=r₀，其中r₀ 表示圆的半径。
5. 圆的直径圆的直径是指通过圆心并且同时与圆上两点相交的线段，直径的长度是圆的半径的两倍。
圆的直径也可以表示为对角线的长度，这个对角线是圆的直径。
6. 圆的弧长圆的弧长是指圆上的一段弧的长度，可以通过圆的半径和圆心角来计算。
弧长公式为s=r*θ，其中 r 表示圆的半径，θ 表示圆心角。
7. 圆的面积圆的面积是指圆所包含的平面内的所有点的集合，圆的面积可以通过半径和π 来计算。
圆的面积公式为A=πr²，其中 r 表示圆的半径。
8. 圆的周长圆的周长是指圆的边界的长度，可以通过圆的直径或者圆的半径和π 来计算。
圆的周长公式为C=2πr 或者C=πd，其中 r 表示圆的半径，d 表示圆的直径。
9. 圆的切线圆的切线是指与圆相切的直线，切线与圆相切的点称为切点。
切线的斜率可以通过圆心和切点的坐标来计算，切线的方程可以通过圆的一般方程和斜率来确定。
最全面的圆的方程
圆的方程1、圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.2、点与圆的位置关系：已知点()00M ,x y 及圆()()()222C 0：x-a y b r r +-=>，（1）点M 在圆C 外()()22200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->； （2）点M 在圆C 内⇔()()22200CM r x a y b r <⇔-+-<； （3）点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()220y b r +-=。
3、 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ，半径2422F E D r -+=. 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D . 当0422<-+F E D 时，方程无图形（称虚圆）.注：（1）方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且2240D E AF +->.4、圆的直径式方程：已知1122(,)(,)A x y B x y 是圆的直径的两个端点，则圆的方程为 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=5、圆的参数方程及应用对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达形式cos sin x a R y b R θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。
一、求最值例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。
圆的方程的总结
圆的方程的总结圆是我们数学中非常重要的一个几何图形，它在几何学、数学分析以及工程应用中都有广泛的应用。
圆的方程是描述圆的数学形式，通过方程可以方便地求解圆的各种性质和问题。
本文将总结圆的方程的相关知识，详细介绍圆的一般方程、标准方程、参数方程以及一些特殊情况下的方程。
1. 圆的一般方程：圆的一般方程是(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
这个方程表示的是平面上所有到圆心距离等于半径的点的集合，即圆的几何形状。
根据这个方程，可以方便地得到圆的各种性质和问题，比如求圆心、半径、切线、切点等等。
2. 圆的标准方程：圆的标准方程是x²+y²=r²，其中r是圆的半径。
这个方程描述的是圆心在原点(0,0)的圆，可以看做是圆的一般方程的特殊情况。
标准方程的好处是简化了计算，方便求解各种性质和问题。
可以通过平方、整理等数学方法将一般方程转化为标准方程。
3. 圆的参数方程：圆的参数方程是x=a+r*cosθ，y=b+r*sinθ，其中(a,b)是圆心的坐标，r是半径，θ是参数。
这个方程表示的是把圆上任意一点的坐标表示为参数θ的函数形式。
通过改变参数θ的值，可以得到圆上的所有点。
参数方程对于描述圆上的点的运动、变化以及求解相关问题非常有用。
4. 圆的相关方程：此外，圆的方程还有一些特殊情况。
比如，当圆与x轴或y轴平行时，圆的方程可以简化为只含有一个变量的形式，如x²+y²=r²可以转化为x²=r²或y²=r²。
另外，当圆在直角坐标系中以某条边为直径时，圆的方程可以表示为(x-a)²+(y-b)²=r²或(x-a)²+(y-b)²=r²的形式，其中(a,b)是边的中点坐标，r是边的一半。
总的来说，圆的方程是描述圆的数学形式，通过方程可以方便地求解圆的各种性质和问题。
圆的参数方程2
x a r cos 为参数 y b r sin
(3)圆心在原点,半径为r的圆的参数方程是: x r cos 为参数 y r sin
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且对于t的每一个允许值，由上面的方程组所确定的点M（x， y）都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参 数方程，联系x，y之间关系的变数叫做参变数，简称参数。 注：参数方程中的参数可以是有物理、几何意义的变数， 也可以是没有明显意义的变数。 相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上的点的坐 标关系的方程，叫做曲线的普通方程。
2 2
x 2 cos x 2 cos 2 2 x 2 y 2 1 (2) y 2 sin y 2 sin
一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、 y都是某个变数t的函数，即
x θ有密切的关系。 若设点P的坐标是（x，y），则点P的横坐标x， 纵坐标y都是θ的函数， 即
x r cos y r sin
x r cos y r sin 所
并且对于θ的每一个允许值，由方程组
确定的点P（x，y）都在圆O上。
上任一点为P1(x1,y1) 将其按向量 v =(a,b)平移后所得到的点为 P P(x,y). y o1 因为 O(0,0)平移后所对应的点为O1(a,b), v 则有OP=(x,y),OP1=(x1,y1),OO1=(a,b) P1 OP=OO1+OP1 o x x1 a x 所以,(x,y)=(x1,y1)+(a,b) 得 y y1 b
感到腰和胳膊都特别疼，忍不住“哎哟”了一声。耿正轻轻地问：“很累吧爹，是不是胳膊很疼啊？”耿老爹说：“是啊，腰腿和胳膊都有点 儿不得劲儿。爹可能是有点儿老了呢，怎么这么一点儿活儿就给累成这个样子了！”耿正说：“不是你老了，这活儿就是怪累人的。我并没有 干多少，还感觉很累呢。”耿老爹说：“明儿个都歇着吧，那些家伙什儿不用着急还的。”耿正说：“爹，这些事情你就不用结记了，我明儿 个下午再过去叫他们派车来拉吧！明儿个上午，恐怕连我也不想动弹了呢。”小青和耿正兄妹三人到底年纪小，体力恢复得快。第二天，他们 只好好地歇息了一个上午以后，就全都歇过来了。乔氏为大家做了非常丰盛的午饭，不但有清蒸鱼和盐水鸭，而且还炒了好几个素菜，烙了牛 肉馅饼，做了鸡蛋挂面汤。大家高高兴兴地吃完午饭以后，乔氏还是不让小青和耿英帮她洗锅刷碗，让她们继续歇息去。但是，小青和耿正兄 妹三人谁也不想再待在床上休息了，只有耿老爹一人还是懒得动，依然回东边屋里睡觉去了。110第三十二回 小树林勾起思乡情|（为省事现买 石灰膏，小树林勾起思乡情；耿老爹德才让人敬，乔氏期盼得佳婿。）接下来的一段时间里，耿正兄妹仨继续做水果贩卖生意，耿老爹把两张 大床和大凳子小板凳什么的都做好了。所有的木料用得干干净净的，耿老爹和乔氏都非常高兴。五间新屋下一步该进行的是亮家了。所谓的亮 家实际上就是用石灰泥进行屋内上面。完成这一步工程时，必须得使用专门淋制的熟石灰膏。于是，耿老爹在次日的早饭桌上与乔氏商量： “咱们得在院子里挖个淋灰池子了。你看在哪里挖合适？”乔氏说：“出门儿不远的小树林旁边，有几个专门做这种生意的人呢，他们常年里 都在淋制和售卖熟好了的石灰膏。淋制熟石灰膏这个活儿太麻烦，咱们就不要自己做了，去那里买一些使用吧！”耿老爹说：“说的也是，这 个活儿不但麻烦费时，而且还会坏了水土，对今后在院儿里种菜种花的，多多少少会有一些影响呢。”小青听了，眨巴眨巴那双特别好看的杏 仁眼，脆生生地问耿老爹：“耿伯伯，您准备什么时候去购买石灰膏啊？”耿老爹说：“如果那里时时有人的话，我想今儿个上午就去看看。” 小青说：“应该是时时有人的。那咱们吃完饭了，我就带你们去吧！”耿老爹笑着说：“好啊，我就知道，你一定会给我们当向导的！”想一 想又说：“不过啊，这装石灰膏，得准备一些特别的家伙什儿呢！”乔氏说：“不用准备，他们有现成的家伙什儿可以抵押了借用的。用完了 给他们送回去，顺便取回押金就行了。”耿老爹高兴地说：“这样最好不过。装了石灰膏的家伙什儿，可是很不好清理的呢！”转而又问： “那咱们自己推上小推车，挑
矿产
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
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1. 圆的标准方程
１、已知圆心为),(b a C ,半径为r ， 如何求的圆的方程？ 运用上节课求曲线方程的方法,从圆的定义出发，正确地推导出:
222)()(r b y a x =-+- 这个方程叫做圆的标准方程
2、圆的标准方程 :2
2
2
)()(r b y a x =-+-
若圆心在坐标原点上,这时0==b a ,则圆的方程就是2
2
2
r y x =+ ３、圆的标准方程的两个基本要素:圆心坐标和半径
圆心和半径分别确定了圆的位置和大小,从而确定了圆,所以,只要r b a ,,三个量确定了且r >０,圆的方程就给定了。
这就是说要确定圆的方程,必须具备三个独立的条件，确定r b a ,,，可以根据条件,利用待定系数法来解决 三、讲解范例:
例１ 求以C(1，３)为圆心,并且和直线0743=--y x 相切的圆的方程
例2已知圆的方程2
22r y x =+，求经过圆上一点),(00y x M 的切线方程
例3.求过点(3,1)M ，且与圆2
2
(1)4x y -+=相切的直线l 的方程
例4.一圆过原点O 和点(1,3)P ，圆心在直线2y x =+上,求此圆的方程
例５.已知一圆与y 轴相切,在直线y x =上截得的弦AB
长为30
x y -=上,求此圆的方程.
2. 圆的一般方程
1.圆的一般方程
将标准方程2
2
2
()()x a y b r -+-=展开，整理, 得2
2
2
2
2
220x y ax by a b r +--++-=,
反过来, 将①配方得：22224()()224
D E D E F
x y +-+++=. ②
把方程②和圆的标准方程进行比较，可以看出： (１)当2
2
40D
E F +->时,方程①表示以(,)22D E --为圆心为半径的圆;
(2)当2
240D E F +-=时,方程①表示一个点(,)22
D E
-
-; （３)当2
2
40D E F +-<时,方程①不表示任何图形.
结论:当2
2
40D E F +->时,方程①表示一个圆,此时,我们把方程①叫做圆的一般方程．
2．圆的一般方程形式上的特点：
（1)2x 和2
y 的系数相同,且不等于0; （2)没有xy 这样的二次项．
以上两点是二元二次方程22
0Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的必要条件,但不是充分条件．充要条件是？（Ａ＝C ≠0，B=0,042
2>-+FA E D ）
说明:１、要求圆的一般方程,只要用待定系数法求出三个系数D 、E 、F 就可以了．
2、圆的一般方程与圆的标准方程各有什么优点?（圆的标准方程：有利于作图。
一般方程：有利于判别二元二次方程是不是圆的方程）
例１.求过三点(0,0)O 、1(1,1)M 、2(4,2)M 的圆的方程,并求这个圆的半径和圆心坐标.
例２.已知圆22
80x y x y m +--+=与直线260x y +-=相交于P 、Q 两点,定点(1,1)R ，
若PR QR ⊥,求实数m 的值．
例3.若圆x 2+y 2－2ｋx +2ｙ＋2＝0(k >0)与两坐标轴无公共点，那么实数k 的取值范围为
例4.(2009年高考宁夏、海南卷改编)已知圆Ｃ1：(x +1）２
+(y －1）2=1,圆C ２与圆C 1关于直线x -y －1＝0对称,则圆C ２的方程为________＿＿____＿_．
例5．(原创题)圆x 2+y 2-4x +2y +c ＝０与ｙ轴交于A 、B 两点，其圆心为P ，若∠ＡP Ｂ=90°，
则实数c 的值是＿___＿_＿＿．
例6．已知点P (1,4)在圆Ｃ:x 2＋y 2＋2ax -4y ＋ｂ＝0上,点P 关于直线ｘ＋ｙ-３＝0的对称点也在圆C 上，则a =＿___＿___,b ＝__＿_____.
例7．过圆x 2＋y 2=4外一点P (4，2)作圆的两条切线,切点为A 、Ｂ，则△ABP 的外接圆的方程是_＿＿______＿＿＿＿＿_＿____.
3. 圆的参数方程
(1)根据三角函数的定义,cos sin x r y r θ
θ
=⎧⎨
=⎩, ①
显然，对于θ的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)P x y 都在圆O 上。
我们把方程组①叫做圆心为原点、半径为r 的圆的参数方程,θ是参数． (2）圆心为1(,)O a b ，半径为r 的圆的参数方程是怎样的? 圆1O 可以看成由圆O 按向量(,)v a b =平移得到的(如图）, 由11O P OP =可以得到圆心为1(,)O a b ,
半径为r 的圆的参数方程是cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩
（θ为参数)
1O
(,)P x y
y
例1.把下列参数方程化为普通方程:
１.23cos 32sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩ 2. 2
2
2121x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
例2．如图，已知点P 是圆2
2
16x y +=上的一个动点,定点A (12,0),当点P 在圆上运动时,线段PA 的中点M 的轨迹是什么？
例3 在圆224x y +=上有定点A （2,０)，及两个动点Ｂ、Ｃ,且A 、B 、C 按逆时针方向排列，∠BA Ｃ=3
π
，求△ＡBC 的重心G （x,y ）的轨迹方程
例4.：设圆⎩⎨
⎧+-=+=θ
θsin 5,
cos 3r y r x （θ为参数)上有且仅有两点到直线-4x+3y=2的距离等于１，
则r 的取值范围是
例6、已知点P （ｘ，y)是圆ｘ2+y2- 6x － 4ｙ+12=0上动点，求（1) x2+y2 的最值,
（2)x+y 的最值,
(3）P 到直线x+ｙ－ 1=0的距离d 的最值。
例7、 过点(2,1）的直线中，被圆x ２
＋y ２
-2x ＋４y=0截得的弦：为最长的直线方程是＿_
＿＿＿＿＿__;为最短的直线方程是____＿_____；
例８、若实数x ,y 满足x 2+y 2-2ｘ＋４y ＝0,则x -2y 的最大值为 。
例9 已知点P(x,y)是圆22(1)1x y +-=上任意一点，欲使不等式x+y+ｃ≥0恒成立,求ｃ的取值范围。
例10 求函数sin 1
()cos 2
f θθθ-=
-的最大值和最小值。
3cos 2sin x y θθ
=+⎧⎨
=+⎩
补充:已知曲线C的参数方程为
2cos
sin
x
y
θ
θ
=-+
⎧
⎨
=
⎩
(θ为参数）,(,)
P x y是曲线C上任意
一点，
y
t
x
=，求t的取值范围.。