(完整word版)全等三角形证明方法
《全等三角形》word版

全等三角形※※※※基本知识点:1、全等三角形的概念:能够完全重合的两个三角形就叫做全等三角形。
全等符号:≌。
注意把对应的顶点写在相对应的位置上。
2、全等三角形的性质:全等三角形的对应边、对应角。
3、全等三角形的判定:(5种)4、解题方法:分析法:执果溯因,由结论出发寻求条件。
※※※※典型例题1、如图,BAC ABD ∠=∠,请你添加一个条件:,使OC OD =(只添一个即可).2、如图,在△ABC 中,AB3、如图,AB =CD ,AD ==10,那么∠DBC =,第1题图4、如图,工人师傅要检查人字梁的∠B 和∠C 是否相等,但他手边没有量角器,只有一个刻度尺.他是这样操作的:①分别在BA 和CA 上取BE =CG ;②在BC 上取BD =CF ;③量出DE 的长a 米,FG 的长b 米.如果a =b ,那么说明∠B 和∠C 是相等的.他的这种做法合理吗?为什么?DO CB AA E CBFG※※※※测试题一、填空题:1、已知,如图,AD =AC ,BD =BC ,O 为AB 上一点,那么,图中共有对全等三角形.2、如图,△ABC ≌△ADE ,那么,AB =,∠E =∠.若∠BAE =120°,∠BAD =40°, 那么∠BAC =.3、△ABC ≌△DEF ,且△ABC 的周长为12,若AB =3,EF =4,那么AC =.4、如图,AE =BF ,AD ∥BC ,AD =BC ,那么有ΔADF ≌,且DF = .5、如图,在ΔABC 与ΔDEF 中,如果AB =DE ,BE =CF ,只要加上∠ =∠, 或∥,就可证明ΔABC ≌ΔDEF .6、如图,已知AC =BD ,21∠=∠,那么△ABC ≌, 其判定根据是__________.7、如图,ABC ∆中,BC AD ⊥于D ,要使△ABD ≌△ACD ,若根据“HL ”判定,还需加条件___= ___. 8、如图,已知AC =BD ,D A ∠=∠,请你添一个直接条件,= ,使△AFC ≌△DEB .9、如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带________去配,这样做的数学依据是是.A D第6题图 第7题图 第8题图BACBAED第1题图 第2题图10、把两根钢条AA ´、BB ´的中点连在一起,可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳), 如图,若测得AB =5厘米,那么槽宽为米.11、△ABC 中,∠B =60°,∠C =80°,O 是三条角平分线的交点,那么∠OAC =______,∠BOC =________. 12、将一张长方形纸片按如图所示的方式进行折叠,其中BC BD ,为折痕,那么BCD ∠的度数为. 二、解答题:(每题8分,共72分)13、已知:如图,点D 、E 在BC 上,且BD=CE ,AD=AE ,求证:AB=AC .14、如图,在四边形ABCD 中,E 是AC 上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证: ∠5=∠6.15、已知:如图,A 、C 、F 、D 在同一直线上,AF =D C ,AB =DE ,BC =EF ,求证:△ABC ≌△DEF .③①②BABA第9题图 第10图 第12题图BCD654321E D CBABCDF A ABC16、已知AB∥DE,BC∥EF,D,C在AF上,且AD=CF,求证:△ABC≌△DEF.17、已知:如图,AB=AC,BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,BD、CE相交于点F,求证:BE=CD.19、已知:BE⊥CD,BE=DE,BC=DA,求证:①△BEC≌△DAE;②DF⊥BC.BF AACBDEF。
全等三角形的判定 (1-5课时)Microsoft Word 文档

全等三角形的判定第一课时:SSS教学目标知识与能力:(1)经历探索三角形全等条件的过程,掌握三角形全等的“边边边”条件并初步学会运用,了解三角形的稳定性及其应用。
过程与方法:在探索三角形全等条件的过程中,让学生学会有条理地思考、分析、解决问题的能力,培养学生推理意识和能力,发展学生的空间观念。
情感态度与价值观:培养学生敢于实践,勇于发现,大胆探索,合作创新的精神;体会数学在生活中的作用,增强学习数学的兴趣,树立学好数学的信心。
教学重点:经历探索三角形全等条件的过程。
教学难点:对三角形全等条件的分析和探索。
教学过程引入:三角形全等的判定是中学数学重要内容之一,是证明线段相等、角相等的重要方法,是今后几何学习的基础。
本节课是探索三角形全等条件的第一课时,学好了将为下节课探索三角形全等的其他条件打下坚实的基础;同时为今后探索直角三角形全等的条件以及三角形相似的条件提供很好模式和方法,因此本节课占有相当重要的地位和作用。
复习回顾1.怎样的两个三角形是全等三角形?2.全等三角形的性质?2.创设情景,提出问题大家知道:一个三角形有三个角与三条边,那么两个三角形全等是否一定要三个角与三条边都对应相等,即这六个条件都成立。
如果满足这六个条件中的一个或两个,那么两个三角形会全等吗?小组合作完成课本第六页探究1。
通过探究可以发现满足上述条件中的一个和两个两个三角形不一定全等。
满足上述六个条件中的三个,能保证两个三角形全等吗?需分境况来讨论。
探究2:先画出一个三角形△ABC,你能画一个△A′B′C′,使AB= A′B′,AC= A′C′,BC= B′C′吗?教师介绍尺规作图。
师生一起完成:A B C D EF并△A ′B ′C ′剪下,放到△ABC 拼一拼,他们是否全等?4.归纳总结,得出新知三边对应相等的两个三角形全等简写为“边边边”或“SSS ”用符号语言表达为: 在∆ABC 和∆DEF 中AB=DE∵AC=DFBC=EF∴∆ABC ≌∆DEF5.应用新知,体验成功要证明这两个三角形的三条边是否对应相等,从题目中得知,AB=AC ,AD 是BC 边上的中线,所以有BD=DC ,而AD=DA 是公共边,这样根据“SSS ”,所以题目所求证的这两个三角形就全等了。
全等三角形的判定方法五种的证明

全等三角形的判定方法五种的证明全文共四篇示例,供读者参考第一篇示例:全等三角形(即三角形的所有对应边和角都相等)在几何学中具有重要意义,因为它们有着很多共性特征和性质。
在实际问题中,我们常常需要判定两个三角形是否全等,以便解决一些几何问题。
下面我们将介绍五种判定方法,并给出它们的证明。
一、SSS法则(边边边全等)首先我们来介绍SSS法则,即如果两个三角形的三条边分别相等,则这两个三角形全等。
设有两个三角形ABC和DEF,已知AB=DE,AC=DF,BC=EF。
我们要证明三角形ABC全等于三角形DEF。
【证明过程】由已知条件可知,三角形ABC和三角形DEF的三边分别相等。
所以可以得到以下对应关系:AB=DEAC=DFBC=EF三角形的两边之和大于第三边,所以我们有以下结论:AB+AC>BCDE+DF>EF由于AB=DE,AC=DF,BC=EF,所以根据上述两个不等式可得:AB+AC>BCAB+AC>BC所以三角形ABC与三角形DEF全等。
由于∠C=∠F,所以我们有以下结论:∠A+∠C+∠B=180°∠A+∠F+∠E=180°由于∠C=∠F,所以可以将两个等式相减,得到:∠B-∠E=0∠B=∠E四、HL法则(斜边-直角-斜边全等)由于∠A=∠D,∠B=∠E,所以可以使用AA法则证明三角形ABC 与三角形DEF全等。
我们介绍了五种全等三角形的判定方法以及它们的证明。
这些方法在解决几何问题中起着至关重要的作用,希望大家能够掌握并灵活运用这些方法。
如果遇到类似的题目,可以根据不同情况灵活选择合适的方法来判定三角形的全等关系。
通过不断练习和思考,相信大家能够在几何学习中取得更好的成绩。
【2000字】第二篇示例:全等三角形是指具有完全相同的三边和三角形的一种特殊情况。
在几何学中,全等三角形之间具有一些特殊的性质和关系。
正确判断两个三角形是否全等是解决几何问题的关键。
全等三角形的讲义整理讲义

全等三角形专题一 全等三角形的性质【知识点1】能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
(两个三角形全等是指两个三角形的大小和形状完全一样,与他们的位置没有关系。
)【知识点2】两个三角形重合在一起,重合的顶点叫做对应顶点;重合的边叫做 对应边;重合的角叫做对应角。
【例题1】如图,已知图中的两个三角形全等,填空:(1)AB 与 是对应边,BC 与 是对应边, CA 与 是对应边;(2)∠A 与 是对应角,∠ABC 与 是对应角, ∠BAC 与 是对应角【方法总结】在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法。
(1)有公共边的,公 共边一定是对应边;(2)有公共角的,公共角一定是对应角;(3)有对顶角的,对顶角是对应角;(4)在两个全等三角形中,最长的边对最长的边,最短的边对最短的边,最大的角对最大的角,最小的角对最小的角。
【练习1】 如图,图中有两对三角形全等,填空: (1)△BOD ≌ ; (2)△ACD ≌ .【知识点3】 全等三角形的对应边相等,对应角相等。
(由定义还可知道,全等三角形的周长相等,面积相等,对应边上的中线和高相DABCOE ABCD等,对应角的角平分线相等)【例题2】 (海南省中考卷第5题) 已知图2中的两个三角形全等,则∠α度数是( )A.72°B.60°C.58°D.50°【例题3】(清远)如图,若111ABC A B C △≌△,且11040A B ∠=∠=°,°,则1C ∠= .【练习2】 如图,ACB A C B '''△≌△,BCB ∠'=30°,则ACA '∠的度数为( )A 20° B.30° C .35° D .40°【练习3】如图,△ABD 绕着点B 沿顺时针方向旋转90°到△EBC , 且∠ABD=90°。
《三角形全等的判定(ASA与AAS)》》 word版 公开课一等奖教案

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(word版)全等三角形精选证明及辅助线作法(培优)

(初中几何)全等三角形精选题目1.已知:如图,AE =AC , AD =AB ,∠EAC =∠DAB ,求证:△EAD ≌△CAB .2.如图,△ABC 与△DCB 中,AC 与BD 交于点E ,且∠A =∠D ,AB =DC .(1)求证:△ABE ≌DCE ;(2)当∠AEB =50°,求∠EBC 的度数?3.如图,已知BE 、CF 是的高,且BP =AC ,CQ =AB ,求证:AP ⊥AQ ,AP =AQ4.如图, 在等边△ABC 中, BD =CE , AD 与BE 相交于点P , 求∠APE 的度数.EDCBAE OP F QCBA DP ECBAACBE D5.如图, 已知等腰Rt △OAB 中,∠AOB =90°, 等腰Rt △EOF 中,∠EOF =90°,连结AE 、BF . 请猜想线段AE 和线段BF 的关系,并证明你给出的结论.6.如图所示,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB =90°,AD 是BC 边上的中线,过C 作AD 的垂线,交AB 于点E ,交AD 于点F ,求证:∠ADC =∠BDE .7.如图,四边形ABCD 是正方形,G 是BC 上任意一点(点G 与B 、C 不重合),AE ⊥DG 于E ,CF ∥AE 交DG 于F .求证:AE =DE +EF .OFEBAFD C BAGFE DCBA8. 正方形四条边都相等,四个角都是90°,如图,已知正方形ABCD 在直线MN 的正上方,BC 在直线MN 上,点E 是直线MN 上一点,以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG.(1)如图1,当点E 在线段BC 上(不与点B 、C 重合)时: ① 判断△ADG 和△ABE 是否全等,并说明理由:② 过点F 作FH ⊥MN ,垂足为点H ,观察并猜想线段BE 和线段CH 的数量关系,并说明理由:(2)如图2,当点E 在射线CN 上(不与点C 重合)时: ①判断△ADG 和△ABE 是否全等,并说明理由:②过点F 作FH ⊥MN ,垂足为点H ,已知GD =4,求△CFH 的面积.图1 图29.如图,在四边形ABCD 中,BC > BA ,AD=CD ,BD 平分∠ABC ,求证:∠A +∠C =180°.E H FGDCBAN MEN MHFGD CBA DCBA10.如图,已知AD ∥BC ,点E 是CD 上一点,连接AE 、BE ,且AE 、BE 恰好是∠DAB 和∠ABC 的角平分线.求证:AB =AD +BC .11.如图,在△ABC 中,D 是BC 边的中点,E 是AD 上一点,BE =AC ,BE 的延长线交AC 于点F ,求证:∠AEF =∠EAF .12.如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,过点D 作射线交AB 于点E ,交CA 的延长线与点F ,若∠AEF =∠F ,求证:BE=CF .EDCBAF ED CB A F E DCBA13.在四边形ABCD 中,AB ∥DC ,点E 为BC 边上的中点,∠BAE =∠EAF ,AF 与DC 的延长线相交于于点F ,试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系,并证明你的结论.14.如图,△ABC 中,BD =DC =AC ,E 是DC 的中点,求证,AD 平分∠BAE.15.如图:在四边形ABCD 中,AD ∥BC ,AB=AD+BC ,E 是CD 的中点,求证:AE ⊥BE .AFEDCBEDCB AEDCB A16.如图,在线段AE 同侧作两个等边三角形△ABC 和△CDE (∠ACE <120°),点P 与点M 分别是线段BE 和AD 的中点,请探索△CPM 是什么三角形,并进行证明.17.已知:如图,△ABC 中,∠ABC =45°,CD ⊥AB 于点D ,BE 平分∠ABC ,且BE ⊥AC 于E ,与CD 相交于点F ,H 是BC 边的中点,连结DH 与BE 相交于点G .(1)求证:BF =AC ;(2)CE 和BF 有怎样的数量关系,写出判断并给出证明; (3)CE 与BG 的大小关系如何?试证明你的结论.MP DC BEACEFHGD BA。
(完整word版)全等三角形判定的复习教案

全等三角形判定的复习学习目标:1、了解判定两个三角形全等的4种方法,并能应用它们解决简单问题;2、学会用全等的方法证明线段(角)的相等3、了解全等的证明思路,学会合理思考.教学重点:1、了解判定两个三角形全等的4种方法,并能应用它们解决简单问题;2、学会用全等的方法证明线段(角)的相等教学难点:1:如何灵活运用合适判定方法进行全等证明 2:初步认识并获得全等的证明思路 教学过程:(一) 温故知新:(直接导入复习内容)学生回顾旧知识 1、全等三角形的定义?能够完全重合的两个三角形叫全等三角形 2、全等三角形的性质?全等三角形对应边相等,对应角相等 3、全等三角形的判定方法判定方法1 三边对应相等的两个三角形全等(可以简写为“边边边”或“SSS ” ) 判定方法2 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”)判定方法3 有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA ”)判定方法 4 有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS ”)(师引言本章重点复习三角形的全等进入全等证明) (二) 基础训练:1.如图, A,E,B,D 在同一直线上, AB=DE,AC=DF,AC ∥ DF,在ΔABC 和ΔDEF, (1)求证: ΔABC ≌ΔDEF (学生口述过程)(师指出需要条件先给予证明)(1)证明:∵AC ∥DF(已知) ∴∠A=∠D (两直线平行,内错角相等) 在ΔABC 和ΔDEF 中AB=DE(已知) ∠A=∠D(已证) AC=DF (已知∴ΔABC ≌ΔDEF(SAS) (2) 如图,A,E,B,D 在同一直线上, 在ΔABC 和ΔDEF 中, AB=DE,AC=DF,AC ∥DF, 你还可以得到的结论是 .(写出一个,不添加其他线段,不再表注或使用其他字母) 解:根据”全等三角形的对应边(角)相等”可知:① BC=EF, ② ∠C=∠F③ ∠ABC=∠ DEF, (师引导学生分析全由学生回答) ④ EF ∥BC ⑤ AE=BDF EDC BA F E DC BA(基础训练2)已知:如图,AB=AD,AC=AE,∠1=∠2, (本题全由学生解答) 求证:∠B=∠D.证明: ∵∠1=∠2 (已知) ∴ ∠1+∠DAC =∠2+ ∠DAC, (等式性质)即∠BAC=∠DAE (等量代换) 在ΔABC 和ΔADE 中AB=AD(已知)∠BAC=∠DAE(已证) AC=AE (已知)∴ ΔABC ≌ΔADE(SAS) ∴ ∠B=∠D(全等三角形的对应角相等)(三)开放训练: 1 、如图,点B 在AE 上,∠CAB=∠DAB,要使ΔABC ≌ΔABD,可补充的一个条件是___________________ .如图,AE=AD,要使ΔABD ≌ΔACE,请你增加一个条件是如图,AB,CD 相交于点O,OA=OD.要使ΔOAC ≌ΔODB,请你增加一个条件是 .(四)合作探究:在△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC ,直线MN 经过点C ,如图,且AD ⊥MN 于D ,BE ⊥MN 于E ,求证:△ ADC ≌ △CEB.如图在ΔACD 和ΔCBE 中AC=BC, ∠ACB= 120°, ∠ ADC=∠BEC= 120°, ΔACD 和ΔCBE 是否还全等?(学生分组合作讨论)(从中你发现了什么?)CBOAD E DCBAACDBE120°120° 120°ENM EDCBAE DC BA ACDBEX ° X °X °(五)谈收获:通过本节的学习,谈谈你在全等证明问题中的收获和经验(六)教师总结1.证明两个三角形全等,要结合题目的条件和结论,选择恰当的判定方法2.全等三角形,是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一,证明时①要观察待证的线段或角,在哪两个可能全等的三角形中。
证明全等三角形的五种方法

1.第一种方法争廊是:三组对应边分别相等的两个三角形全等。
俗称sss/边边
边。
也是最简单地证明三角形全阅巨等方法了,不过出题一般不会出此知识点。
2. 2
第二种方法是:有两边及其夹角对应相等的两个全等三角形全等,俗称SAS/边角边。
如下图三角形ABC与三角形ABD全等。
(边AB是公共角,边AC 等于边AD,角BAC=角度BAD)
3. 3
第三种方法是有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等,俗称ASA/角边角
如下图:如下图三角形ACD与三角形ABE全等。
(角A是公共角,边AB 等于边AC,边AE=边AD)
4. 4
第四种方法是有两角及一角的对边对应相等的召民汽两个三角形全等,俗称边边角/AAS。
如下图三角形ACD与三角形BCD全等。
(BD是公共边,角A等于角B,角ACD=角BDC)
5. 5
第五种方法是关于直角三角形的。
直角三角形的全等条件是斜边及其一直角对应相等的两个直角三角形全等。
俗称HL/直角边。
如下图,三角形ACD与三角形BCD全等。
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全等三角形的证明方法
一、三角形全等的判定:
(1)三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS);
(2)有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) ;
(3)有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) ;
(4)有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) ;
(5)直角三角形全等的判定:斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL).
二、全等三角形的性质:
(1)全等三角形的对应边相等;全等三角形的对应角相等;
(2)全等三角形的周长相等、面积相等;
(3)全等三角形的对应边上的高对应相等;
(4)全等三角形的对应角的角平分线相等;
(5)全等三角形的对应边上的中线相等;
三、找全等三角形的方法:
(1)可以从结论出发,看要证明相等的两条线段(或角)分别在哪两个可能全等的三角形中;
(2)可以从已知条件出发,看已知条件可以确定哪两个三角形相等;
(3)从条件和结论综合考虑,看它们能一同确定哪两个三角形全等;
(4)若上述方法均不行,可考虑添加辅助线,构造全等三角形。
三角形全等的证明中包含两个要素:边和角。
①积极发现隐含条件:
公共角对顶角公共边
②观察发现等角等边:
等边对等角同角的余角相等同角的补角相等
等角对等边等角的余角相等等角的补角相等
③推理发现等边等角:
图1:平行转化图2 :等角转化图3:中点转化
图4 :等量和转化图5:等量差转化图6:角平分线性质转化
图7:三线合一转化图8:等积转化图9:中垂线转化图10:全等转化
图11:等段转化
四、构造辅助线的常用方法:
1、关于角平分线的辅助线:
当题目的条件中出现角平分线时,要想到根据角平分线的性质构造辅助线。
角平分线具有两条性质:①角平分线具有对称性;
②角平分线上的点到角两边的距离相等。
关于角平分线常用的辅助线方法:
(1)截取构造全等:
如下左图所示,OC是∠AOB的角平分线,D为OC上一点,F为OB上一点,若在OA上取一点E,使得OE=OF,并连接DE,则有△OED≌△OFD,从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
例1、如上右图所示,AB//CD,BE平分∠BCD,CE平分∠BCD,点E在AD上,求证:BC=AB+CD。
提示:在BC上取一点F使得BF=BA,连结EF。
(2)角分线上点向角两边作垂线构造全等
利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。
如下左图所示,过∠AOB的平分线OC上一点D 向角两边OA、OB作垂线,垂足为E、F,连接DE、DF。
则有:DE=DF,△OED≌△OFD。
例2、如上右图所示,已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。
求证:∠ADC+∠B=180°
(3)作角平分线的垂线构造等腰三角形。
如下左图所示,从角的一边OB上的一点E作角平分线OC的垂线EF,使之与角的另一边OA相交,则截得一个等腰三角形(△OEF),垂足为底边上的中点D,该角平分线又成为底边上的中线和高,以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。
如果题目中有垂直于角平分线的线段,则延长该线段与角的另一边相交,从而得到一个等腰三角形,可总结为:“延分垂,等腰归”。
例3、如上右图所示,已知∠BAD=∠DAC,AB>AC,CD⊥AD于D,H是BC中点。
求证:1
() 2
DH AB AC
=-
提示:延长CD交AB于点E,则可得全等三角形。
问题可证。
例4、已知,如图,在Rt△ABC中,AB = AC,∠BAC = 90o,∠1 = ∠2 ,CE⊥BD的延长线于E,
求证:BD = 2CE
提示:延长CE交BA的延长线于点F。
1
2
(4)作平行线构造等腰三角形作平行线构造等腰三角形分为以下两种情况:
①如下左图所示,过角平分线OC上的一点E作角的一边OA的平行线DE,从而构造等腰三角形ODE。
②如下右图所示,通过角一边OB上的点D作角平分线OC的平行线DH与另外一边AO的反向延长线相交于点H,从而构造等腰三角形ODH。
A
B C
D
(1)遇到求证一条线段等于另两条线段之和时,一般方法是截长补短法:
①截长:在长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另一条;
②补短:将一条短线段延长,延长部分等于另一条短线段,然后证明新线段等于长线段。
例1、在△ABC中,AD平分∠BAC,∠ACB=2∠B,求证:AB=AC+CD。
(2)对于证明有关线段和差的不等式,通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边,故可想办法将某些线段转化到一个三角形中证明。
在利用三角形三边关系证明线段不等关系时,如直接证不出来,可连接两点或廷长某边构成三角形,使结论中出现的线段在一个或几个三角形中,再运用三角形三边的不等关系证明。
例2、已知如图,D、E为△ABC内两点,求证:AB+AC>BD+DE+CE.
(3)在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时,可连接两点或延长某边,构造三角形,使求证的大角在某个三角形的外角的位置上,小角处于这个三角形的内角位置上,再利用外角定理:
例3:如图:已知D为△ABC内的任一点,求证:∠BDC>∠BAC
在三角形中,如果已知一点是三角形某一边上的中点,那么首先应该联想到三角形的中线加倍延长中线及其相关性质(等腰三角形底边中线性质),然后通过探索,找到解决问题的方法。
(1)中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形. 即如图1,AD 是ΔABC 的中线,则
1
2
ABD ACD ABC S S S ∆∆∆==
(因为ΔABD 与ΔACD 是等底同高的)。
图1 图2
(2)倍长中线,如图2, 已知中点、中线问题应想到倍长中线,由中线的性质可知,一条中线将中点所在的线段平分,可得到一组等边,通过倍长中线又可得到一组等边及对顶角,因而可以得到一组全等三角形。
如图,延长AD 到E ,使得AD=AE ,连结BE 。
例1、如图3,已知ΔABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,AD 又是BC 边上的中线。
求证:ΔABC 是等腰三角形。
4、验证中点、中线问题,应构造平行线,如图,过B 作BE 平行AC 交AD 延长线于E.
例1、如图3,在等腰△ABC 中,AB=AC ,在AB 上截取BD ,在AC 延长线上截取CE ,且使CE=BD .连接DE 交BC 于F .求证:DF=EF .
D
C
B
A
5、其他辅助线作法:
(1)延长已知边构造三角形 在一些求证三角形问题中,延长某两条线段(边)相交,构成一个封闭的图形,可找到更多的相等关系,有助于问题的解决.
例1、如图4,在△ABC 中,AC=BC ,∠C=90°,BD 为∠ABC 的平分线.若A 点到直线BD 的距离AD 为a ,求BE 的长.
例2、已知:如图,AC=BD ,AD ⊥AC ,BC ⊥BD .求证:AD=BC .
(2)连接四边形的对角线,把四边形的问题转化成为三角形来解决. 例3、如图,AB ∥CD ,AD ∥BC 求证:AB=CD
(3)取线段中点构造全等三有形.
例4、如图,AB =DC ,∠A =∠D 求证:∠ABC =∠DCB.。