热工控制系统第五章-第二讲PPT课件

若N为负，表示 f顺时针运动，包围原点。
二、乃奎斯特稳定判据：
对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是不 稳定的。对于上面讨论的辅助方程 F(s)1G (s)H (，s)其零点恰 好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的的零点在s右半平 面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为 零，则闭环系统是稳定的。
2
2
，R
得第二部分的映射；令
从 0，得第三部分
的映射。稍后将介绍具体求法。
得到映射曲线后，就可由柯西幅角定理计算 NPk Zk ，式中：
Z k , Pk 是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。确定了N，可求出 Zk Pk N 。当 Z R 0 时，系统稳定；否则不稳定。
第2个问题：辅助方程与开环频率特性的关系。我们所构造的的 辅助方程为 F(s)1Gk(s)，G k ( s ) 为开环频率特性。因此，有以下 三点是明显的：
第五章 控制系统的频域分析
1 频率特性 2 频率特性的极坐标图 3 频率特性的对数坐标图 4 乃奎斯特稳定判据和相对稳定性 5 闭环频率特性与系统动态性能的关系
5.4 乃奎斯特稳定判据和相对稳定性
奈魁斯特稳定判据是用开环频率特性判别闭环系统的 稳定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对 稳定的概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性 能的途径。
(s p j)
j1
由上述公式可以看出：
F(s)的极点为开环传递函数的极点；
F(s)的零点为闭环传递函数的极点；
F(s)是复变量s的单值有理函数。如果函数F(s)在s平面上指
定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点 d
都可以在
s
F(s)平面上找到一个相应的点d f ，d f 称为 d s 在F(s)平面上的映射。
我们这里是应用开环频率特性研究闭环系统的稳定性，因此 开环频率特性是已知的。设想：
如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据 柯西幅角定理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次 数应为：N F (s )|右 极 F (s )|右 零
开 环 系 统 右 半 极 点 数 P 闭 环 系 统 右 半 极 点 数 Z
Ⅱ
F( j)
Ⅲ Ⅰ
F(s)与 G k ( s ) 的关系图
根据上面的讨论，如果将柯西幅角定理中的封闭曲线取奈 魁斯特路径，则可将柯西幅角定理用于判断闭环控制系统的稳 定性。就是下面所述的乃奎斯特稳定判据。
[乃奎斯特稳定判据]：若系统的开环传递函数在右半平面上有P k 个极点，且开环频率特性曲线对(-1,j0)点包围的次数为N， （N>0逆时针，N<0顺时针），则闭环系统在右半平面的极点数
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②F(s)对原点的包围，相当于G k ( s ) 对(-1,j0)的包围；因此映射曲 线F(s)对原点的包围次数N与G k ( s ) 对(-1,j0)点的包围的次数一样。
③F(s)的极点就是G k ( s ) 的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就 是G k ( s )在右半平面的极点数。
Gk ( j)
将闭环特征方程与开环特征方程之比构成一个辅助方程，得：
F (s)1G (s)H (s)M 1M 2N 1N 2 N 1N 2
显然，辅助方程即是闭环特征方程。其阶数为n阶，且分子 分母同阶。则辅助方程可写成以下形式：
n
(s zi)
F (s)
i1 n
。式中， zi , p j 为F(s)的零、极点。
曲线 s是顺时针运动的，且包围了F(s)的一个极点（0），
不包围其零点（-2）；曲线
包围原点，且逆时针运动。
f
再进一步试探，发现：若 s 顺时针包围F(s)的一个极点（0）和
一个零点（-2），则
f 不包围原点顺时针运动；若
顺时针只
s
包围F(s)的一个零点（-2），则
包围原点且顺时针运动。
f
这里有一定的规律，就是下面介绍的柯西幅角定理。
当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数。
这里需要解决两个问题：
1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它 是满足柯西幅角条件的？
2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N，并将它和开 环频率特性GH( j) 相联系？
第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向
①中由，分Gk母( j阶)可数求比得分F子( j阶 )数，高而，Gk所( j以)是当开s环频率e特j 性时。，G一k (般s) 在G0k
( j
，
)
即F(s)=1。（对应于映射曲线第Ⅱ部分）
奈魁斯特路径的第Ⅰ部分的映射是G k ( s )曲线向右移1；第Ⅱ部分
的映射对应 Gk (s) 0，即F(s)=1;第Ⅲ部分的映射是第Ⅰ部分映射 的关于实轴的对称。
同样，对于s平面上任意一条不通过F(s)任何奇异点的封闭
曲线 s，也可在F(s)平面上找到一条与之相对应的封闭曲线 f
（为
的映射）。
s
[例]辅助方程为：F (s) s 2
s
，则s平面上 d s 点（-1，j1），映射
到F(s)平面上的点 d f 为（0，-j1）,见下图：
同样我们还可以发现以下事实：s平面上AsBsCsDsEsFsGsHs曲线 s 映射到F(s)平面的曲线为 s ，如下图：
[柯西幅角定理]：s平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线
包
s
围s平面上F(s)的z个零点和p个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲
线
s 移动一周时，在F(s)平面上相对应于封闭曲线
将以顺时针
f
方向绕原点旋转N圈。N，z，p的关系为：N= p-z 。
若N为正，表示 f 逆时针运动，包围原点；
若N为0，表示 f不包围原点；
一、乃奎斯特稳定判据基本原理
设负反馈系统的开环传递函数为：Gk(s)G(s)H(s) ， 其中： G ( s ) 为前向通道传递函数，H ( s ) 为反馈通道传递函
数。 闭环传递函数为：(s) G(s) ，如下图所示：
1G(s)H(s)
令：G(s)M1(s),H(s)M2(s)
N1(s)
N2(s)
做一条曲线 s 包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为奈魁斯特 路径。如下图：
它可分为三部分：Ⅰ部分是正虚轴，0
Ⅱ部分是右半平面上半径为无穷大的半圆；
sRej,R ,从
虚轴，0。
2
2
；Ⅲ部分是负
F(s)平面上的映射是这样得到的：以s j 代入F(s)并令 从
0 变化，得第一部分的映射；在F(s)中取sRej 使角度由