含绝对值不等式的解法(含答案)

含绝对值的不等式的解法

一、 基本解法与思想

解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。

（一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。

主要知识：

1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。

2、a x >与a x <型的不等式的解法。

当0>a 时，不等式>x 的解集是{}

a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是{

}a x a x <<-; 当0的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是∅; 3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。

把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。

当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{

}

c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-;

当0+的解集是{}R x x ∈ 不等式c bx a <+的解集是∅;

例1 解不等式32<-x 分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“2-x ” 看着一个整体。答案为{}

51<<-x x 。(解略)

（二）、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩去掉绝对值再解。

例2。解不等式22

x x x x >++。 分析:由绝对值的意义知，a a =⇔a ≥0，a a =-⇔a ≤0。

解:原不等式等价于

2

x x +＜0⇔x(x+2)＜0⇔-2＜x ＜0。

（三）、平方法:解()()f x g x >型不等式。

例3、解不等式123x x ->-。

解:原不等式⇔22(1)(23)x x ->-⇔22(23)(1)0x x ---<

⇔(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0⇔(3x-4)(x-2)<0 ⇔423

x <<。 说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。

二、分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。

例4 解不等式125x x -++<。

分析:由01=-x ，02=+x ，得1=x 和2=x 。2-和1把实数集合分成三个区间，即2-x ，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论。

解:当x ＜-2时，得2(1)(2)5

x x x <-⎧⎨---+<⎩，

解得：23-<<-x 当-2≤x ≤1时，得21,(1)(2)5

x x x -≤≤⎧⎨--++<⎩， 解得：12≤≤-x

当1>x 时，得1,(1)(2) 5.x x x >⎧⎨-++<⎩

解得：21<

23<<-x x 。

说明:(1)原不等式的解集应为各种情况的并集;

(2)这种解法又叫“零点分区间法”，即通过令每一个绝对值为零求得零点，求解应注意边界值。

三、几何法：即转化为几何知识求解。

例5 对任何实数x ，若不等式12x x k +-->恒成立，则实数k 的取值范围为 ( )

(A)k<3 (B)k<-3 (C)k ≤3 (D) k ≤-3 分析:设12y x x =+--，则原式对任意实数x 恒成立的充要条件是min k y <，于是题转化为求y 的最小值。 解:1x +、2x -的几何意义分别为数轴上点x 到-1和2的距离1x +-2x -的几何意义为数轴上点x 到-1与2的距离之差，如图可得其最小值为-3，故选（B ）。

2

x

四、典型题型

1、解关于x 的不等式10832

<-+x x 解：原不等式等价于1083102<-+<-x x ，

即⎩⎨⎧<-+->-+10

83108322x x x x ⇒⎩⎨⎧<<--<->3621x x x 或 ∴ 原不等式的解集为)3,1()2,6(---

2、解关于x 的不等式23

21>-x 解：原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧<-≠-2132032x x ⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<≠4

74523x x 3、解关于x 的不等式212+<-x x

解：原不等式可化为22)2()12(+<-x x

∴ 0)2()12(22<+--x x

即 0)13)(3(<+-x x

解得：33

1<<-x ∴ 原不等式的解集为)3,3

1(- 4、解关于x 的不等式1212-<-m x )(R m ∈

解：⑴ 当012≤-m 时，即2

1≤m ，因012≥-x ，故原不等式的解集是空集。

⑵ 当012>-m 时，即2

1>m ，原不等式等价于1212)12(-<-<--m x m 解得：m x m <<-1

综上，当21≤m 时，原不等式解集为空集;当21>m 时，不等式解集为{}m x m x <<-1

5、解关于x 的不等式1312++<--x x x

解：当3-

⎨⎧++-<----<1)3()12(3x x x x ，无解 当213≤≤-x ，得⎪⎩⎪⎨⎧++<---≤≤-1

3)12(213x x x x ，解得：2143≤<-x 当21>x 时，得⎪⎩

⎪⎨⎧++<-->131221x x x x ，解得：21>x 综上所述，原不等式的解集为43(-，)2

1 6、解关于x 的不等式521≥++-x x

（答案：),2[]3,(+∞--∞ ）

解：

五、巩固练习

1、设函数)2(,312)(-++-=f x x x f 则＝ ;若2)(≤x f ，则x 的取值范围是 .

2、已知a ∈R ，若关于x 的方程2104x x a a ++-

+=有实根，则a 的取值范围 是 ．

3、不等式12

1≥++x x 的实数解为 ． 4、解下列不等式