大学物理学第三版 第5章 刚体的定轴转动2011

vi θ
P
Δmi
o
转动平面
x
op r
2.定轴转动的角量描述 1.角位置θ
2.角位移
Ｐ 方向与转动方向成右手螺旋法则。 o θ X 转动平面 op r P点线速度 v r d ( rad / s 2 ) 4. 角加速度矢量 dt 由于在定轴转动中轴的 当加速转动时, 与 方向相同； 方位不变，故 , 只 有沿轴的正负两个方向， 当减速转动时, 与 方向相反;
Δmｊ
质元
Δmi
ｒ iｊ
2. 刚体的运动形式: ⑴平动： 在描述刚体的平动时,可以用一点的运 动来代表，通常就用刚体的质心的运动来 代表整个刚体的平动。
⑵转动: 转动是刚体的基本运动形式之一。 刚体转动时各质元均做圆周运动,而且 各圆的圆心都在一条固定不动的直线上, 这条直线叫转轴。如果转轴方向不随时间 变化, 则称定轴转动。
d 3.角速度: 单位：rad/s dt 角速度是矢量 。
Z
ω 转动方向 v
可以用标量代替。
５.当角加速度是常量时： 0 t
( 0 ) t 1 t 2 2
2 2 0 2 ( 0 )
P点线加速度 a r
an r
转轴
⑶ 刚体的一般运动都可以认为是平动和绕某一转轴转动 的结合。如图,车轮的转动。
二、刚体定轴转动的描述 1.特点: 其上各质元都在垂直于转轴的平面内作圆周运动, 且所有质元的矢径在相同的时间内转过的角度相同. 一般用角量描述。 转动平面: 取垂直于转轴 的平面为参考系, 称转动平面。,
转轴 Z
转动方向
刚体的角动量
L J
大小： L J
方向：
的方向。
(平动惯性 ) p mv m 惯性质量 与线量比较： (转动惯性 ) L J J 转动惯量
二、刚体所受力矩
设刚体受外力：F1、F2…Fi…Fn 1. 当质元受合外力Fi 时该力对转轴的力矩 Mi ri Fi 力矩的方向: 沿转轴方向,并与矢径 成右手螺旋法则 。
T3 M1 R1 T1 T1 m1 m2 M2 R2
m2 g T2 m2a2 T1 m1 g m1a1
T2 T22 T
1 2 ( T2 T3 )R2 M 2 R2 2 2 1 2 ( T3 T1 )R1 M 1 R1 1 2
m1g
m 2g
a1 R11 a2 R2 2
2 3 3
例 2 质量为m ，长为 l 的均匀细棒，分别求其绕垂直中心转 dx 轴和绕一端转轴的转动惯量。 解: 设棒单位长质量: λ=m/l, 1. 绕中心轴转动，按如图⑴所示建立一维坐标系, dm=λdx
图⑴ o dm x
J 1 x dm
2

l 2
l 2
1 x dx ml 2 12

t2
t1
Mdt ----冲量矩
刚体所受合外力矩的冲量矩,等于在这段时间内转动刚 体角动量的增量。角动量也称动量矩。 定轴转动

t2
t1
dL Mdt dt L2 L1 t1 dt
t2
四、角动量守恒定律:
由角动量定理可知：

t2
t1
Mdt L2 L1
当刚体所受合力矩为零时即M=0时,其角动量 L保持守恒。
a

r
T1 T1
T2 m2 T2 a m2g
m1
m1g
解方程组得：
m1 m2 gr m1 m2 r 2 J
注意：
开始时系统静止，故 m1 m2 grt t 时刻滑轮的角速度： t m1 m2 r 2 J
T1 T2
例2. 质量分别为m和2m、半径分别为r和2r的两个均匀圆盘， 同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑 固定轴转动，对转轴的转动惯量为9mr2 / 2，大小圆盘边缘 都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m的重物，如图所 示．求盘的角加速度的大小． 解：受力分析如图．
O
取微元 dm dr, l l 1 2 m dr 0 krdr kl 0 2
2m k 2 l
dm
0
2m 2 r l
l 0
mr 4 l 2m 2 J 0 r dm 2 r 3 dr 2 m 0 l 2l
1 2 ml 2
1 2 (1) J 0 ml 2
第5章 刚体的定轴转动
转轴
第5章
刚体的定轴转动
本章将介绍一种特殊的质点系——刚体——所遵循的 力学规律。着重讨论刚体的定轴转动。
一、 概念
§5.1
刚体的运动
1. 刚体: 在受外力作用时不改变形状和体积的物体称刚体。
(1)刚体是理想化模型。 (2)刚体可以看作是由许多质点组成的质点 系，每一个质点叫做刚体的一个质元，刚 体这个质点系的特点是，在外力作用下各 质元之间的相对位置保持不变。
Z
M
ω Fi oi ri
mi
r 及F
vi
定轴转动中，M的方向可用正、负区分
如：使刚体逆时针转动，M > 0
使刚体顺时针转动，M < 0 2. 整个刚体受合外力矩： 定轴转动:
M
M Mi Mi （代数和）
三、刚体定轴转动定律 d d d Li dL M M i d t dt Li J J
i
i
M J
M J
i
dt
dt
—— 刚体转动定律
刚体定轴转动：
刚体定轴转动定律：刚体对于某一转轴所受的合外力矩等 于刚体对该转轴的转动惯量与在此合外力矩作用下所获得 的角加速度的乘积。 特例： 平衡时，β = 0， ∴M= 0 (合力矩为零） 应用时注意：M、 的正负号.
例1. 如图所示，设两重物的质量分别为m1和m2，且m1＞m2， 定滑轮的半径为r，对转轴的转动惯量为J，轻绳与滑轮间 无滑动，滑轮轴上摩擦不计．设开始时系统静止，试求t时 刻滑轮的角速度． 解：两重物加速度大小a相同，滑轮角加速度为 隔离物体分析力方向如图 转动定律： (T1－T2)r＝J 由牛顿第二定律： m1g－T1＝m1a T2－m2g＝m2a 且有： a＝r
2m 2 r l
O
dm
Z
（2）细棒上距 O 点 r 处长 dr 的线元 所受的摩擦力：
0
df
2m dm g gdr g 2 rdr l
对 O点的摩擦力矩(选z轴方向为正）:
2m g 2 dM rdf 2 r dr l
细棒绕 O 点的摩擦力矩:
M0
2(m2 m1 ) g 1 2(m1 m 2 ) M1 M 2 R1
2(m2 m1 ) g 2 2(m1 m2 ) M1 M 2 R2
( 4m1 M1 M 2 ) T1 m1 g 2(m1 m2 ) M1 M 2
( 4m1 M1 M 2 ) T2 m2 g 2(m1 m2 ) M1 M 2
例: 如图一质量为M 长为l的匀质细杆，中间和右端各有一 质量皆为m的刚性小球，该系统可绕其左端且与杆垂直 的水平轴转动，若将该杆置于水平位置后由静止释放， 求:杆转到与水平方向成θ角时,杆的角加速度是多少? 解:设转轴垂直向里为正,系统对该转轴的转动惯量为 2 l 1 l 2 J m ml Ml 2 θ 3 2 该系统所受的合力矩为 mg
M
dM 0
l
2mg 2 2 mgl r dr 2 3 l
§5.2
一、刚体的角动量 二、刚体定轴转动定律
刚体的定轴转动
L J
M J
三、刚体定轴转动的角动量定律
t2 t 2 dL t1 Mdt t1 dt dt L2 L1
dL M dt
2
2.绕一端的转动惯量，按如图⑵所示建立一维坐标系
1 2 J 2 x dm x dx ml 0 3
2
dx dm x
l
2
o
图(2)
例 3. 求质量为 m ，半径为 R 的均匀薄圆环的转 动惯量，轴与圆环平面垂直并通过其圆心。 解:
Z
o
R
J R dm
2
R
2
dm
m
mR

2r
列方程
T2 (2r)－T1
r = 9mr2
/2
T2
mg－T2 = ma2 T1－mg = ma1 2r = a2 r = a 1 解联立方程，得：
a2
T2
m mg
m 2m
r T1 T1 m mg a1
2g 19 r
§5.3 转动惯量的计算
1. 定轴转动惯量定义: 分立刚体:
J m i ri 2
oi ri
mi
vi
2. 刚体的角动量
2 L Li ri mi vi ri m i
i
i
i
2 2 L ri mi ( ri mi )
i
i
定义：
J ( ri m i ) -------刚体对于转轴的转动惯量
2 i
( 4m1m2 m2 M1 m1 M 2 ) T3 g 2(m1 m2 ) M1 M 2
当 M 1，M2 质量可以忽略时 T1= T2= T3
例2 一棒长 l，质量 m，其质量分布与 O 点距离成正比， 将细棒放在粗糙的水平面上，棒可绕 O 点转动，如图。棒 与桌面的摩擦系数为。 Z 求：(1) 细棒对 O 点的转动惯量。 (2) 细棒绕 O 点的摩擦力矩。 解： (1) 设 kr,
记住几个典型的转动惯量： *圆环（通过中心轴）………………… J = mR2 *圆盘、圆柱（通过中心轴）………… J 1 mR2 2 *细棒（端点垂直轴）…………………J 1 mL2 A
3
*细棒（质心垂直轴）…………………J 1 mL2 c
12
3. 转动惯量的物理意义及性质:
⑴ 转动惯量是刚体转动惯性大小的量度; ⑵ 转动惯量不仅与刚体质量有关,而且与刚体转轴的位置 及刚体的质量分布有关; Z ⑶ 转动惯量具有相对性; ⑷转动惯量具有迭加性; J=J1+J2+J3 ⑸ 平行轴定理： 刚体对任一转轴的转动惯量等于刚体 对通过质心并与该轴平行的转动惯量加 上刚体质量与两轴间距的二次方的乘积。 J = Jc+ m d 2 Z’ Z C d
i
oi
ri
mi
转动惯量等于刚体中每个 质点的质量与这一质点到转轴 的距离的平方的乘积的总和。 连续刚体:
o
2
J
r
r
dm
dm
2. 转动惯量的计算
例 1 .刚性三原子分子其质量分布如图所示， 求绕转轴的转动惯量
转轴 r1 m1 r3 r2 m2
m3
J m r m r m r
2 1 1 2 2 2
2
dm
例4: 求质量为 m、半径为 R、薄圆盘的转动惯量。轴与盘 平面垂直并通过盘心。 解：设面密度为 ，取半径为 r 宽为 dr 的薄圆环 dm ds 2rdr
R
O
r dr
J r dm
2

R
0
r 2 2rdr
1 4 1 R mR2 2 2
J 恒量
注意:
（M=0时）
一是转动惯量与角速度都不变; 1.角动量守恒有两种情况: 二是两者都变但二者的乘积不变。 2. Fi 0 Mi 0
l l M Mg cos mg cos mgl cos 2 2
由转动定律: M=J β 可得
Mg
mg
6( M 3m ) g cos ( 15m 4 M )l
方向:指里。
练习1：如图所示,有两个质量分别为 M1 、M2 ，半径分别 为 R1 、R2 的匀质定滑轮，轮缘上绕一细绳, 其两端挂着质 量分别为m1 和m2 的物体。若m1 <m2 , 忽略轴承处的摩擦, 且绳子与滑轮间无相对滑轮, 求滑轮的角加速度及绳子的张 力T1 、Ｔ2 、T 3 。 解：隔离物体分析力 T3 由牛顿第二定律和转动定 律可列方程如下 T1
2
§5.2
一、刚体的角动量
刚体定轴转动定律
…mi……mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的质点;
将刚体看成许多质量分别为m1 ; m2
各质点距转轴的距离分别为 r1
、r2、ri 、rn
Z
各质点速率分别为 v1
ω
、v2 、vi、
vn
1. 第 i 个质点对转轴的角动量
Li ri mi vi ri pi