Z变换及Z传递函数

设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
k 1
f (t kT ) zk F (z) f (mT )zkm
证明：
m0
f (t kT ) f (nT kT )zn n0
f (kT ) f [(k 1)T ]z1 f [(k 2)T ]z2
zk f (kT )zk f [(k 1)T ]z(k1) f [(k 2)T ]z(k2)
F (z) f (t) [ f *(t)] f (kT )zk k 0
第2章 Z变换及Z传递函数
求取离散时间函数的Z变换有多种方法，常用的有两种。 1．级数求和法
将离散时间函数写成展开式的形式
f *(t) f (kT) (t kT) k 0 f (0) (t) f (T ) (t T ) f (2T ) (t 2T ) f (kT) (t kT) 对上式取拉氏变换，得
F(z) F * (s) f (0) f (T )z 1 f (2T )z 2 f (kT)z k
第2章 Z变换及Z传递函数
例2.1 求f(t)=at/T 函数（a为常数）的Z变换。
解：根据Z变换定义有
F (z) f (kT)z k k 0
1 az 1 a 2 z 2 a k z k
k 0
f
(kT
)
(t
kT
)
eTsdt
根据广义脉冲函数的性质，可得：
F * (s) f (kT)ekTs k 0
第2章 Z变换及Z传递函数
上式中，F*(s)是离散时间函数f *(t)的拉氏变换，因复变 量s含在指数e-kTs中是超越函数不便于计算，故引一个新 变量z=eTs，设 并将F*(s)记为F(z)则
在某一采样时刻的输出值y(k)不但与该时刻的输入
u(k)及该时刻以前的输入值u(k-1)，u(k-2)，…，u(k-m) 有关，且与该时刻以前的输出值y (k-1)，y (k-2)，…， y(k-n)有关，即：
y(k) a1y(k 1) a2 y(k 2) an y(k n) b0u(k) b1u(k 1) bmu(k m) 或
第2章 Z变换及Z传递函数
第2章 Z变换及Z传递函数
2.1 Z变换定义与常用函数Z变换 2.2 Z变换的性质和定理 2.3 Z反变换 2.5 线性定常离散系统的差分方程及其解 2.6 Z传递函数
第2章 Z变换及Z传递函数
2.1 Z变换定义与常用函数Z变换
2.1.1 Z变换的定义 已知连续信号f(t)经过来样周期为T的采样开关后，
1 z 1 az 1 z a
z a
第2章 Z变换及Z传递函数
2．部分分式法 设连续时间函数的拉氏变换为有理函数，将展开成
部分分式的形式为
n
F(s)
ai
i1 s si
因此，连续函数的Z变换可以由有理函数求出
n
F(z)
ai z
i1 z e sit
第2章 Z变换及Z传递函数
例2.2 已知 F (s) a （a为常数） 求F(Z) s(s a)
则：
f * (t) c0 c1 (t T ) c2 (t 2T ) ck (t kT)
第2章 Z变换及Z传递函数
2．部分分式法 又称查表法 ，设已知的Z变换函数F(z)无重极点，先求出 F(z)的极点，再将F(z)展开成如下分式之和
n
F(z)
ai z
i1 z zi
然后逐项查Z变换表，得到
2 j
c
F (z)z k 1dz
根据柯西留数定理，上式可以表示为
n
f (kT ) i1 Res F (z)zk1 z pi
n表示极点个数，pi表示第i个极点。即f(kT)等于F(z)zk-1的 全部极点的留数之和。
即：
第2章 Z变换及Z传递函数
Res F (z)zk1
z pi
lim(z z pi
解：将F(s)写成部分分式之和的形式
F(s) a 1 1 s(s a) s s a
a1 1 a2 1 s1 0 s2 a
F(z)
z z 1
z
z e aT
(1 eaT )z
z 2 (1 e aT )z e aT
第2章 Z变换及Z传递函数
2.1.2 常用信号的Z变换
1．单位脉冲信号 f (t) (t)
2j
F(z)
1
2
j
(e jt
e
jt
)
1 2j
e jt e jt
1 z 2 j z e jT
z z e jT
1
e jT e jT
2 j z 2 (e jT e jT )z 1
z sin T
z2 2z cosT 1
第2章 Z变换及Z传递函数
2.2 Z变换的性质和定理
zk f (mT )zm mk
zk
m0
f
(mT )zm
k 1
m0
f
(mT
)
z
m
k 1
zk F (z) f (mT )zkm m0
第2章 Z变换及Z传递函数
4．初值定理 设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
f (0) lim F(z)
证明：
z
F (z) f (kT )zk f (0) f (T )z1 f (2T )z2
则：
fi (kT )
1
ai z z zi
i 1, 2, , n
n
f * (t) fi (kT) (t kT) k 0 i1
第2章 Z变换及Z传递函数
3．留数法
设已知Z变换函数F(z)，则可证明，F(z)的Z反变换 f(kT)值，可由下式计算
f (kT ) 1 F (z)
1
g(kT) g(kT T ) f (kT)
G(z) z 1G(z) F (z)
G(z) F(z) 1 z 1
第2章 Z变换及Z传递函数
8．位移定理 设a为任意常数，连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
f (t)eat F(z eaT )
证明：
f (t)eat f (kT )eakT zk k 0
F (z) f (kT)z k k 0
式中F(z)就称为离散函数f *(t)的Z变换。
第2章 Z变换及Z传递函数
在Z变换的过程中，由于仅仅考虑的是f(t)在采样瞬 间的状态，所以上式只能表征连续时间函数f(t)在采样时 刻上的特性，而不能反映两个采样时刻之间的特性，从 这个意义上来说，连续时间函数f(t)与相应的离散时间函 数f *(t)具有相同的Z变换。即
F (z) (t) (kT )zk 1 k 0
2．单位阶跃信号 f (t) 1(t)
F (z) 1(kT )z k k 0
1 z 1 z 2
1
1 z
1
z z 1
( z 1)
第2章 Z变换及Z传递函数
3．单位速度信号 f (t) t
F ( z) kTz k k 0
T ( z 1 2z 2 3z 3 )
f (kT )(eaT z)k k 0
F (zeaT )
第2章 Z变换及Z传递函数
9．微分定理
设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
tf (t) Tz d[F (z)]
证明：
dz
d[F (z)]
dz
d dz
k 0
f
(kT )zk
k 0
f
(kT )
d dz
[zk ]
f (kT )(k )zk1 1
Tz
( z 1)2
( z 1)
第2章 Z变换及Z传递函数
4．指数信号 f (t) e at
F (z) ekaT zk k 0
1 eaT z 1 e2aT z 2
1 1 eaT z 1
z
z eat
第2章 Z变换及Z传递函数
5．正弦信号 f (t) sint
sin t 1 (e jt e jt )
k
g(kT ) * f (kT ) g(iT ) f (kT iT )zk
k0 i0
g(iT ) f (kT iT )zk
k0 i0
f [(k i)T ]z(ki) g(iT )zi
k 0
i0
f [(k i)T ]z(ki) g(iT )zi
k i0
i0
F (z)G(z)
6．卷积和定理 设连续时间函数f(t)和g(t)的Z变换分别为F(z)及G(z)，若 定义
k
k
g(iT ) f (kT iT ) g(kT iT ) f (iT )
i0
i0
则
g(kT ) * f (kT )
g(kT)* f (kT) G(z)F(z)
第2章 Z变换及Z传递函数
证明：
由于当i >k时 f (kT iT ) 0
z 1
lim
z 1
k
0
f
(kT)z k
k 0
f
(kT
T
)
z
k
f (kT) f (kT T )
k 0
k 0
f (kT) f (kT T )
k 0
f (0) f (T ) f (T ) f (0) f (2T ) f (T )
f ()
第2章 Z变换及Z传递函数
pi )F (z)zk1
n
f
(kT )
i 1
lim(z
z pi
pi )F (z)zk1
第2章 Z变换及Z传递函数
2.5 线性定常离散系统的差分方程及其解
对于单输入、单输出的计算机控制系统，设在某一 采样时刻的输出为y(kT)， 输入为u(kT)，为了书写方便， 用y(k)表示y(kT)，用u(k)表示u(kT)。
第2章 Z变换及Z传递函数
7．求和定理 设连续时间函数f(t)和g(t)的Z变换分别为F(z)及G(z)，若 有
k
g(kT) f (iT ) i0
则
F(z) G(z) 1 z 1
证明：
第2章 Z变换及Z传递函数
k
g(kT) f (iT ) i0 k 1
g(kT T ) f ( jT ) j0
k 0
所以
f (0) lim F(z) z
第2章 Z变换及Z传递函数
5．终值定理
设连续时间函数f(t)的Z变换为F(z)，则有
f () lim(1 z 1)F(z) lim(z 1)F(z)
z1
z1
证明：
lim (1 z 1 )F (z) lim F (z) z 1F (z)
z 1
1．线性定理 设a,a1,a2为任意常数，连续时间函数f(t),f1(t),f2(t) 的Z 变换分别为F(z),F1(z),F2(z)、及，则有
af (t) aF (z) a1 f1(t) a2 f2 (t) a1F1(z) a2F2 (z)
第2章 Z变换及Z传递函数
2．滞后定理 设连续时间函数在t＜0时，f(t)=0，且f(t)的Z变换为F(z)， 则有
变成离散的脉冲序列函数f *(t)即采样信号。
f * (t) f (kT) (t kT) k 0
对上式进行拉氏变换，则
第2章 Z变换及Z传递函数
对上式进行拉氏变换，则
F * (s) L[ f * (t)] f * (t) eTsdt
k 0
f (kT ) (t kT ) eTsdt
f (t kT) zk F(z)
证明：
f (t kT ) f (nT kT )zn n0 f (0)zk f (T )z(k1) f (2T )z(k2)
zk f (0) f (T )z1 f (2T )z2 zkF(z)
第2章 Z变换及Z传递函数
3．超前定理
y(k) [b0u(k) b1u(k 1) bmu(k m)] [a1y(k 1) a2 y(k 2) an y(k n)]
第2章 Z变换Leabharlann BaiduZ传递函数
上式称为n阶线性定常离散系统的差分方程，其中ai、 bi由系统结构参数决定，它是描述计算机控制系统的数学 模型的一般表达式，对于实际的应用系统，根据物理可 实现条件，应有k≥0。当k＜0时，y(k)=u(k)=0。
f (kT )(kT )zk
k 0
Tz k 0
1 tf (t)
Tz
第2章 Z变换及Z传递函数
2.3 Z反变换
所谓Z反变换，是已知Z变换表达式F(z)，求相应离散 序列f(kT)或f*(t)的过程，表示为
f (kT) 1 F(z)
Z反变换主要有三种方法，即长除法、部分分式法和 留数计算法
第2章 Z变换及Z传递函数
1．长除法
设 F(z)
b0 z m a0 z n
b1 z m1 a1 z n1
bm an
用长除法展开得：F ( z) c0 c1 z 1 ck z k
由Z变换定义得：F (z) f (0) f (T )z 1 f (kT)z k
比较两式得： f (0) c0 , f (T ) c1,, f (kT) ck ,