高二第一学期数学期中考试试卷及答案

蚌埠市新区实验中学高二年级第一学期期中考试
数学试卷
（时间120分钟，满分150分）
第Ⅰ卷：选择题
一、选择题（每题5分，共50分）
1．原命题“设a 、b 、c ∈R ，若ac 2＞bc 2，则a ＞b ”的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题共有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
2．若焦点在y 轴上的椭圆m y x 224+=1的离心率为2
1，则m 等于（ ） A ．1 B ．3 C ．8 D ．
3
16
3．下列说法错误的是（ ）
A ．如果命题“⌝p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题
B ．命题p ：∃x 0∈R ，2
x 220++x ≤0，则⌝p ：R x ∈∀，x 2＋2x ＋2＞0 C ．命题“若a 、b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的否命题是“若a 、b 都不是偶数，
则a ＋b 不是偶数”
D ．特称命题“∃x ∈R ，使－2x 2＋x －4=0”是假命题
4．已知⌝p ：x 2＞3，q ：|x|＜1，则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．函数f （x ）=x
e x
的单调递减区间是（ ）
A ．（0，＋∞）
B ．（1，＋∞）
C ．（0，1）
D ．（e ，＋∞）
6．已知双曲线的离心率e=2，且与椭圆8
242
2y x +=1有相同的焦点，该双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．y=±x 3
1
B ．y=±x 33
C ．y=±x 3
D ．y=±2x 3 7．已知点A 在曲线y=x 2上，且曲线在点A 处的切线的倾斜角是4
3π
，则点A 的坐标为（ ）
A ．（8
π，82π） B ．（－22，21） C ．（21，41） D ．（－21
，41）
8．设非空集合A=｛x|2a ＋1≤x ≤3a －5｝，B=｛x|y=
()()x x --322｝
，则A ⊆A ∩B 的
一个充分不必要条件是（ ）
A ．1≤a ≤9
B ．6＜a ＜9
C ．a ≤9
D ．6≤a ≤9
9．函数f （x ）=x 3－3x ＋2在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是（ ） A ．2，0 B ．2，－16 C ．4，－16 D ．10，－18 10．已知点M 为抛物线x 2=2py （p ＞0）上一点，若点M 到抛物线的焦点F 的距离为2p ，
则直线MF 的斜率为（ ） A ．－
33 B ．±3 C ．－3 D ．±3
3 第Ⅱ卷：非选择题
二、填空题（每题5分，共25分）
11．已知f （x ）=x 2＋2x －m ，如果f （1）＞0是假命题，f （2）＞0是真命题，则实数
m 的取值范围是 ．
12．已知函数f （x ）=si n α－cosx ，则f /（α）= ．
13．已知抛物线y 2=6x ，以（3，－1）为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线的方程
为 ．
14．若函数f （x ）=3
1
x 3＋bx 2＋（2b ＋3）x －1是R 上的单调函数，则实数b 的取值范
围为 ．
15．设双曲线的左准线与两条渐近线交于A 、B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，
则该双曲线的离心率的取值范围为 ．
三、解答题（第16、17、18、19题每题12分，第20题13分，第21题14分，共75分）
16．已知p ：log 2
1（x ＋5）≥－4，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0（m ＞0），若⌝p 是⌝q 的必要
而不充分条件，求实数m 的取值范围。

17．已知命题P ：方程a 2x 2＋a x －2=0在[－1，1]上有解；命题 q ：只有一个实数x 满
足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0，若命题“p 或q ”是假命题，求a 的取值范围。

18．设F 1、F 2分别为椭圆22
2
b
y x +=1（0＜b ＜1）的左、右焦点，过F 1的直线l 与椭圆相
交于A 、B 两点，且|AF 2|、|AB|、|BF 2|成等差数列。

（1）求|AB|的长；
（2）若直线l 的斜率为1，求b 的值。

19．已知函数 f （x ）=x 3＋a x 2＋b x ＋c （x ∈R ）在 x =－3
2
处取得极值，其图象在点
（1，f(1)）处的切线与直线y ＋2=0平行。

（1）求a ，b 的值；
（2）若对x ∈[－1，2]都有f （x ）＜c
1
恒成立，求c 的取值范围。

20．已知抛物线成y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线l过点A（4，0）且与抛物线交于P、Q两点，并设以弦PQ为直径的圆恒过原点。

（1）求焦点F的坐标；
（2）求=
+，试求动点R的轨迹方程。

21．已知函数f（x）=（a＋1）ln x＋ax2＋1
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）设a≤－2，证明：对∀x1，x2∈（0，＋∞），|f（x1）－f（x2）|≥4| x1－x2|
高二数学[文科]试卷及答案
11、3≤m ＜8 12、sin α 13、3x ＋y －8=0 14、[－1，3] 15、（12） 三、解答题（第16～19题每题12分，第20题13分，第21题14分）
16、解：p ：0＜x ＋5≤4
21-⎪⎭
⎫
⎝⎛，即－5＜x ≤11
q ：[x －（1－m ）][x －（1＋m ）] ≤0 即1－m ≤x ≤1＋m （m ＞0） ∵⌝p 是⌝q 的必要不充分条件
∴⌝q ⇒⌝p ∴p ⇒q ∴ 1－m ≤－5
解得m ≥10 1＋m ≥11 17、由a 2x 2＋ax －2=0，得（ax ＋2）（ax －1）=0，显然a ≠0
∴x=－a 2或x=a
1
∵x ∈[－1，1] ∴|－a 2|≤1或|a 1
|≤1 ∴|a|≥1
“只有一个实数满足x 2
＋2ax ＋2a ≤0”即抛物线y=x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点
∴△=4a 2－8a=0 ∴a=0或2
∵“p 或q ”为假命题
∴a 的取值范围为｛a|－1＜a ＜0或0＜a ＜1｝ 18、（1）由椭圆的定义知|AF 2|＋|AB|＋|BF 2|=4
又2|AB|=|AF 2|＋|BF 2|
故AB 的长|AB|=3
4
y=x ＋c
（2）l 的方程为y =x ＋c ，其中c=21b -，由 得（1＋b 2）x 2＋2cx ＋1－2b 2=0
x 2
＋22
b
y =1
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1＋x 2=2
12b c
+-，x 1x 2=22121b b +-
∵直线l 的斜率为1 ∴|AB|=2|x 1－x 2| 即
23
4
=| x 1－x 2| 则98=（x 1＋x 2）2
－4 x 1x 2=(
)(
)
()
()
2
2
422222*********b b b b b b +=+--+-
解得b=
22或b=－2
2
（舍去） 19、（1）f /（x ）=3x 2＋2ax ＋b ，由题意得3（－
32）2
＋2a （－3
2）＋b=0 又3×12＋2a ×1＋b=0
联立得a=－2
1
，b=－2
（2）依题意得x 3－21x 2－2x ＋c ＜c 1 即x 3－21x 2－2x ＜c
1
－c ，对x ∈[－1，2]恒成
立，设y=x 3－21
x 2－2x ，则y /=3x 2－x －2=（x －1）（3x ＋2）=0
得x=－3
2
或x=1
当x ∈（－1，－32）时y /＞0；当x ∈（－32
，1）时y /＜0；当x ∈（1，2）时y /＞0
则f 极大()x =2722，f 极小()
x =－23 又f （－1）=2
1，f （2）=2
所以()
x f m ax =2，故只须
c
1－c ＞2 解得c ＜－2－1或0＜c ＜2－1
20、（1）设直线的方程为x=ky ＋4，代入y 2=2px ，得y 2－2kpy －8p=0 设点p （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则有y 1＋y 2=2kp ， y 1y 2=－8p
而OP ·OQ =0，故0=x 1x 2＋y 1y 2=（ky 1＋4）（ky 2＋4）－8p=k 2y 1y 2＋4k （y 1＋y 2）＋16－8p 即O =－8k 2P ＋8k 2P ＋16－8P ，得P=2 ∴焦点F （1，0）
（2）设R （x ，y ），由FP =+得（x 1－1，y 1）＋（x 2－1，y 2）=（x －1，y ）
所以x 1＋x 2= x ＋1，y 1＋y 2=y 而21y =4x 1，22y =4x 2，可得
y （y 1－y 2）=（y 1＋y 2）（y 1－y 2）=4（x 1－x 2），又FR 的中点坐标为M （
2
,21y
x +） 当x 1≠x 2时，由k PQ =k MA 得42
1242
121-+=
--=x y
x x y y y ，整理得y 2=4x －28 当x 1=x 2时，R 坐标为（7，0）也满足y 2=4x －28 ∴y 2=4x －28即为动点R 的轨迹方程。

21、（1）f （x ）的定义域为（0，＋∞），f /
（x ）=x
a ax ax x a 1
2212++=++ 当a ≥0时，f /（x ）＞0，故f （x ）在（0，＋∞）上单调递增；
当a ≤－1时，f /（x ）＜0，故f （x ）在（0，＋∞）上单调递减； 当－1＜a ＜0时，令f /（x ）=0，解得x=a
a 21
+-
当x ∈（0，a a 21+-
）时，f /（x ）＞0；x ∈（a
a 21
+-，＋∞）时，f /（x ）＜0 故f （x ）在（0，a a 21+-
）上单调递增，在（a
a 21
+-，＋∞）上单调递减 （2）不妨假设x 1≥x 2，由于a ≤－2，故f （x ）在（0，＋∞）上单调递减
所以|f （x 1）－f （x 2）|≥4|x 1－x 2|等价于f （x 2）－f （x 1）≥4x 1－4x 2 即f （x 2）＋4x 1≥f （x 1）＋4x 1
令g （x ）=f （x ）＋4x ，则g /
（x ）=x
a 1
+＋2ax ＋4=x a x ax 1422+++
于是g /
（x ）≤()x
x x x x 2
212144--=-+-≤0
从而g （x ）在（0，＋∞）单调递减，故g （x 1）≤g （x 2）
即f （x 1）＋4x 1≤f （x 2）＋4x 2 故对∀ x 1，x 2∈（0，＋∞），| f （x 1）－f （x 2）|≥4| x 1－x 2|。