有理数的乘法与除法

2．5 有理数的乘法与除法（一）
教学目标：
1、探索有理数乘法法则的形成过程，会进行有理数的乘法运算，能运用乘法法则的符号规则确定结果的符号。

2、通过乘法法则的实验与探索过程，提高学生观察、归纳、猜想、验证的能力，不断增强运算能力。

3、了解数学结论的形成发展，激励学生追求成功、勇于探索的精神。

重点难点：
重点：了解有理数乘法法则的发现以及形成过程，掌握乘法法则的关键，运用乘法法则准确地进行有理数的运算。

难点：掌握有理数乘法法则中的符号规则，并能准确、熟练地应用于有理数乘法运算中去。

教学过程：
一、引入新课
问题1：甲水库的水位每天升高3厘米，乙水库的水位每天下降3厘米，4天后甲、乙水库水位的总变化量各是多少？如果用正号表示水位上升，用负号表示水位下降，那么，你能试着将4天后两水库的水位变量表示出来吗？（不会计算也可以，只要能用某种方式表达。

）
甲水库水位变化量为：3＋3＋3＋3=3×4=12（厘米）
乙水库水位变化量为：（－3）+（－3）+（－3）+（－3）=（－3）×4
（－3）×4是负有理数乘以正有理数，是异号两数相乘，怎么乘呢？先用加法法
则把结果算出来比较一下。

（－3）+（－3）+（－3）+（－3）=－（3+3+3+3）=－（3×4）=－12
再算几个试试：（－3）×3，（－3）×2，（－3）×1
让学生观察、比较、归纳、猜想，得出异号相乘的规律：异号两数相乘，取负号，并把绝对值相乘。

问题2：两个负数相乘，如何乘呢？
观察前面算过的的算式，比较猜想：当一个因数减少1时，乘积结果有什么变化呢？下面的运算你能猜出答案吗？
（－3）×4=－12 （－3）×（－1）=
（－3）×3= （－3）×（－2）=
（－3）×2= （－3）×（－3）=
（－3）×1= （－3）×（－4）=
（－3）×0=
你能模仿异号两数相乘总结出来的运算规律，说出两个负数相乘的运算规律吗？
两个负数相乘，取正号，并把绝对值相乘。

到现在为止，对于任意两个有理数相乘，我们都会运算了，你能总结出来一个运算规律吗？
课本P43 有理数乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数与0相乘都得0。

注意：两个有理数相乘，先确定符号，再求绝对值。

二、例题讲解
例1计算（课本P43例1）
按课本讲解、板书。

例2 计算：（1）)25.0(5)4(-⨯⨯- （2）)2(65)53(-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-
解：（1）
5)25.020()25.0()20()25.0()]54([)25.0(5)4(=⨯+=-⨯-=-⨯⨯-=-⨯⨯-
（2）1221)2(21)2(6553)2(65)53(-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=-⨯=-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+=-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-
问题3：几个有理数相乘，因数都不为零时，积的符号怎样确定？有一个因数为0时，积是多少？
积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积的符号为负；当负因数有偶数个时，积的符号为正。

只要有一个因数为0，积就为0。

三、练习巩固
1、课本P44练一练。

2、计算：
（1）7.8×(-8.1)×0×(-19.6)
（2）(-3)×）（）（415965-⨯-⨯
（3）8 + 5×(-4)
（4）(-3)×(-7) - 9×(-6)
（3）、（4）两小题要注意先乘除，后加减。

四、课堂小结
1、有理数的乘法运算与小学学过的数的乘法运算一样吗？
有理数的乘法运算需考虑符号问题。

2、有理数的运算的符号规律是怎样的？
奇数个负因数积为负，偶数个负因数积为正。

五、布置作业
课本P50习题2.5 1、2、6。

2．5 有理数的乘法与除法（二）
教学目标：
1、使学生进一步熟悉实验、观察、比较、猜想、验证等数学上常用的研究方法。

理解乘法中的各种运算律，并能运用运算律进行有理数乘法中的简便运算。

2、提高学生观察、比较、归纳的能力，灵活运用运算律去解决一些运算问题的能力。

提高准确运算的能力。

3、使学生感受从特殊到一般、由一般到特殊的认知规律。

重点难点：
重点：进一步掌握有理数乘法法则的运用，验证和探索有理数乘法当中运算律的产生过程，运用乘法的运算律进行有理数乘法的简便运算。

难点：有理数乘法运算律的灵活运用。

鼓励学生注意观察、勤于分析。

教学过程：
一、引入新课
在小学我们学过一些乘法的运算律，谁能给大家介绍一下？
这些乘法运算律可表示成什么形式呢？请同学们表示出来。

乘法的交换律：a×b=b×a
乘法的结合律：(a×b) ×c=a×(b×c)
乘法的分配律：a×(b+c)=a×b+a×c
注意：乘法的分配律，是乘法对加法的的分配。

（防止出现a×(b+c)=a×b×a×c 的错误。

）
问题1：小学学习过的有关乘法的运算律，对所有的有理数都还适用吗？
通过计算，比较验证同学们的猜想。

课本P44做一做。

让学生进行观察、比较、思考：
（1）以上各组题的运算结果有什么特点？
（2）各组题的运算形式，与乘法运算律的结构特征对比，你发现了什么？
（3）对于问题1，你得到的猜想是什么？
小学学习过的有关乘法的运算律，对所有的有理数都还适用。

二、例题讲解
当一些运算题目通过运算律改变运算顺序而能使运算简便时，我们可以借用运算律进行简便的运算。

例1计算（课本P45例2）
分析：按运算顺序应先算括号内的再算括号外的，显然括号内三个分数相加，通分较麻烦，而括号外面的因数（—36）与括号内每个分数的分母均有公因数，若相乘可以约去分母，使运算简便。

因此，可利用乘法分配律进行简便运算。

例2计算（课本P45例3）
在小学我们学过，乘积为1的两个数互为倒数。

同样，这个规定在有理数范围中仍然适用。

乘积为1的两个有理数互为倒数。

说明：0没有倒数。

由倒数的定义很容易得出这个结论。

因为0乘以任何数都得0，找不到一个数与0的乘积为1，所以0没有倒数。

三、练习巩固
1、课本P46练一练1、2。

2、计算：
（1）30×(21－31) （2）(0.25－32)×(－36) （3）8×(－54)×161
（4）6.868×(－5)+6.868×(－12)+6.868×(+17)
（5）［(4×8)×25－8］×125
（6）－9924
23×18 3、写出下列各数的倒数：
四、课堂小结
1、有理数的乘法中，三种运算律依然适用。

乘法的交换律：a×b=b×a
乘法的结合律：(a×b) ×c=a×(b×c)
乘法的分配律：a×(b+c)=a×b+a×c
2、什么时候使用运算律？
当一道题按照常规运算顺序去运算较繁，而利用运算律改变运算顺序却能使运算变得简单些，这时可用运算律进行简化运算。

3、乘积为1的两个有理数互为倒数。

五、布置作业
课本P50习题2.5 3、8。

2．5 有理数的乘法与除法（三）
教学目标：
1、掌握有理数的除法法则，并正确应用法则进行有理数的除法运算。

2、理解有理数的倒数的意义，并利用倒数使除法转化为乘法。

3、在不同的题目中合理选用法则进行有理数的除法运算。

4、培养学生观察、归纳、概括及运算能力。

重点难点：
重点：有理数除法法则的运用。

难点：除法法则有两个，在运用时要合理选用法则，当能整除时用法则一，在不能整除时，特别除数是分数时，用法则二，把除法转变为乘法比较方便。

教学过程：
一、引入新课
回顾有理数的乘法法则和乘法运算律。

（两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数与0相乘都得0。

交换律：a×b=b×a；结合律：(a×b) ×c=a×(b×c)；分配律：a×(b+c)=a×b+a×c）。

）
什么样的两个有理数互为倒数？（乘积为1的两个有理数互为倒数。

）
利用有理数倒数的概念，我们进一步学习有理数除法。

二、新课讲授
1、除法法则一
填空：
（1）2×(－5)=( )；
（2）( )×(－5)= －10；
（3）2×( )= －10。

提问：上述（2）、（3）已知什么求什么？用什么方法？如何列式？回答：已知积与一个因数求另一个因数，用除法。

列式为：
(－10)÷(－5)=2，
(－10)÷2=－5。

通过进一步运算可知：
由此，我们可以看出小学学过的除法法则仍适用于有理数除法，即：除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数。

我们知道0没有倒数，所以0不能做除数，但可以做被除数。

0除以任何一个不等于0的数，都得0。

例1 计算：
练习巩固一：
2、除法法则二
观察上面的练习，引导学生总结出有理数除法的商的符号法则：
两数相除，同号得正，异号得负。

掌握符号法则，有的题就不必再将除数化成倒数再去乘了，可以确定符号后直接相除，这就是第二个有理数除法法则：
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

例2计算：
（1）(－385)÷(－11)；
（2）(－3.2)÷0.08；
（3）12.48÷(－0.32)．
解：
（1）(－385)÷(－11)=385÷11=35；
（2）(－3.2)÷0.08=－(3.2÷0.08)=－(320÷8)=－40；
（3）12.48÷(－0.32)=－(12.48÷0.32)=－(1248÷32)=－39．
练习巩固二：
例3计算：
(4)(-7)÷3-20÷3=(-7-20)÷3=(-27)÷3=-9．
四、课堂小结
1、指导学生看书，重点是除法法则。

2、引导学生归纳有理数除法的一般步骤：（1）确定商的符号；（2）把除数化为它的倒数；（3）利用乘法计算结果。

五、布置作业
1、课本P50习题2.5 4、5、7。

2、计算：
2．5 有理数的乘法与除法（四）
教学目标：
1、进一步掌握有理数的除法法则，并正确应用法则进行有理数的除法运算。

2、掌握利用除法运算化简分数的的方法。

2、熟悉分数的写法，尤其是负分数。

重点难点：
重点：有理数除法法则的运用。

难点：利用除法运算化简分数。

教学过程：
一、引入新课
回顾有理数的除法法则一和除法法则二。

有理数除法的一般步骤：（1）确定商的符号；（2）把除数化为它的倒数；（3）利用乘法计算结果。

二、例题讲解
进行有理数除法运算所得的商通常用分数来表示，因而利用除法运算可以化简分数。

例1 化简下列分数：
三、练习巩固
1、化简：
2、填空：
3、判断下列各式是否成立：
4、计算：
四、课堂小结
有理数除法的一般步骤：（1）确定商的符号；（2）把除数化为它的倒数；（3）利
用乘法计算结果。

如何利用除法运算化简分数？
五、布置作业
1、化简下列分数：
2、当a=-3，b=-2，c=5时，求下列各代数式的值：
3、计算：
2．5 有理数的乘法与除法（五）教学目标：
1、进一步熟练掌握有理数的混合运算，并会用运算律简化运算。

2、培养学生的运算能力及综合运用知识解决问题的能力。

重点难点：
重点：有理数的运算顺序和运算律的运用。

难点：灵活运用运算律及符号的确定。

教学过程：
一、引入新课
请学生叙述有理数的运算顺序。

三分钟小测试。

计算下列各题(只要求直接写出答案)： (1)32-(-2)2 (2)-32-(-2)2 (3)32-22
(4) (-0.42) ×(-4
1)2
(5)32÷(-2)2
(6)-22+(-3)2
(7)-22-(-3)2
(8) -［-(-21
)］2 (9)-22÷(-3)2
(10) 32×(-2)2 (11) -22×(-3)2
(12){-［-(-2
1
)］}2
二、例题讲解
例1 当a=-3，b=-5，c=4时，求下列代数式的值： (1)(a+b)2； (2)a 2-b 2+c 2； (3)(-a+b-c)2； (4)a 2+2ab+b 2 . 解：(1)(a+b) 2 =(-3-5) 2
(省略加号，是代数和)
=(-8) 2
=64
(注意符号)
(2)a 2-b 2+c 2 =(-3) 2-(-5) 2+42
(让学生读一读)
=9-25+16
(注意-(-5) 2的符号)
=0
(3)(-a+b-c) 2
=［-(-3)+(-5)-4］2 (注意符号) =(3-5-4) 2
=36
(4)a 2+2ab+b 2
=(-3) 2+2×(-3)×(-5)+(-5) 2 =9+30+25
=64
例2计算-3225
16
÷(-8×4)+2.52+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+1211433221×24
分析：此题是有理数的混合运算，有小括号可以先做小括号内的，观察-32
25
16
化成假分数，可以写成(-32-25
16
)的形式，而⎪⎭⎫ ⎝⎛--+1211433221×24，若用乘法分配律又较
为方便.
解：-3225
16
÷(-8×4)+2.52+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+1211433221×24
=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛
--321251632+6.25+12+16-18-22
=1+
501
+6.25-12 =1.02+6.25-12
=-4.73
例3计算2
2275
.0219)211()21(21)2(43211--⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡--÷+-÷÷ 解：
2
2275.0219)211()21(21)2(43211--⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡--÷+-÷÷
=169219494121213423-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯
=-1+169219)21(21-
⨯-⨯
=-1-169819-
=-1-2-169166-
=-3
1615 例4已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值等于2，试求x 2-(a+b+cd)x+(a+b)1995+(-cd)1995值。

解：由题意，得a+b=0，cd=1，|x|=2，x=2或-2
所以x 2-(a+b+cd)x+(a+b)1995+(-cd)1995 =x 2-x-1
当x=2时，原式=x 2-x-1=4-2-1=1； 当x=-2时，原式=x 2-x-1=4-(-2)-1=5
三、练习巩固
1、当a=-6，b=-4，c=10时，求下列代数式的值：
(1)c b a 2)(+； (2)c b ab a 22++； (3)2)(c a b a --； (4)222c ac a b
a +--； (5)
b a a
b 11--. 2、判断下列各式是否成立(其中a 是有理数，a ≠0)： (1)a 2+1＞0； (2)1-a 2＜0； (3)1+a 1
＞1； (4)1-a 1＜1.
四、课堂小结
在有理数混合运算中，先算括号里的，再算乘除，最后算加减。

乘除运算在一起
时，统一化成乘法往往可以约分而使运算简化。

五、布置作业
1、当a=-5.4，b=6，c=48，d=-1.2时，求下列代数式的值： (1)
3a +0.8； (2)31+a b ； (3)d
b
+(-c)； (4)b c d a +-； (5)d c b -； (6)d c b a +.
2、计算：
(1)
)6(127653212-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-
(2)(-1)87
×(-2)4
-［(-3)2
-(-2)-2×(-2)］×⎪⎭⎫ ⎝⎛-2
2
1
(3)⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-+--⨯⨯-5
4
4422
21)2(231)3(7)2()32(
(4)
.001.03
.06.11.08.0132.01+--
3、按要求列出算式，并求出结果： (1)-
32
的平方的倒数与0.5的倒数的平方的和的相反数
(2)-64的绝对值的相反数与-2的平方的差。