有理数的乘法与除法
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
2.5 有理数的乘法与除法(一)
教学目标:
1、探索有理数乘法法则的形成过程,会进行有理数的乘法运算,能运用乘法法则的符号规则确定结果的符号。
2、通过乘法法则的实验与探索过程,提高学生观察、归纳、猜想、验证的能力,不断增强运算能力。
3、了解数学结论的形成发展,激励学生追求成功、勇于探索的精神。
重点难点:
重点:了解有理数乘法法则的发现以及形成过程,掌握乘法法则的关键,运用乘法法则准确地进行有理数的运算。
难点:掌握有理数乘法法则中的符号规则,并能准确、熟练地应用于有理数乘法运算中去。
教学过程:
一、引入新课
问题1:甲水库的水位每天升高3厘米,乙水库的水位每天下降3厘米,4天后甲、乙水库水位的总变化量各是多少?如果用正号表示水位上升,用负号表示水位下降,那么,你能试着将4天后两水库的水位变量表示出来吗?(不会计算也可以,只要能用某种方式表达。
)
甲水库水位变化量为:3+3+3+3=3×4=12(厘米)
乙水库水位变化量为:(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=(-3)×4
(-3)×4是负有理数乘以正有理数,是异号两数相乘,怎么乘呢?先用加法法
则把结果算出来比较一下。
(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=-(3+3+3+3)=-(3×4)=-12
再算几个试试:(-3)×3,(-3)×2,(-3)×1
让学生观察、比较、归纳、猜想,得出异号相乘的规律:异号两数相乘,取负号,并把绝对值相乘。
问题2:两个负数相乘,如何乘呢?
观察前面算过的的算式,比较猜想:当一个因数减少1时,乘积结果有什么变化呢?下面的运算你能猜出答案吗?
(-3)×4=-12 (-3)×(-1)=
(-3)×3= (-3)×(-2)=
(-3)×2= (-3)×(-3)=
(-3)×1= (-3)×(-4)=
(-3)×0=
你能模仿异号两数相乘总结出来的运算规律,说出两个负数相乘的运算规律吗?
两个负数相乘,取正号,并把绝对值相乘。
到现在为止,对于任意两个有理数相乘,我们都会运算了,你能总结出来一个运算规律吗?
课本P43 有理数乘法法则
两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。
任何数与0相乘都得0。
注意:两个有理数相乘,先确定符号,再求绝对值。
二、例题讲解
例1计算(课本P43例1)
按课本讲解、板书。
例2 计算:(1))25.0(5)4(-⨯⨯- (2))2(65)53(-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-
解:(1)
5)25.020()25.0()20()25.0()]54([)25.0(5)4(=⨯+=-⨯-=-⨯⨯-=-⨯⨯-
(2)1221)2(21)2(6553)2(65)53(-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=-⨯=-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+=-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-
问题3:几个有理数相乘,因数都不为零时,积的符号怎样确定?有一个因数为0时,积是多少?
积的符号由负因数的个数决定,当负因数有奇数个时,积的符号为负;当负因数有偶数个时,积的符号为正。
只要有一个因数为0,积就为0。
三、练习巩固
1、课本P44练一练。
2、计算:
(1)7.8×(-8.1)×0×(-19.6)
(2)(-3)×)()(415965-⨯-⨯
(3)8 + 5×(-4)
(4)(-3)×(-7) - 9×(-6)
(3)、(4)两小题要注意先乘除,后加减。
四、课堂小结
1、有理数的乘法运算与小学学过的数的乘法运算一样吗?
有理数的乘法运算需考虑符号问题。
2、有理数的运算的符号规律是怎样的?
奇数个负因数积为负,偶数个负因数积为正。
五、布置作业
课本P50习题2.5 1、2、6。
2.5 有理数的乘法与除法(二)
教学目标:
1、使学生进一步熟悉实验、观察、比较、猜想、验证等数学上常用的研究方法。
理解乘法中的各种运算律,并能运用运算律进行有理数乘法中的简便运算。
2、提高学生观察、比较、归纳的能力,灵活运用运算律去解决一些运算问题的能力。
提高准确运算的能力。
3、使学生感受从特殊到一般、由一般到特殊的认知规律。
重点难点:
重点:进一步掌握有理数乘法法则的运用,验证和探索有理数乘法当中运算律的产生过程,运用乘法的运算律进行有理数乘法的简便运算。
难点:有理数乘法运算律的灵活运用。
鼓励学生注意观察、勤于分析。
教学过程:
一、引入新课
在小学我们学过一些乘法的运算律,谁能给大家介绍一下?
这些乘法运算律可表示成什么形式呢?请同学们表示出来。
乘法的交换律:a×b=b×a
乘法的结合律:(a×b) ×c=a×(b×c)
乘法的分配律:a×(b+c)=a×b+a×c
注意:乘法的分配律,是乘法对加法的的分配。
(防止出现a×(b+c)=a×b×a×c 的错误。
)
问题1:小学学习过的有关乘法的运算律,对所有的有理数都还适用吗?
通过计算,比较验证同学们的猜想。
课本P44做一做。
让学生进行观察、比较、思考:
(1)以上各组题的运算结果有什么特点?
(2)各组题的运算形式,与乘法运算律的结构特征对比,你发现了什么?
(3)对于问题1,你得到的猜想是什么?
小学学习过的有关乘法的运算律,对所有的有理数都还适用。
二、例题讲解
当一些运算题目通过运算律改变运算顺序而能使运算简便时,我们可以借用运算律进行简便的运算。
例1计算(课本P45例2)
分析:按运算顺序应先算括号内的再算括号外的,显然括号内三个分数相加,通分较麻烦,而括号外面的因数(—36)与括号内每个分数的分母均有公因数,若相乘可以约去分母,使运算简便。
因此,可利用乘法分配律进行简便运算。
例2计算(课本P45例3)
在小学我们学过,乘积为1的两个数互为倒数。
同样,这个规定在有理数范围中仍然适用。
乘积为1的两个有理数互为倒数。
说明:0没有倒数。
由倒数的定义很容易得出这个结论。
因为0乘以任何数都得0,找不到一个数与0的乘积为1,所以0没有倒数。
三、练习巩固
1、课本P46练一练1、2。
2、计算:
(1)30×(21-31) (2)(0.25-32)×(-36) (3)8×(-54)×161
(4)6.868×(-5)+6.868×(-12)+6.868×(+17)
(5)[(4×8)×25-8]×125
(6)-9924
23×18 3、写出下列各数的倒数:
四、课堂小结
1、有理数的乘法中,三种运算律依然适用。
乘法的交换律:a×b=b×a
乘法的结合律:(a×b) ×c=a×(b×c)
乘法的分配律:a×(b+c)=a×b+a×c
2、什么时候使用运算律?
当一道题按照常规运算顺序去运算较繁,而利用运算律改变运算顺序却能使运算变得简单些,这时可用运算律进行简化运算。
3、乘积为1的两个有理数互为倒数。
五、布置作业
课本P50习题2.5 3、8。
2.5 有理数的乘法与除法(三)
教学目标:
1、掌握有理数的除法法则,并正确应用法则进行有理数的除法运算。
2、理解有理数的倒数的意义,并利用倒数使除法转化为乘法。
3、在不同的题目中合理选用法则进行有理数的除法运算。
4、培养学生观察、归纳、概括及运算能力。
重点难点:
重点:有理数除法法则的运用。
难点:除法法则有两个,在运用时要合理选用法则,当能整除时用法则一,在不能整除时,特别除数是分数时,用法则二,把除法转变为乘法比较方便。
教学过程:
一、引入新课
回顾有理数的乘法法则和乘法运算律。
(两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。
任何数与0相乘都得0。
交换律:a×b=b×a;结合律:(a×b) ×c=a×(b×c);分配律:a×(b+c)=a×b+a×c)。
)
什么样的两个有理数互为倒数?(乘积为1的两个有理数互为倒数。
)
利用有理数倒数的概念,我们进一步学习有理数除法。
二、新课讲授
1、除法法则一
填空:
(1)2×(-5)=( );
(2)( )×(-5)= -10;
(3)2×( )= -10。
提问:上述(2)、(3)已知什么求什么?用什么方法?如何列式?回答:已知积与一个因数求另一个因数,用除法。
列式为:
(-10)÷(-5)=2,
(-10)÷2=-5。
通过进一步运算可知:
由此,我们可以看出小学学过的除法法则仍适用于有理数除法,即:除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数。
我们知道0没有倒数,所以0不能做除数,但可以做被除数。
0除以任何一个不等于0的数,都得0。
例1 计算:
练习巩固一:
2、除法法则二
观察上面的练习,引导学生总结出有理数除法的商的符号法则:
两数相除,同号得正,异号得负。
掌握符号法则,有的题就不必再将除数化成倒数再去乘了,可以确定符号后直接相除,这就是第二个有理数除法法则:
两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
例2计算:
(1)(-385)÷(-11);
(2)(-3.2)÷0.08;
(3)12.48÷(-0.32).
解:
(1)(-385)÷(-11)=385÷11=35;
(2)(-3.2)÷0.08=-(3.2÷0.08)=-(320÷8)=-40;
(3)12.48÷(-0.32)=-(12.48÷0.32)=-(1248÷32)=-39.
练习巩固二:
例3计算:
(4)(-7)÷3-20÷3=(-7-20)÷3=(-27)÷3=-9.
四、课堂小结
1、指导学生看书,重点是除法法则。
2、引导学生归纳有理数除法的一般步骤:(1)确定商的符号;(2)把除数化为它的倒数;(3)利用乘法计算结果。
五、布置作业
1、课本P50习题2.5 4、5、7。
2、计算:
2.5 有理数的乘法与除法(四)
教学目标:
1、进一步掌握有理数的除法法则,并正确应用法则进行有理数的除法运算。
2、掌握利用除法运算化简分数的的方法。
2、熟悉分数的写法,尤其是负分数。
重点难点:
重点:有理数除法法则的运用。
难点:利用除法运算化简分数。
教学过程:
一、引入新课
回顾有理数的除法法则一和除法法则二。
有理数除法的一般步骤:(1)确定商的符号;(2)把除数化为它的倒数;(3)利用乘法计算结果。
二、例题讲解
进行有理数除法运算所得的商通常用分数来表示,因而利用除法运算可以化简分数。
例1 化简下列分数:
三、练习巩固
1、化简:
2、填空:
3、判断下列各式是否成立:
4、计算:
四、课堂小结
有理数除法的一般步骤:(1)确定商的符号;(2)把除数化为它的倒数;(3)利
用乘法计算结果。
如何利用除法运算化简分数?
五、布置作业
1、化简下列分数:
2、当a=-3,b=-2,c=5时,求下列各代数式的值:
3、计算:
2.5 有理数的乘法与除法(五)教学目标:
1、进一步熟练掌握有理数的混合运算,并会用运算律简化运算。
2、培养学生的运算能力及综合运用知识解决问题的能力。
重点难点:
重点:有理数的运算顺序和运算律的运用。
难点:灵活运用运算律及符号的确定。
教学过程:
一、引入新课
请学生叙述有理数的运算顺序。
三分钟小测试。
计算下列各题(只要求直接写出答案): (1)32-(-2)2 (2)-32-(-2)2 (3)32-22
(4) (-0.42) ×(-4
1)2
(5)32÷(-2)2
(6)-22+(-3)2
(7)-22-(-3)2
(8) -[-(-21
)]2 (9)-22÷(-3)2
(10) 32×(-2)2 (11) -22×(-3)2
(12){-[-(-2
1
)]}2
二、例题讲解
例1 当a=-3,b=-5,c=4时,求下列代数式的值: (1)(a+b)2; (2)a 2-b 2+c 2; (3)(-a+b-c)2; (4)a 2+2ab+b 2 . 解:(1)(a+b) 2 =(-3-5) 2
(省略加号,是代数和)
=(-8) 2
=64
(注意符号)
(2)a 2-b 2+c 2 =(-3) 2-(-5) 2+42
(让学生读一读)
=9-25+16
(注意-(-5) 2的符号)
=0
(3)(-a+b-c) 2
=[-(-3)+(-5)-4]2 (注意符号) =(3-5-4) 2
=36
(4)a 2+2ab+b 2
=(-3) 2+2×(-3)×(-5)+(-5) 2 =9+30+25
=64
例2计算-3225
16
÷(-8×4)+2.52+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+1211433221×24
分析:此题是有理数的混合运算,有小括号可以先做小括号内的,观察-32
25
16
化成假分数,可以写成(-32-25
16
)的形式,而⎪⎭⎫ ⎝⎛--+1211433221×24,若用乘法分配律又较
为方便.
解:-3225
16
÷(-8×4)+2.52+⎪⎭⎫ ⎝⎛--+1211433221×24
=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛
--321251632+6.25+12+16-18-22
=1+
501
+6.25-12 =1.02+6.25-12
=-4.73
例3计算2
2275
.0219)211()21(21)2(43211--⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡--÷+-÷÷ 解:
2
2275.0219)211()21(21)2(43211--⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡--÷+-÷÷
=169219494121213423-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯
=-1+169219)21(21-
⨯-⨯
=-1-169819-
=-1-2-169166-
=-3
1615 例4已知a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数,x 的绝对值等于2,试求x 2-(a+b+cd)x+(a+b)1995+(-cd)1995值。
解:由题意,得a+b=0,cd=1,|x|=2,x=2或-2
所以x 2-(a+b+cd)x+(a+b)1995+(-cd)1995 =x 2-x-1
当x=2时,原式=x 2-x-1=4-2-1=1; 当x=-2时,原式=x 2-x-1=4-(-2)-1=5
三、练习巩固
1、当a=-6,b=-4,c=10时,求下列代数式的值:
(1)c b a 2)(+; (2)c b ab a 22++; (3)2)(c a b a --; (4)222c ac a b
a +--; (5)
b a a
b 11--. 2、判断下列各式是否成立(其中a 是有理数,a ≠0): (1)a 2+1>0; (2)1-a 2<0; (3)1+a 1
>1; (4)1-a 1<1.
四、课堂小结
在有理数混合运算中,先算括号里的,再算乘除,最后算加减。
乘除运算在一起
时,统一化成乘法往往可以约分而使运算简化。
五、布置作业
1、当a=-5.4,b=6,c=48,d=-1.2时,求下列代数式的值: (1)
3a +0.8; (2)31+a b ; (3)d
b
+(-c); (4)b c d a +-; (5)d c b -; (6)d c b a +.
2、计算:
(1)
)6(127653212-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-
(2)(-1)87
×(-2)4
-[(-3)2
-(-2)-2×(-2)]×⎪⎭⎫ ⎝⎛-2
2
1
(3)⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-+--⨯⨯-5
4
4422
21)2(231)3(7)2()32(
(4)
.001.03
.06.11.08.0132.01+--
3、按要求列出算式,并求出结果: (1)-
32
的平方的倒数与0.5的倒数的平方的和的相反数
(2)-64的绝对值的相反数与-2的平方的差。