基于Matlab的圆柱齿轮减速器的可靠性优化设计

基于Matlab 的二级圆柱齿轮减速器的可靠性优化设计一．概述：机械优化设计和机械可靠性设计，都是在常规机械设计的基础上发展和延伸的新的设计方法。

在实际应用这两种方法已产生了较好的技术经济效果。

但是传统机械优化方法忽律了各个设计参数的离散性，没有考虑零件在加工装配中的尺寸误差，材料力学性质和载荷的离散性等影响，得到的设计参数未必可行。

机械可靠性设计对于某些机械设计问题，由于未采用优化方法，也同样无法得到满意的设计结果。

为了弥补二者的不足，将优化技术和可靠性设计理论相结合，就形成了可靠性优化设计。

机械可靠性优化设计是建立在近代数学概率与最优化方法的基础上，其应用涉及机构设计，强度与寿命设计，选材和失效分析等多方面的设计变量和参数，并规定了明确的技术经济性和可靠性指标，所建立的概率优化模型的目标函数具有高维，非凸和非线性的特点，并且需要满足多种随机约束条件，按照这种方法设计的机械产品，既能保证产品在工作中的可靠性，又可以使产品的功能，安全性，重量，体积以及成本等参数获得优化解，显示出比较明显的技术经济效益。

因此，可靠性优化设计是一种更具工程实用价值，先进的综合设计方法。

当然，从机械设计学的角度看，可靠性设计，优化设计和可靠性优化设计都是一种现代设计方法，与传统常规设计方法有天然内在联系，每种方法都不是万能的，各有特点，也各有局限性。

由于机械设计问题的复杂性，自然要具体问题具体分析，根据不同的设计对象选用相应的设计方法或者将有关的设计方法结合起来，以寻求高质量，高效率的设计方法。

二．机械可靠性优化设计内容1．系统可靠性的最优分配：以系统的目标可靠度及其它条件为约束，最优分配系统的可靠度给子系统和零部件，使系统的某些指标，如成本，总费用等达到最优方案。

2．以可靠度最大为目标的可靠性优化设计：要求在保证产品某些功能指标和经济指标的条件下，求得产品具有最大可靠度的设计方案。

3．以可靠度为约束条件的可靠度优化设计：要求在保证可靠性指标的条件下，采用最优化方法求得成本最低或结构尺寸，质量最小的设计方案。

在2，3中将机械零件的应力和强度也作为设计变量，则可称为机械强度可靠性优化设计。

三．系统可靠性的最优分配可靠性分配必须将工程设计中规定的系统可靠性指标合理地分配给组成系统的各个单元，确定系统各组成单元的可靠性定量要求，以期保证整个系统的可靠性指标。

系统可靠性的分配模型很多，但都必须满足)(),...,,(21t f R R R R sn≥其中R i是第i 个子系统或零部件分配的可靠性指标(i=1,2,…,n);)(t R s是系统总的可靠性指标。

在进行可靠度最优分配中，最常采用的是动态规划法。

它是一种将多变量的决策问题分解为只含有单变量的一系列子问题，通过求解这一系列子问题从而求到此多变量的最优解的方法；利用递推关系做出最优决策，构成一种最优策略，从而使整个过程取得最优。

动态规划法的目标函数一般形式为{()[]()[]}S S S d S x f x fnn n n1,min )(-+=其中：n 为阶段变量，S 为状态变量，)(S x n为决策变量。

第一个决策)(S x n可以直接影响第一步的结果和影响其后n-1步的结果，最优决策是根据两者统一考虑的结果决定的，具体实现方法则是逐步递推的计算方法，可以顺推或者逆推。

三．机械可靠性优化设计的数学模型目前，可靠性优化设计可以分成两类：一类是以可靠性指标为优化目标的优化设计：另一类是以可靠性为约束条件的优化设计问题。

相应的也有两种数学模型。

1．设计变量机械零部件可靠性优化设计，通常取强度δ分布参数μδ，σδ和应力s 分布参数μs,σs为设计变量。

这些参数都与投资费用有关.2．目标函数和约束条件已知应力S ～()σμ2,ssN，强度δ～()σμδδ2,N ，且互相独立. 其中CS为总成本；()μδC 1为平均强度的成本函数，是递增函数；()σδC 2是强度标准差的成本函数；是递减函数；()()σμssC C 43和分别表示应力均值和标准差的成本函数，均为递减函数。

(1) 以可靠度指标为约束条件的机械强度可靠性优化设计要求满足的可靠性指标为R R *≥，则目标函数是()()()()σμσμδδssSC C C C C 4321min +++=当应力和强度均为正态分布时，约束条件是βσσμμδδ*22≥+-ss (β*是设计目标可靠度[R]对应的可靠度系数)当设计对象及设计要求不同时，还应考虑其它优化目标及约束条件。

(2)以可靠度最大为目标的机械强度可靠性优化设计。

规定总费用CS≤r ，r 是预定的投资费用；同时设可靠度R 最大时的最优解是σμσδδ*****,,,,s s u R，则目标函数是βσσμμδδ-=+--=22min ss z约束条件是()()()()r ssSC C C C C ≤+++=σμσμδδ4321当设计对象及设计要求不同时，还应考虑其它优化目标及约束条件。

3．优化方法优化方法的选择取决于数学模型的特点，例如优化问题规模的大小，目标函数和约束函数的性质及计算精度等，同时还要考虑计算效率。

正确地选择优化方法，还没有定论，对于机械设计问题，大多采用复合形法或惩罚函数法。

Matlab 软件具有强大的数值计算能力和卓越的数据可视化功能，其中的优化工具箱包含有一系列优化算法和模块，用于求解机械设计问题。

设计人员可根据设计需要编写目标函数和约束函数程序，直接调用优化工具箱中的优化程序，对设计对象进行优化，节省设计人员大量时间，而优化结果和常用的优化方法的计算结果非常接近。

四．设计实例对某种二级圆柱齿轮减速器，在保证减速器的可靠度不小于α的条件下，以其体积最小为目标进行可靠性优化设计。

已知总传动比i=20;高速轴输入功率P 1=4.5Kw;高速轴转速n 1=960r/min;低速轴n 2=48r/min;齿宽系数Φn=0.4;大,小齿轮和轴均为45钢，调质HB229-255,抗拉强度极限δb=650MPa 。

总工作时间不小于10年。

要求系统总可靠度大于等于0.9。

齿轮精度为8。

1.可靠度分配：设计齿轮减速器，对其中的关键零件---齿轮和轴应该进行可靠性优化设计，要求有最优的高可靠度，取R ≥0.95，64.1)(1=Φ-R 。

而对于轴承则只需进行可靠性设计，对其它零件一般只需要进行常规设计，限于篇幅从略。

2.数学模型(1) 设计变量。

在二级圆柱齿轮减速器的齿轮传动中，通常取高速级和低速级的法面模数m n 1，mn 3，齿数z 1，z 2，z 3，高速级传动比i 1，分度圆螺旋角β1，β3，齿宽b 1，b 3，4个齿轮的变位系数；高中低速轴直径d 1，d2，d3等。

为简化问题，先假定4个齿轮均为标准齿轮，并假设设计变量和参数均服从正态分布。

设齿宽b 1=b 2,b 3=b 4，则设计变量为X=][321313113131Tn n d d d b b i z z m m ，，，，，，，，，，，ββ =][121110987654321,,,,,,,,,,,Tx x x x x x x x x x x x(2) 目标函数。

根据设计要求以减速器的总体积最小作为目标,将所有齿轮和轴的体积总和作为目标函数。

其中两齿轮之间的距离∆1一般取10～15mm ；齿轮内壁之间的距离∆2一般取10～15mm ；轴承中心至箱体内壁之间的距离∆3一般取∆3=0.25d2。

F(x)=V=b i i z m b i z m n n 32123223231122121211)(4)(4)1(cos cos ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++ββππ)22()22()22(31122331222331221∆∆∆∆∆∆∆∆∆+++++++++++b d d b d=)5.030()4001()(4)(4)1(119210921722422862212321cos cos x x x x ix x x x x i x x ++++++ππ)5.030()5.030(11821211211x x x x x +++++(3)约束条件。

1)斜齿轮的重合度εr一般大于1.2，根据文献可知()2.1sin cos )(2.388.1(12114≤++-=+==--m z z g nr b x πββεεεβα2)斜齿轮螺旋角的取值范围是:158︒<<β，即()()0,015832≤-=≤-=︒︒ββx x g g ，3)斜齿轮不发生根切的最小当量齿数17>zv,即()2,13,2,1017cos 34==≤-=k j z x g β4)斜齿轮齿宽系数满足：2.16.0≤≤φd，即()()()()02.12,026.0216215≤-+=≤+-=zz g z z g m bx m b x5)动力传动齿轮模数满足：5.1≥m ,即()05.17≤-=m x g6)为确保齿轮传动润滑条件，满足()i i 214.1~1.1=关系(i2为低速级传动比)()()0*4.10*1.1219218≤-=≤-=i x i x i g i g7)结构干涉限制，按高速级大齿轮与低速级轴不干涉相碰条件，得到()()0cos 22cos 21323111110≤+-++=ββi i x i z m d i z m mg n n n8)满足齿面接触强度条件[]R R HH≥，即()[]011≤-=u u g RH RH x9)弯曲疲劳强度可靠度约束，同上式，()[]012≤-=u u g RF RF x(4)可靠度系数的计算已知齿轮和轴均为45钢，调质HB200-280。

根据高，低速级齿轮和轴的材料和热处理方式，查机械设计手册可知MPa MPa FL im H 214,578lim==σσ[]MPa MPa MPa MPa MPa s H60,155,275,355,640111=====---στσσσ1)对于45钢调质的齿轮的接触疲劳极限的对数标准差09.0ln =SH Limσ，弯曲疲劳极限的对数标准差20.0limln =SF σ对数接触疲劳极限均值≈+=σσσlim lim ln limln ln 326.2H H H S u6.5689MPa接触疲劳极限均值)5.0exp(2lim ln lim ln lim S u H H H σσσ+==715MPa接触疲劳极限标准差1)exp(2lim ln lim lim -=S S H H H σσσ=64.5a变异系数CH limσ= σσlimlimH H S = 0.0902同理可得对数弯曲疲劳极限均值, 弯曲疲劳极限均值, 弯曲疲劳极限标准差和变异系数:μσlimln F =5.8132MPa,σlimF =341MPa,S F limσ=69MPa,C F limσ=0.2020。