圆锥曲线的弦长公式及其推导过程

圆锥曲线的弦长公式及其推导过程
关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线
y kx b 代入曲线方程，化
为关于x 的一元二次方程，设出交点坐标 A x i , y i ,B X 2, y ，利用韦达定理及弦长公式 ^/(1 k 2)[(x 1 x 2)2 4x 1x 2]求出弦长，这种整体代换、设而不求的思想方法对于求直线与 曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较 而言有点繁琐，若利用圆锥曲线的定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为 简捷.
一、椭圆的焦点弦长
2 2
若椭圆方程为
X
2
y
2 1(a b 0)，半焦距为
c>0,焦点F i ( c,0), F 2(C ,0)，设过F i
a b
的直线I 的倾斜角为,l 交椭圆于两点A x i , y i ,B X 2，y 2 ,求弦长AB .
解：连结F 2A F 2B ，设|F i A| x,|F i B| y ，由椭圆定义得 旧円2a x’RB 2a y ，
半轴，c 为半焦距)
由余弦定理得x 2
(2C )2 2X 2C cos
(2a x)2，整理可得x
b 2 a
c cos ，同理可求
b 2 b 2 a
c cos
，则 AB x y
a c cos
b 2 a
c cos
2ab 2
~2
2
2~
；
a c cos 同理可求得焦点在y 轴上的过焦点弦长为AB
2ab 2
2 2.2
a c sin
(a 为长半轴，b 为短
结论：椭圆过焦点弦长公式:
AB
2ab 2 2
2
2
a c cos
2ab 2 2
2.2
a c sin
(焦点在x 轴上), (焦点在y 轴上).
* V
二、双曲线的焦点弦长
2 2
设双曲线冷二1 a 0,b 0,其中两焦点坐标为F, c,0）, F2（C,0），过F i的直线I的
a b
倾斜角为，交双曲线于两点Ax i，y i ,B X2，y2，求弦长|AB|.
b
解： (1)当arctan —a
arctan —时，（如图2）
a
X2(2C)22X 2C cos (X 2a)2, y2(2C)2 2y 2c cos( ) (y 2a)2
2ab2
2 2 2 a c cos
直线I与双曲线的两个交点A、B在同一支上，连F Q A^B，设|FiA X,|F I B
由双曲线定义可得F2A X 2a, F2B y 2a，由余弦定理可得
整理可得x
a c cos
y ----------------- ，则可求得弦长
a c cos
时，如图3,
b arcta
n —
a
arcta n
b
或
a
直线I与双曲线交点A X1,y1 ,B X2,y2在两支上，连F2AF2B,设F“A X, F“B y,
a c cos c cos
2
则F 2A
2a, F 2B y 2a ，由余弦定理可得
x 2 (2c)2 2x 2c cos (x 2a)2, y 2 (2c)2 2y 2c cos (y 2a)2, 整理可得, b 2 b 2 ccos a,y
c cos AB
b 2 b 2 y x
ccos a c cos 2ab 2 2 2 . cos a 因此焦点在x 轴的焦点弦长为 2ab 2
~2 2 2 a c cos 「
2ab 2
2
2
c cos
a 2(0
(arcta n —
a arcta n
—
或
a arcta n
b ), a b arcta n — a
).
同理可得焦点在 y 轴上的焦点弦长公式 2ab 2 AB a
2 . 2
(0
c sin 2ab 2
2 . 2 2 c sin a arcta n b
或 a (arcta n — a b arcta n — a arcta n^).
a
),
其中a 为实半轴，b 为虚半轴，c 为半焦距, 为AB 的倾斜角.
三、抛物线的焦点弦长
若抛物线y 2 2px(p
0)与过焦点
F 与0)的直线l 相交于两点AX/S 2」2，若
l 的倾斜角为，求弦长|AB|. 解：过A 、B 两点分别向 x 轴作垂线AA 、BB , A 、B 为垂足，设I FA X ,|FB
则点A 的横坐标为
p
x cos ，点B 横坐标为f ycos ，由抛物线定
x cos
y cos p
2 y,
P 1 cos
p 1 cos
p 1 cos
2p
1 cos 1 cos 2
2p
.2 sin
同理y22px(p 0)的焦点弦长为AB f
sin
x22py(p 0)的焦点弦长为AB —挙，，所以抛物线的焦点弦长为
cos
2p (焦点在X轴上),
|AB| si2
焦点在y轴上).
cos
由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明确，应予以掌握
圆锥曲线的弦长公式
、椭圆：
设直线与椭圆交于P i(x i,y i),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，贝U
|P1P2|=|x1-x2| . (1 K2)或|P1P2|=|y1-y2| • (1 1/K2) {K=(y2-y1)/(x2-x1)} =(1 k2)[(X i X2)24x1X2]
、双曲线：
设直线与双曲线交于P1(X1,y1),P2(X2,y2),且P1P2斜率为K，贝U
|P1P2|=|x1-x2| . (1 K2)或|P1P2|=|y1-y2| •. (1 1/K2) {K=(y2-y1)/(x2-x1)} =(1 k2)[(x1 X2)24x1X2]
三、抛物线：
(1)焦点弦：已知抛物线y2=2px,A(x1,y1),B(x2,y2),AB为抛物线的焦点弦，则
|AB|=x1+x2+p 或|AB|=2p/(sin2 ) { 为弦AB 的倾斜角}
或A B| 2P -k2(k为弦AB所在直线的斜率)
1 k
⑵设直线与抛物线交于P1(X1,y1),P2(x2,y2),且P1P2斜率为K，则
|P1P2|=|X1-X2| (1 K2)或|P1 P2|=|y1-y2p. (1 1/K 2) {K=(y2-y1)/(x2-x1)}
1 k2)[(x1 X2)24x1X2]。