上海闸北第八中学数学三角形解答题同步单元检测(Word版 含答案)

上海闸北第八中学数学三角形解答题同步单元检测（Word 版 含答案）

一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）

1．（问题探究）

将三角形ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在点A '处.

（1）如图，当点A 落在四边形BCDE 的边CD 上时，直接写出A ∠与1∠之间的数量关系；

（2）如图，当点A 落在四边形BCDE 的内部时，求证：122A ∠+∠=∠；

（3）如图，当点A 落在四边形BCDE 的外部时，探索1∠，2∠，A ∠之间的数量关系，并加以证明；

（拓展延伸）

（4）如图，若把四边形ABCD 纸片沿EF 折叠，使点A 、D 落在四边形BCFE 的内部点A '、D 的位置，请你探索此时1∠，2∠，A ∠，D ∠之间的数量关系，写出你发现的结论，并说明理由.

【答案】【问题探究】（1）∠1=2∠A ；（2）证明见详解；（3）∠1=2∠A+∠2；【拓展延伸】（4）()212360A D ∠+∠=∠+∠+︒.

【解析】

【分析】

（1）运用折叠原理及三角形的外角性质即可解决问题，

（2）运用折叠原理及四边形的内角和定理即可解决问题，

（3）运用三角形的外角性质即可解决问题，

（4）先根据翻折的性质求出∠AEF、∠EFD，再根据四边形的内角和定理列式整理即可得解．

【详解】

解：（1）如图，∠1=2∠A ．

理由如下：由折叠知识可得：∠EA′D=∠A ；

∵∠1=∠A+∠EA′D ，∴∠1=2∠A ．

（2）∵∠1+∠A′EA+∠2+∠A′DA=360°，

由四边形的内角和定理可知：∠A+∠A′+∠A′EA+∠A′DA=360°，

∴∠A′+∠A=∠1+∠2，

由折叠知识可得∠A=∠A′，

∴2∠A=∠1+∠2．

（3）如图，∠1=2∠A+∠2

理由如下：∵∠1=∠EFA+∠A ，∠EFA=∠A′+∠2，

∴∠1=∠A+∠A′+∠2=2∠A+∠2，

（4）如图，

根据翻折的性质，()3181201∠=

-∠，()41812

02∠=-∠， ∵34360A D ∠+∠+∠+∠=︒， ∴()()180118023601122

A D ∠+∠+-∠+-∠=︒， 整理得，()212360A D ∠+∠=∠+∠+︒．

【点睛】

本题考查了折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理及四边形内角和的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．

2．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品--圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，

（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的关系，并说明理由；

（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：

①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点

B、C，∠A=40°，则∠ABX+∠ACX等于多少度；

②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=40°，∠DBE=130°，求∠DCE的度数；

③如图4，∠ABD，∠ACD的10等分线相交于点G1、G2…、G9，若∠BDC=133°，

∠BG1C=70°，求∠A的度数．

【答案】（1）详见解析；（2）①50°；②85°；③63°．

【解析】

【分析】

（1）连接AD并延长至点F，根据外角的性质即可得到∠BDF=∠BAD+∠B，

∠CDF=∠C+∠CAD，即可得出∠BDC=∠A+∠B+∠C；

（2）①根据（1）得出∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，再根据∠A=40°，∠BXC=90°，即可求出∠ABX+∠ACX的度数；

②先根据（1）得出∠ADB+∠AEB=90°，再利用DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，即可求出∠DCE的度数；

③由②得∠BG1C=

1

10

（∠ABD+∠ACD）+∠A，设∠A为x°，即可列得

1

10

（133-x）+x=70，

求出x的值即可.

【详解】

（1）如图（1），连接AD并延长至点F，

根据外角的性质，可得

∠BDF=∠BAD+∠B，∠CDF=∠C+∠CAD，

又∵∠BDC=∠BDF+∠CDF ，∠BAC=∠BAD+∠CAD ，

∴∠BDC=∠A+∠B+∠C ；

（2）①由（1），可得

∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC ，

∵∠A=40°，∠BXC=90°，

∴∠ABX+∠ACX=90°-40°=50°；

②由（1），可得

∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB ，

∴∠ADB+∠AEB=∠DBE-∠DAE=130°-40°=90°， ∴

12

（∠ADB+∠AEB ）=90°÷2=45°， ∵DC 平分∠ADB ，EC 平分∠AEB ， ∴12ADC ADB ∠=∠，12

AEC AEB ∠=∠， ∴∠DCE=∠ADC+∠AEC+∠DAE, =

12

（∠ADB+∠AEB ）+∠DAE, =45°+40°,

=85°； ③由②得∠BG 1C=

110（∠ABD+∠ACD ）+∠A ， ∵∠BG 1C=70°，

∴设∠A 为x°，

∵∠ABD+∠ACD=133°-x° ∴110

（133-x ）+x=70， ∴13.3-

110x+x=70， 解得x=63，

即∠A 的度数为63°.

【点睛】

此题考查三角形外角的性质定理，三角形的外角等于与它不相邻的内角的和，，根据此定理得到角度的规律，由此解决问题，此题中得到平分角的变化规律是解题的难点.

3．已知：线段AB ，以AB 为公共边，在AB 两侧分别作ABC ∆和ABD ∆，并使C D ∠=∠．点E 在射线CA 上．