数学北师大版九年级下册30度-45度-60度角的三角函数值教学设计

30°，45°，60°角的三角函数值的教学设计
一、教学目标
（一）教学知识点
1．经历探索 30°、 45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理，进一步体会三角函数的意义．
2．能够进行含有 30°、 45°、 60°角的三角函数值的计算．
3．能够根据 30°、 45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的度数．
（二）思维训练要求
1．经历探索 30°、45°、 60°角的三角函数值的过程，培养学生观察、分析、发现的能力．
2．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力．
（三）情感与价值观要求
1．积极参与数学活动，对数学产生好奇心，培养学生独立思考问题的习
惯． 2．在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
二、教学重点、难点
重点：
1．探索 30°、 45°、 60°角的三角函数值．
2．能够进行含 30°、 45°、 60°角的三角函数值的计算．
3．比较锐角三角函数值的大小．
难点：
进一步体会三角函数的意义．
三、教学方法
自主探索法
四、教学准备
一副三角尺
多媒体演示
3 2
五、教学过程
（一） 创设问题情境，弓I 入新课
［问题］为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含 30°和60° 两个锐角的三角尺；②皮尺•请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.
（用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法 ）
［师］我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的 正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30° =CD =CD ，贝q CD = atan30°. AD a
你能求出30°角的三个三角函数值吗？ （二） 讲授新课
1. 探索30°、45°、60°角的三角函数值.
［师］观察一副三角尺，其中有几个锐角？它们分别等于多少度？ ［生］一副三角尺中有四个锐角，它们分别是 30°、60°、45°、45°. ［师］sin30°等于多少呢？你是怎样得到的？与同伴交流.
［生］sin30°= 1 .sin30°表示在直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值， 与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边为a （如图所示），根据“直 角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于 2a.根据勾
股定理，可知30°角的邻边为 3a ，所以sin30°= 2二丄.
2a 2
［师］cos30°等于多少？ tan30°呢?
睑0°= 3a W .
［生］cos30° ■ 3a
2a
［师］我们求出了 30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角一一 45°、60° 它们的三角函数值分别是多少？你是如何得到的？
［生］求60°的三角函数值可以利用求30°角三角函数值的三角形.因为30 角的对边和邻边分别是60。

角的邻边和对边•禾U 用上图，很容易求得
罷a
.3 sin 60
2a 2 cos60°
a 1
2a
2
tan 60°
=.3a a
=.3 .
也可以利用上节课我们得出的结论： 一锐角的正弦等于它余角的余弦，一锐 角的余弦等于它余角的正弦•可得
J3
sin60°= cos(90°— 60° ) = cos30°=
,
1
cos60°= sin(9060° ) = sin30°=?.
［师生共析］我们一同来求45°角的三角函数值•含 45°角的直角三角形是 等腰直角三角形.(如图)设其中一条直角边为 a,则另一条直角边也为 a,斜边 为2 a.由此可求得
tan 45°= — = 1.
sin 45°
a 二 1
2a 2 cos45°
a = 1=, 2a 2
2
［师］下面请同学们完成下表（用多媒体演示）
30°、
这个表格中的30°、45°、60°角的三角函数值需熟记，另一方面，要能够根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小.
为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点. 先看第一列30°、45° 60°角的正弦值，你能发现什么规律呢？
［生］30°、45°、60°角的正弦值分母都为2,分子从小到大分别为1，. 2，
3随着角度的增大，正弦值在逐渐增大.
［师］再来看第二列函数值，有何特点呢？
［生］第二列是30°、45°、60°角的余弦值，它们的分母也都是 2,而分子
从大到小分别为 3，2，1，余弦值随角度的增大而减小.
［师］第三列呢？
［生］第三列是30°、45°、60°角的正切值，首先 45°角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以tan 45°= 1比较特殊.
［师］很好，掌握了上述规律，记忆就方便多了•下面同桌之间可互相检查一下对30 °、45°、60°角的三角函数值的记忆情况.相信同学们一定做得很棒.
2 .例题讲解（多媒体演示）
［例1］计算:
（1）si n30°+ cos45°;
(2)si n260°+ cos260°— tan 45°.
分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值， 今后若无特别说明，用 特殊角三角函数值进行计算时，一般不取近似值，另外 sin 260O 表示(sin60° )2, cos 260° 表示(cos60° )2.
解：(1)sin30°+ cos45°= -
2 = 1 2 ；
2 2 2
(2)si n 260°+ COS 260°— ta n45° =(于)2+(1)2-1 二 3 1-1 4 4
[例2]—个小孩荡秋千，秋千链子的长度为 2.5m ， 角恰好为60 °，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位 置时的高度之差.(结果精确到0.01m)
分析：引导学生根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题 的能力.
解：根据题意(如图)可知，/ BOD = 60°，OB = OA= OD = 2.5m,/ AOD =
.AC = 2.5 — 2.165" 0.34(m).
所以，最高位置与最低位置的高度约为 0.34m. (三) 随堂练习 多媒体演示
当秋千向两边摆动时，摆 1
丄 x 60°= 30
2
OC = OD • cos30° ~ 2.165(m).
=2.5 x
1 •计算：
⑴s in 60°— ta n4 5°; (2)cos60°+ tan 60°;
⑵原式=
13-2.2
2 2.
某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°,高为7m,
扶梯的长度是多少? 解：扶梯的长度为」
7 = 14(m),
sin 30° 1
2 所以扶梯的长度为14m. (四) 课堂小结
本节课总结如下：(1)探索30°、45°、60°角的三角函数值.
(2)能进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
⑶能根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小. (五) 课后作业 习题 1．3第 1、2题
解: — si n45° (1)原式=
+ si n60 —2cos45°
⑶原式= 2 2 2
一2 二-
2 2 2 2 '
sin30
1
si n 4
=—,sin60
2
cos30°= -3 , cos45°
2 cos60°
tan30° ta n45° =1, tan60° = 3 . 二3 — i
2。