高中数学第二章平面解析几何初步.直线的方程..直线方程的概念与直线的斜率课件人教版B版
高中数学第2章平面解析几何2.2直线及其方程2.2.3两条直线的位置关系第2课时两条直线的垂直课件新
(2)A，B 两点在直线 l 的同侧，P 是直线 l 上的一点， 则||PB|－|PA||≤|AB|， 当且仅当 A，B，P 三点共线时， ||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|， 点 P 即是直线 AB 与直线 l 的交点， 又直线 AB 的方程为 y＝x－2， 解yx＝ －x2－y＋28，＝0， 得xy＝ ＝1120， ， 故所求的点 P 的坐标为(12,10).
2．常用对称的特例 (1)A(a，b)关于 x 轴的对称点为 A′(a，－b)； (2)B(a，b)关于 y 轴的对称点为 B′(－a，b)； (3)C(a，b)关于直线 y＝x 的对称点为 C′(b，a)； (4)D(a，b)关于直线 y＝－x 的对称点为 D′(－b，－a)； (5)P(a，b)关于直线 x＝m 的对称点为 P′(2m－a，b)； (6)Q(a，b)关于直线 y＝n 的对称点为 Q′(a,2n－b)．
解
题型四 平行与垂直的综合应用
例 4 已知 A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接 A，B，
C，D 四点，试判定图形 ABCD 的形状．
[解] 由题意知 A，B，C，D 四点在坐标平面内的位置，如图所示，由
斜率公式可得
kAB＝2－5－－34＝13，
kCD＝－0－ 3－36＝13，
mn－－02＝－2， 则
m＋2 n＋0 2 －2· 2 ＋8＝0，
解得mn＝＝8－，2，
故 A′(－2,8)．
解
因为 P 为直线 l 上的一点， 则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|， 当且仅当 B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点 P 即是直线 A′B 与直线 l 的交点， 解xx＝ －－ 2y＋2，8＝0， 得xy＝ ＝－ 3，2， 故所求的点 P 的坐标为(－2,3)．
辽宁省北票市高中数学第二章平面解析几何初步2.2.1直线方程的一般形式课件新人教B版必修2
例3:
设直线
l 的方程为(a＋1)x＋y＋2－a=0(a∈R)． （1）若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程； （2）若 l 不经过第二象限，求实数a的取值范围．
解析:（1）当直线过原点时，该直线在 x 轴 y 轴上的截距都为零，当然相等，此 时a=2,方程为3x+y=0.
即 a+1=1, ∴a=0 , 所以，
不垂直于x,y轴 的直线 不过原点的直线
x轴上截距a y轴上截距b
（x0 , y0） 过点 与x轴垂直的直线可表示成 x x0，
（x0 , y0） 与y轴垂直的直线可表示成 y y0。 过点
（二）填空 1．过点(2,1)，斜率为2的直线的 方程是____________ y-1=2(x-2) 2．过点(2,1)，斜率为0的直线方 y=1 程是___________ 3．过点(2,1)，斜率不存在的直 x=2 线的方程是_________
求直线的一般式方程 Ax By C 0(在A, B都不为零时)
的斜率和截距的方法：
A （1）直线的斜率 k＝－ B （2）直线在y轴上的截距b C C y 令x=0，解出 值，则 b B B (3) 直线与x轴的截距a 令y=0，解出 x C 值，则 a C A A
直线的位置的影响
探究：在方程 Ax By C 0 中，
1.当 A 0，B 0，C 0 时，方程表示的直线与x轴 平行
；
2.当 A 0，B 0，C为任意实数 时，方程表示的直线与x轴垂直； 3.当 时，方程表示的直线与x轴______ ； A 0，B 0，C 0 重合 4.当 时，方程表示的直线与y轴重合 ；
或
(a 1) 0 a 2 0
2017年高中数学第二章平面解析几何初步2.2直线的方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率课件新人教B版必修2
A.3 B.2 C.1 D.0
������
������2 -������1
)
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
解析:根据倾斜角定义知,①正确;倾斜角 θ 的范围为 0°≤θ<180°,故②不正确;当 x1=x2 时,直线 P1P2 的斜率 k 不存在, 不能用公式 k=
������2 -������1 ������2 -������1
求解,故③不正确;当 B=0 时,直线斜率不存在,
故④不正确.故选 C.
答案:C
题型一
题型二
题型三
题型四
题型五
反思 斜率与倾斜角是直线中最基本的概念,正确理解斜率与倾斜 角的概念是解答本题的基础,要注意直线的斜率与倾斜角的对应关 系,还有斜率公式是有使用范围的,直线与x轴垂直时斜率不存在.
题型一
=
������' . ������
又由图易知Δy'>Δy,故kPM>kPQ.
显然直线PM相对于x轴正方向比直线PQ相对于x轴正方向倾斜 程度要大.比如某人从点P沿直线PQ到达点Q,相对于从点P沿直线 PM到达点M来说,此人会感到沿直线PM走比沿直线PQ走更费劲. 一般地,直线斜率为k,|k|越大,直线相对于x轴倾斜程度越大;反之 |k|越小,直线相对于x轴倾斜程度越小.
题型五
题型一
概念辨析题
【例1】 下列四个命题: ①一条直线向上的方向与x轴正向所成的角,是这条直线的倾斜 角; ②直线l的倾斜角要么是锐角,要么是钝角; ������2 -������1 ; ③已知直线l经过P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,则直线l的斜率 k=
高中数学必修2第2章211直线的斜率课件(31张)_1
(2)设直线 l 过坐标原点，它的倾斜角为 α，如果将直线 l 绕坐 标原点按逆时针方向旋转 45°，得到直线 l1，那么 l1 的倾斜角 为__当__0_°__≤__α_＜__1_3_5_°__时__，__倾___斜__角__为__α_＋__4_5_°__，__当__1_3_5_°__≤__α___ _＜__1_8_0_°__时__，__倾___斜__角__为__α_－__1_3_5_°________ (3)已知直线 l1 的倾斜角 α1＝15°，直线 l1 与 l2 交点为 A，直线 l1 和 l2 向上的方向之 间所成的角为 120°，如图所示，则直线 l2 的倾斜角为__1_3_5_°___． (链接教材 P79 倾斜角定义)
[解析] (1)上述说法中，⑤正确，其余均错误，原因是： ①与 x 轴垂直的直线倾斜角为 90°，但斜率不存在； ②举反例说明，120°＞30°，但 tan 120°＝－ 3＜tan 30°＝ 33； ③平行于 x 轴的直线的倾斜角为 0°； ④如果两直线的倾斜角都是 90°，那么两直线的斜率都不存在， 也就谈不上相等．
2．已知点 A(1,2)，若在坐标轴上有一点 P，使直线 PA 的倾斜 角为 135°，则点 P 的坐标为____(_3_,0_)_或__(_0_,3_)_____． 解析：由题意知 kPA＝－1，设 x 轴上点(m,0)，y 轴上点(0，n)， 由m0－－21＝n0－－12＝－1，得 m＝n＝3.
[解] 如图，由斜率公式可知 kPA＝1－1－－23＝－4，kPB＝11－－－－23＝34. 要使直线 l 与线段 AB 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是
(－∞，－4]∪34，＋∞.
[感悟提高] (1)本题关键是利用图形找到斜率变化的区间；画 出图形，借助图形可以看出，若直线 l 与线段 AB 有公共点， 则倾斜角应介于直线 PA，PB 的倾斜角之间，故斜率的变化范 围也随之确定． (2)借助图形，用运动变化的观点看问题，是这类题的一般解 法．本题容易把直线 l 的倾斜角介于直线 PA，PB 的倾斜角之 间与斜率介于二者之间混为一谈，得出错误答案为－4≤k≤34， 因此应注意倾斜角为 90°的“跨越”．
高中数学第二章平面解析几何2.2直线及其方程2.2.1直线的倾斜角与斜率课件新人教B版选择性必修
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念;
2.经历用代数的方法刻画直线斜率的过程;
3.掌握过两点的直线斜率的计算公式并能解决相关的实际问题;
4.理解直线的方向向量和法向量的概念,并能找出其与直线斜率和倾斜角
的内在联系.
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m=1.
变式探究1本例条件不变,试求直线l的倾斜角为锐角时实数m的取值范围.
解 因为直线l的倾斜角为锐角,所以直线的斜率大于0,即
-2
>0,解得
1-
1<m<2.
故m的取值范围为(1,2).
变式探究2若将本例中的“N(2m,1)”改为“N(3m,2m)”,其他条件不变,结果如
何?
解 (1)因为直线l的斜率是1,所以
1.求解一条直线的方向向量、法向量、斜率、倾斜角问题,一
定要明确其定义.
2.利用相应的计算公式以及理解它们之间的内在联系,尤其是可以根据方
向向量进而得出法向量,也可以根据方向向量求斜率.
变式训练3[北师大版教材习题]已知直线l的斜率为-2,求直线l的一个方向
向量的坐标.
解 直线l的一个方向向量的坐标为(1,-2).
2-(-1)
=1,所以m=2.
3-( + 1)
(2)因为直线l的倾斜角为90°,所以直线l的斜率不存在,所以m+1=3m,所以
m= 1 .
2
规律方法
通过本例的求解,一定要熟练地掌握直线的斜率与倾斜角的对
应关系,若直线斜率存在,则除了斜率公式之外还可以应用k=tan α(其中α为
直线的倾斜角,k为直线的斜率),斜率为零和斜率不存在时对应的情况要引
高中数学 2.1.1 直线的倾斜角和斜率课件 北师大版必修
(3)求经过两点 A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率． [思路分析] 利用斜率公式 k＝tanα 和 k＝yx22－ －yx11(x1≠x2)来 解决．
[规范解答] (1)k1＝tan30°＝ 33，k2＝tan45°＝1. (2)直线 AB 的斜率 kAB＝－1－ 4－23＝17； 直线 BC 的斜率 kBC＝0－－1－ －14＝－42＝－12； 直线 AC 的斜率 kAC＝2－3－－01＝33＝1. (3)当 a＝3 时，斜率不存在． 当 a≠3 时，直线的斜率 k＝3－4 a.
• 2．若直线x＝3的倾斜角为α，则α( )
• A．等于0°
B．等于45°
• C．等于90° D．不存在
• [答案] C
• [解析] ∵x＝3的斜率不存在，∴α＝90°，选C.
3．已知点 A(－1， 3)，B(1,3 3)，则直线 AB 的倾斜角是
() A．60°
B．30°
C．120°
D．150°
• [答案] A
[解析] k＝31－3－－13 ＝ 3，则直线 AB 的倾斜角是 60°.
• 4．正三角形的一条高线在y轴上，则三边所在直线的倾斜角 分别为__________．
• [答案] 0°，60°，120°
• [解析] 根据正三角形(高线、中线、角平分线)合一的性质 可知两条腰所在直线的倾斜角分别为60°和120°，底边所 在直线与x轴平行或重合，故倾斜角为0°.
• 直线的倾斜角和斜率的关系
a 为何值时，过点 A(2a,3)，B(2，－1)的直线的 倾斜角是锐角？钝角？直角？
• [思路分析] 根据倾斜角与斜率的关系解决本题．若直线的 倾斜角是锐角，则k>0，若为钝角，则k<0，若为直角，则 斜率不存在．
新教材2023版高中数学第二章平面解析几何2.2直线及其方程2.2.2直线的方程课件
答案：2x－y＋1＝0
y−3
解析：AB的中点坐标为(1，3)，由直线的两点式方程可得
5−3
x−1
＝ ，即2x－y＋1＝0.
2−1
(2)已知直线l过点(1，2)，且在纵坐标轴上的截距为横坐标轴上的截
距的两倍，则直线l的方程为(
)
A．2x－y＝0
B．2x＋y－4＝0
一般式
B、C的值
＋B2≠0)
坐标轴 平
直 线 l 不 与 ________
行或重合，且不过
________
原点
平面内任何一条直线
状元随笔 直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程均能化为
一般式方程吗？
[提示] 是．
基础自测
1．方程y－y0＝k(x－x0)(
)
A．可以表示任何直线
B．不能表示过原点的直线
方程．
状元随笔 如何判断点P(2，1)是否在直线y＝x－1上？
[提示] 把点的坐标代入方程，若满足方程，点就在直线上，反之，
不在直线上．
知识点二
直线方程的几种形式
形式
条件
直线l上一点P(x0 ，
点斜式
y0)及斜率k
直线l的斜率k及在y
斜截式
轴上的截距b
直线l上两点A(x1 ，
两点式
y1)，B(x2，y2)
关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0.
2．每一个关于x，y的二元一次方程Ax么？
[提示] 能表示一条直线，原因如下：当B≠0时，方程Ax＋By＋C
A
C
C
A
＝0可变形为y＝－ x－ ，它表示过点 0， − ，斜率为－ 的直线．
最新 公开课课件 2.2.1《直线方程的概念与直线的斜率》ppt课件
正向 向上 ________的方向所 4．x轴________ 与直线 成的角叫做这条直线的倾斜角，垂直于 90° x轴的直 线倾斜角为________． 我们规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为 0°，倾斜角的范围是[0°，180°)． 5．直线的斜率和倾斜角反映了直线相对于 x轴 | k| 的倾斜程度，________ 越大，直线的倾斜程 >0 ＝0 度越大． 不存在 <0 α＝0°时，k________；0°<α<90°时， k________；α＝90°时，k________； 90°<α<180°时，k________.
[答案] C
[ 解析]
由题意得，kAB＝kAC，
3－2 y－2 ∴ ＝ ，解得 y＝1. －2－1 4－1
4．经过A(a，b)和B(3a,3b)(a≠0)两点的直 线的斜率k＝____________.
[ 答案] b a
[ 解析]
3b－b b ∵a≠0，∴斜率 k＝ ＝ . 3a－a a
5．若过点A(2，－1)与B(a,1)的直线的倾斜 角为锐角，则a的取值范围是________． [答案] (2，＋∞)
[解析] 由倾斜角α∈[0°，180°)知②错； 又平行于x轴的直线的倾斜角是0°， 这样的直线有无数条，故③④错； 只有①是正确的．
3．(2015· 河南洛阳高一期末测试)已知点 A(1,2)、B(－2,3)、 C(4，y)在同一条直线上，则 y 的值为( A．－1 C．1 1 B．2 3 D．2 )
1.经过点M(－2，m)、N(m,4)的直线的斜率 等于1，则m的值为( ) A．1 B．4 C．1或3 D．1或4 [答案] A
[ 解析] 4－m 由题意知， ＝1，∴m＝1. m＋2
2020年高中数学第二章解析几何初步11.1直线的倾斜角和斜率课件北师大版必修2
【解析】 当 0°≤α＜135°时，l1 的倾斜角为 α＋45°；当 135°≤α＜180°时，如图．此时 l1 的倾斜角为 β，则
β＝α＋45°－180°＝α－135°. 【答案】 当 0°≤α＜135°时，倾斜角为 α＋45°，当 135°≤α ＜180°时，为 α－135°
【规律总结】 求倾斜角时，主要根据定义，画出图形，找 准倾斜角．有时需分类讨论，把角分为四类：①0°角；②锐角； ③直角；④90°＜α＜180°.
【错因分析】 (2)中求斜率 k 的取值范围时，未结合图形分 析 k 的变化趋势．
【正解】 (1)kPM＝－23－－11＝－4，kPN＝－ －23－ －11＝34.
(2)如图所示，l′是经过点 P 且与 x 轴垂直 的直线，当直线 l 由 PN 位置绕点 P 向 l′位置 旋转时，直线的倾斜角在锐角范围内逐渐增 大，斜率也逐渐增大，此时 k≥kPN＝34；当直 线 l 由 l′位置绕点 P 向直线 PM 位置旋转时，直线的倾斜角在钝角 范围内逐渐变大，斜率也逐渐增大，此时，k≤kPM＝－4.
5．已知 a>0，若平面上三点 A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3) 共线，求 a 的值．
解：∵kAB＝a2－2－－1 a＝a2＋a 存在， 又 A，B，C 三点共线，∴kAC＝a3－3－－1 a＝a3＋2 a也存在，且 kAB＝kAC，即 a2＋a＝a3＋2 a，整理得 a(a2－2a－1)＝0. 解得 a＝0 或 a＝1± 2.又∵a>0，∴a＝1＋ 2.
已知三点 A(a,2)，B(5,1)，C(－4,2a)在同一
直线上，求 a 的值． 解：∵kBC＝－2a4－－15＝－2a－ 9 1存在， 又 A，B，C 三点共线， ∴kAB 也存在，且 kAB＝kBC. 即－2a－ 9 1＝15－ －2a(a≠5)， ∴2a2－11a＋14＝0， 解得 a＝72或 a＝2.
新教材2023版高中数学第二章平面解析几何2.2直线及其方程2.2.1直线的倾斜角与斜率学生用书
2．2.1 直线的倾斜角与斜率[课标解读] 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．教材要点知识点一 直线的倾斜角 1．倾斜角的定义(1)当直线l 与x 轴相交时，将x 轴绕着他们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，称角θ叫做直线l 的倾斜角．(2)当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________． 2．倾斜角的范围直线的倾斜角θ的取值范围为________．3．确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个________及它的________．知识点二 直线的斜率及斜率公式 1．斜率的定义一条直线的倾斜角θ(θ≠90°)的________值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k 表示，即k ＝________．状元随笔 直线的斜率与倾斜角是一一对应吗？ 不是，当倾斜角为90 °时，直线的斜率不存在．2．斜率公式 经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝________．当x 1＝x 2时，直线P 1P 2斜率不存在．3．斜率的几何意义用实数反映了平面直角坐标系内的直线相对于x 轴正方向的________． 知识点三 直线的方向向量与法向量1．给定平面直角坐标系内的一条直线l ，在直线l 上任取A 、B 两个不同的点，向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是直线l 的一个方向向量．一般地，如果表示非零向量a 的有向线段所在的直线与直线l 平行或重合，则称向量a 为直线l 的一个方向向量，记作a ∥l .(1)如果a 为直线l 的一个方向向量，那么对于任意的实数λ≠0，向量λa 都是l 的一个方向向量，而且直线l 的任意两个方向向量一定共线．(2)如果A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是直线l 上两个不同的点，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(x 2－x 1，y 2－y 1)是直线l 的一个方向向量．(3)如果已知a ＝(u ，v )为直线l 的一个方向向量，则①当u ＝0时，显然直线l 的斜率不存在，倾斜角为________；②当u ≠0时，直线l 的斜率是存在的，而且此时(1，k )与a ＝(u ，v )都是直线l 的一个方向向量，且有v ＝ku ，即k ＝vu，即tan θ＝vu.2．直线的法向量一般地，如果表示非零向量v 的有向线段所在直线与直线l 垂直，则称向量v 为直线l 的一个法向量，记作v ⊥l .不难看出，一条直线的方向向量与法向量互相垂直．基础自测1．如图所示，直线l 的倾斜角为( )A.30° B ．60° C ．120°D ．以上都不对2．直线l 过点M (－√3，√2)，N (－√2，√3)，则l 的斜率为( ) A ．√62 B ．1 C ．√63 D ．√63．斜率不存在的直线一定是( )A ．过原点的直线B ．垂直于x 轴的直线C ．垂直于y 轴的直线D ．垂直于坐标轴的直线4．已知直线l 经过两点P (1，2)，Q (－2，1)，那么直线l 的一个方向向量为________；一个法向量为________；斜率为________．题型1 直线的倾斜角例1 设直线l 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，那么l 1的倾斜角为( )A.α＋45° B ．α－135° C ．135°－α D ．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾角为α－135°方法归纳求直线的倾斜角的方法及两点注意1．方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．2．两点注意：①当直线与x 轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x 轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.跟踪训练 1 一条直线l 与x 轴相交，其向上的方向与y 轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为( )A ．αB ．180°－αC ．180°－α或90°－αD ．90°＋α或90°－α题型2 斜率的求法 【思考探究】1．斜率公式k ＝y 2−y1x 2−x 1(x 2≠x 1)中，分子与分母的顺序是否可以互换？y 1与y 2，x 1与x 2的顺序呢？[提示] 斜率公式中分子与分母的顺序不可互换，但y 1与y 2和x 1与x 2可以同时互换顺序，即斜率公式也可写为k ＝y 1−y2x 1−x 2.2．用k ＝tan α(α≠90°) 求斜率时在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记．例2 (1)若A (1，0)，B (－3，m )，直线AB 的斜率为－12，则m ＝( )A ．－8B ．－2C ．2D ．8(2)若直线过点C (1，3)，D (4，3＋√3)，则此直线的一个方向向量为__________；倾斜角为________；(3)已知点M (0，b )与点N (－√3，1)连成直线的倾斜角为120°，则b ＝________．方法归纳1．斜率的求法(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用公式k ＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k ＝y 2−y1x 2−x 1(x 1≠x 2)求解．2．利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项 (1)运用公式的前提条件是“x 1≠x 2”，即直线不与x 轴垂直，因为当直线与x 轴垂直时，斜率是不存在的；(2) 倾斜角为90°时斜率不存在．跟踪训练2 (1)直线经过点(0，2)和点(3，0)，则它的斜率为( )A ．23 B ．32 C ．－23 D ．－32(2)若直线经过两点A (m ，2)，B (32m ，2m −1)，且倾斜角为45°，则m 的值为( )A ．2B ．1C ．34D ．12(3)已知坐标平面内三点A (－1，1)，B (1，1)，C (2，√3＋1)． 求直线AB 、BC 、AC 的斜率、方向向量和倾斜角．题型3 直线的斜率、方向向量、法向量及应用例3 已知两点A (－3，4)，B (3，2)，过点P (1，0)的直线l 与线段AB 有公共点． (1)求直线l 的斜率k 的取值范围； (2)求直线l 的倾斜角α的取值范围．状元随笔 作图，让直线与线段有公共点，可得倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间，进一步获得斜率取值范围．例4 若三点A (2，－3)，B (4，3)，C (5，k )在同一条直线上，则实数k ＝________．状元随笔 利用AB 和AC 的斜率相等，或利用三点共线的充要条件．方法归纳1．求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围． 2．利用斜率可解决点共线问题，点A ，B ，C 共线⇔k AB ＝k AC 或k AB 与k AC 都不存在． 3．涉及直线与线段有交点问题，常通过数形结合，利用斜率公式求解．跟踪训练3 (1)若三点A (3，1)，B (－2，b )，C (8，11)在同一直线上，则实数b 等于( ) A ．2 B ．3 C ．9 D ．－9 (2)如图，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，一边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率．2．2 直线及其方程2．2.1 直线的倾斜角与斜率新知初探·自主学习[教材要点]知识点一1．(2)0°2．0°≤θ<180°3．定点倾斜角知识点二1．正切tan θ2.y2−y1x2−x13．倾斜程度知识点三1．(3)①90°[基础自测]1．解析：根据倾斜角的定义知，直线l 的倾斜角为30°＋90°＝120°. 答案：C2．解析：根据题意，l 的斜率为√3−√2−√2−(−√3)＝1.答案：B3．解析：只有直线垂直于x 轴时，其倾斜角为90°，斜率不存在． 答案：B4．解析：由已知可得PQ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－2，1)－(1，2)＝(－3，－1)是直线l 的一个方向向量．则(－1，3)是直线l 的一个法向量，直线l 的斜率k ＝2−11−(−2)＝13. 答案：(－3，－1)(答案不唯一) (－1，3)(答案不唯一) 13课堂探究·素养提升例1 解析：根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A ，B ，C 未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°，l 1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l 1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D. 答案：D跟踪训练1 解析：如图，当l 向上方向的部分在y 轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l 向上方向的部分在y 轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.答案：D例2 解析：(1)A (1，0)，B (－3，m )，直线AB 的斜率为－12， 所以－12＝m−0−3−1，解得：m ＝2.(2)直线过点C (1，3)，D (4，3＋√3)，得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(4，3＋√3)－(1，3)＝(3，√3)是直线l 的一个方向向量，则直线的斜率k ＝3+√3−34−1＝√33，所以此直线的倾斜角是π6.(3)k ＝0+√3＝tan 120°，解得b ＝－2.答案：(1)C (2)(3，√3)(答案不唯一) π6(3)－2跟踪训练2 解析：(1)斜率k ＝0−23−0＝－23.(2)经过两点A (m ，2)，B (32m ，2m −1)的直线的斜率为k ＝2m−1−232m−m ，又直线的倾斜角为45°，所以2m−1−232m−m ＝tan 45°＝1，即m ＝2.(3)由斜率公式得k AB ＝1−11−(−1)＝0，k BC ＝√3+1−12−1＝√3. k AC ＝√3+1−12−(−1)＝√33.直线AB 、BC 、AC 的方向向量分别是(2，0)、(1，√3)、(3，√3)倾斜角的取值范围是0°≤α<180°. 又∵tan 0°＝0，∴直线AB 的倾斜角为0°. ∵tan 60°＝√3，∴直线BC 的倾斜角为60°. ∵tan 30°＝√33，∴直线AC 的倾斜角为30°. 答案：(1)C (2)A (3)见解析例3 解析：如图所示，由题意可知k PA ＝4−0−3−1＝－1，k PB ＝2−03−1＝1.(1)要使直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是k ≤－1或k ≥1. (2)由题意可知，直线l 的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间，又PB 的倾斜角是45°，PA 的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.例4 解析：方法一：因为A (2，－3)，B (4，3)，C (5，k )在同一条直线上，所以k AB ＝k AC ，k AB ＝3−(−3)4−2＝3，k AC ＝k−(−3)5−2＝k+33，所以3＝k+33，即k ＝6.方法二：因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(4，3)－(2，－3)＝(2，6)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(5，k )－(2，－3)＝(3，k ＋3)，又因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC⃗⃗⃗⃗⃗ 共线， 所以2(k ＋3)＝18，解得k ＝6. 答案：6跟踪训练3 解析：(1)方法一：因为三点A (3，1)，B (－2，b )，C (8，11)在同一直线上，所以k AC ＝k AB ，即11−18−3＝b−1−2−3，解得b ＝－9.方法二：因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－5，b －1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(5，10)，又因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC⃗⃗⃗⃗⃗ 共线，所以－5×10＝5(b－1)，所以b＝－9.(2)因为OD∥BC，∠BOD＝60°，所以直线OD，BC的倾斜角都是60°，斜率都是tan 60°＝√3；又因为DC∥OB，所以直线DC，OB的倾斜角都是0°，斜率也都为0；由菱形的性质可得∠COB＝30°，∠OBD＝60°，所以直线OC的倾斜角为30°，斜率k OC＝tan 30°＝√3，3直线BD的倾斜角为∠DBx＝180°－60°＝120°，斜率k BD＝tan 120°＝－√3.答案：(1)D (2)见解析。
高中数学第二章平面解析几何初步221直线方程的概念与直线的斜率课件新人教B版必修2
2.2 直线的方程
2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率
[学习目标] 1.了解直线的方程、方程的直线的概念. 2.理解直线的倾斜角、斜率,掌握过两点的直线的斜率公式. 3.体会用斜率和倾斜角刻划直线的倾斜程度,并掌握它们之 间的关系.
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③当k < 0时,直线的倾斜角为钝角,k值增大,直线的倾斜角也 随着 增大 ； ④垂直于x轴的直线的倾斜角等于 90°.
要点一 直线的倾斜角 例1 设直线l过坐标原点,它的倾斜角为α,如果将l绕坐标原点按逆 时针方向旋转45°,得到直线l1,那么l1的倾斜角为( ) A.α＋45° B.α－135° C.135°－α D.当0°≤α<135°时,倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时,倾斜角为
α－135°
解析 根据题意,画出图形,如图所示：
因为0°≤α<180°,显然A,B,C未分类讨论,均不全面,不合题意. 通过画图(如图所示)可知： 当0°≤α<135°时,l1的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时,l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°. 故选D. 答案 D
规律方法 1.解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角 的取值范围解答. 2.求直线的倾斜角主要根据定义来求,其关键是根据题意画 出图形,找准倾斜角,有时要根据情况分类讨论.
跟踪演练1 一条直线l与x轴相交,其向上的方向与y轴正方向
所成的角为α(0°<α<90°),则其倾斜角为( )
A.α
B.180°－α
由题意可知,k＝tan
30°＝