20版数学《初中全程复习方略》新课标北师大版14
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y=- 1 (x-3)2+5(0<x<8).
5
(2)当y=1.8时,有- 1 (x-3)2+5=1.8,
5
解得:x1=-1(舍去),x2=7,
∴为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离
水池中心7米以内.
(3)当x=0时,y=- 1 (x-3)2+5= 16 .
5
5
设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析
【解析】(1)根据题意可得:yA=16(1-x)2,
yB=12(1-x)(1+2x).
(2)由题意得16(1-x)2=12(1-x)(1+2x),
解得:x1=
1 10
,x2=1.
∵0<x<1,
∴x= 1 .
10
(3)当0<x<
1 10
时,yA>yB,
Βιβλιοθήκη Baidu
yA-yB=16(1-x)2-12(1-x)(1+2x)=40 (x 11 )2 81，
20 10
∵x< 1210时,yA-yB的值随x的增大而减小,
且0<x< 1 ,
10
∴当x=0时,yA-yB取得最大值,最大值为4;
当
1 10
<x<1时,yB>yA,
yB-yA=12(1-x)(1+2x)-16(1-x)2=4(1-x)(10x-1)=
-40 (x 11 )2 81，
20 10
(1)求a与b的值.
(2)销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最
大?最大利润是多少元?(参考公式:当x=- b 时,二次
2a
函数y=ax2+bx+c(a≠0)有最小(大)值)
(3)销售单价定在多少时,该种商品每天的销售利润为 21元?结合图象,直接写出销售单价定在什么范围时,该 种商品每天的销售利润不低于21元?
(1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求 所利用旧墙AD的长. (2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.
【思路点拨】(1)设AB=x m,则BC=(100-2x)m,利用矩形
的面积公式得到x(100-2x)=450,解方程得x1=5,x2=45, 然后计算100-2x后与20进行大小比较即可得到AD的长. (2)设AD=y m,利用矩形面积得到S= 1 y(100-y),然后
(1)求该抛物线的函数解析式. (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后宽为4 m,高为 6 m,如果隧道内设双向行车道,那么这辆货车能否安全 通过?
(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面 的高度相等,如果灯离地面的高度不超过8 m,那么两排 灯的水平距离最小是多少米?
【解析】(1)根据题意,该抛物线的顶点坐标为D(6,10),
销售周期每台的销售价格为y元,y与x之间满足如图所 示的一次函数关系.
(1)求y与x之间的关系式.
(2)设该产品在第x个销售周期的销售数量为p(万台), p与x的关系可以用p= 1 x+ 1 来描述.根据以上信息,
22
试问:哪个销售周期的销售收入最大?此时该产品每台
的销售价格是多少元?
【自主解答】(1)设函数的关系式为y=kx+b(k≠0),
设抛物线解析式为y=a(x-6)2+10,将点B(0,4)代入,
得:36a+10=4,解得:a=- 1 ,
6
故该抛物线解析式为y=- 1(x-6)2+10.
6
(2)由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为(2,0)
或(10,0),当x=2或x=10时,y= 22 >6,所以这辆货车能
3
安全通过.
(3)令y=8,则- 1 (x-6)2+10=8,解得x1=6+2 3 ,
6
x2=6-2 3 ,则x1-x2=4 3 ,
所以两排灯的水平距离最小是4 3 m.
考点二 利润最大化问题 【主干必备】 应用二次函数性质解决最优化问题思路 1.分析题中数量关系,确定变量. 2.根据等量关系,构建二次函数模型. 3.根据函数性质,确定最值.
【核心突破】 例2(2019·成都中考)随着5G技术 的发展,人们对各类5G产品的使用 充满期待,某公司计划在某地区销 售一款5G产品,根据市场分析,该产品的销售价格将随 销售周期的变化而变化.设该产品在第x(x为正整数)个
由图象可得,
k b 7 000, 5k b 5 000,
解得
k b
500, 7 500,
∴y与x之间的关系式为y=-500x+7 500.
(2)设销售收入为w万元,根据题意得, w=yp=(-500x+7 500)( 1 x 1 ) ,
22
即w=-250(x-7)2+16 000,
∴当x=7时,w有最大值为16 000,
3.(2019·南通二模)A厂一月份产值为16万元,因管理 不善,二、三月份产值的月平均下降率为x(0<x<1).B厂 一月份产值为12万元,二月份产值下降率为x,经过技术 革新,三月份产值增长,增长率为2x.三月份A,B两厂产 值分别为yA,yB(单位:万元). 世纪金榜导学号
(1)分别写出yA,yB与x的函数表达式. (2)当yA=yB时,求x的值. (3)当x为何值时,三月份A,B两厂产值的差距最大?最大 值是多少万元?
∴S= 1 y(100-y)=- 1 (y-50)2+1 250,
2
2
当a≥50时,则y=50时,S的最大值为1 250;
当0<a<50时,则当0<y≤a时,S随y的增大而增大,
当y=a时,S的最大值为50a- 1 a2,
2
综上所述,当a≥50时,S的最大值为1 250;
当0<a<50时,S的最大值为50a- 1 a2.
90米(即AB=90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB 的直线为x轴建立平面直角坐标系,则此抛物线型钢拱 的函数表达式为 世纪金榜导学号( B )
A.y= 26 x2
675
C.y= 13 x2
1 350
B.y=- 26 x2
675
D.y=- 13 x2
1 350
3.(2019·山东东营区月考)如图, 隧道的截面由抛物线和长方形构 成,长方形的长是12 m,宽是4 m. 按照图中所示的直角坐标系,抛物线最高点D到墙面OB 的水平距离为6 m时,隧道最高点D距离地面10 m. 世纪金榜导学号
【题组过关】 1.(2019·内蒙古呼和浩特期中)某商品的销售利润与 销售单价存在二次函数关系,且二次项系数a=-1,当商 品单价为160元和200元时,能获得同样多的利润,要使 销售商品利润最大,销售单价应定为____1_8_0____元.
2.(2019·黑龙江哈尔滨道外区期末)某商场经调研得 出某种商品每天的利润y(元)与销售单价x(元)之间满 足关系:y=ax2+bx-75,其图象如图所示.
【解析】(1)y=ax2+bx-75图象过点(5,0),(7,16),
∴
25a 49a
5b 7b
75 75
0， 16,
解得:
a 1, b 20.
(2)∵y=-x2+20x-75=-(x-10)2+25,
∴当x=10时,y最大=25.
答:销售单价为10元时,该种商品每天的销售利润最大, 最大利润为25元. (3)根据题意,当y=21时,得:-x2+20x-75=21,解得: x1=8,x2=12,∴x=8 或 x=12,即销售单价定在8元或 12元时,该种商品每天的销售利润为21元;故销售单价 在8≤x≤12时,销售利润不低于21元.
【思路点拨】(1)根据顶点坐标可设二次函数的顶点式, 代入点(8,0),求出系数的值,此题得解. (2)利用二次函数图象上点的坐标特征,求出当y=1.8时 x的值,由此即可得出结论.
(3)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与
y轴的交点坐标,由抛物线的形状不变可设改造后水柱
所在抛物线(第一象限部分1)5的函数解析式为y=- 1 x2+
式为y=- 1 x2+bx+ 16 ,
5
5
∵该函数图象过点(16,0),
∴0=- 1 ×162+16b+ 16,解得:b=3,
5
5
∴改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析
式为y=- 1 x2+3x+ 16 =- 1 (x- 15 )2+ 289 .
5
55
2
20
∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为 289米.
第十四讲 二次函数的应用
考点一 应用二次函数解决抛物线型实际问题 【主干必备】 应用二次函数解决抛物线型实际问题的思路 1.结合题意,建立恰当的平面直角坐标系.
2.数形结合,根据题中所给的数据转化为点的坐标. 3.求出抛物线解析式,应用二次函数性质或点的坐标的 意义解决问题.
【核心突破】例1(2018·衢州中考) 某游乐园有一个直径为16米的圆形 喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛 物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方 向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图 所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐 标系.
5
bx+ 16 ,代入点(16,0)可求出b值,再利用配方法将二
5
次函数解析式变形为顶点式,即可得出结论.
【自主解答】 (1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式为 y=a(x-3)2+5(a≠0), 将(8,0)代入y=a(x-3)2+5,得:25a+5=0, 解得:a=- 1 ,
5
∴水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式为
∵-40<0, 1 <x<1,
10
∴当x= 1210时,yB-yA取最大值,最大值为8.1.
∵8.1>4,
∴当x= 11时,三月份A,B两厂产值的差距最大,最大值
20
是8.1万元.
考点三 面积最大化问题 【核心突破】 例3(2018·福建中考)如图,在足 够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙 和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD≤MN,已知矩形 菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏.
(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式. (2)王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水, 为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水 池中心多少米以内?
(3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改 进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩 大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原 装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水 柱的最大高度.
2
配方,根据二次函数的性质得S的最大值.
【自主解答】(1)设AB=x m,则BC=(100-2x)m, 根据题意得x(100-2x)=450,解得x1=5,x2=45, 当x=5时,100-2x=90>20,不合题意舍去; 当x=45时,100-2x=10, ∴AD的长为10m.
(2)设AD=y m,
此时y=-500×7+7 500=4 000(元).
答:第7个销售周期的销售收入最大,此时该产品每台的 销售价格是4 000元.
【明·技法】 二次函数在销售问题中的应用
步 骤
①读懂题意,借助销售问题中的利润等公式寻 找等量关系;②确定函数解析式;③确定二次 函数的最值,解决实际问题.
【易错提示】在求二次函数最值时,要注意实际问题中 自变量的取值的限制对最值的影响.
A.①④
B.①②
C.②③④
D.②③
2.(2019·山西中考)北中环桥是省城太原的一座跨汾 河大桥(如图1),它由五个高度不同,跨径也不同的抛物 线型钢拱通过吊桥,拉锁与主梁相连,最高的钢拱如图 2所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线) 在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两 点,拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径为
【题组过关】 1.(2019·临沂中考)从地面竖直 向上抛出一小球,小球的高度h(单 位:m)与小球运动时间t(单位:s)之 间的函数关系如图所示.下列结论:
①小球在空中经过的路程是40 m;②小球抛出3秒后,速
度越来越快;③小球抛出3秒时速度为0;④小球的高度
h=30 m时,t=1.5 s.其中正确的是 ( D )
20
【明·技法】 抛物线型实际问题解题的关键、技巧及注意问题 (1)解题的关键:进行二次函数建模,依据题意,建立合 适的平面直角坐标系,并利用抛物线的性质解决问题.
(2)解题技巧:所建立的坐标系能使所设的解析式形式 最简.
(3)注意问题:①题意分析不透,不能建立符合题意的函 数模型或所建立的函数模型不正确,导致解题错误; ②忽视了自变量的取值范围,造成错解;③由几何图形 中的线段的长转化为坐标系中点的坐标时,忽视了线段 所在的象限,造成符号错误.
5
(2)当y=1.8时,有- 1 (x-3)2+5=1.8,
5
解得:x1=-1(舍去),x2=7,
∴为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离
水池中心7米以内.
(3)当x=0时,y=- 1 (x-3)2+5= 16 .
5
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设改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析
【解析】(1)根据题意可得:yA=16(1-x)2,
yB=12(1-x)(1+2x).
(2)由题意得16(1-x)2=12(1-x)(1+2x),
解得:x1=
1 10
,x2=1.
∵0<x<1,
∴x= 1 .
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(3)当0<x<
1 10
时,yA>yB,
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yA-yB=16(1-x)2-12(1-x)(1+2x)=40 (x 11 )2 81，
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∵x< 1210时,yA-yB的值随x的增大而减小,
且0<x< 1 ,
10
∴当x=0时,yA-yB取得最大值,最大值为4;
当
1 10
<x<1时,yB>yA,
yB-yA=12(1-x)(1+2x)-16(1-x)2=4(1-x)(10x-1)=
-40 (x 11 )2 81，
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(1)求a与b的值.
(2)销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最
大?最大利润是多少元?(参考公式:当x=- b 时,二次
2a
函数y=ax2+bx+c(a≠0)有最小(大)值)
(3)销售单价定在多少时,该种商品每天的销售利润为 21元?结合图象,直接写出销售单价定在什么范围时,该 种商品每天的销售利润不低于21元?
(1)若a=20,所围成的矩形菜园的面积为450平方米,求 所利用旧墙AD的长. (2)求矩形菜园ABCD面积的最大值.
【思路点拨】(1)设AB=x m,则BC=(100-2x)m,利用矩形
的面积公式得到x(100-2x)=450,解方程得x1=5,x2=45, 然后计算100-2x后与20进行大小比较即可得到AD的长. (2)设AD=y m,利用矩形面积得到S= 1 y(100-y),然后
(1)求该抛物线的函数解析式. (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后宽为4 m,高为 6 m,如果隧道内设双向行车道,那么这辆货车能否安全 通过?
(3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面 的高度相等,如果灯离地面的高度不超过8 m,那么两排 灯的水平距离最小是多少米?
【解析】(1)根据题意,该抛物线的顶点坐标为D(6,10),
销售周期每台的销售价格为y元,y与x之间满足如图所 示的一次函数关系.
(1)求y与x之间的关系式.
(2)设该产品在第x个销售周期的销售数量为p(万台), p与x的关系可以用p= 1 x+ 1 来描述.根据以上信息,
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试问:哪个销售周期的销售收入最大?此时该产品每台
的销售价格是多少元?
【自主解答】(1)设函数的关系式为y=kx+b(k≠0),
设抛物线解析式为y=a(x-6)2+10,将点B(0,4)代入,
得:36a+10=4,解得:a=- 1 ,
6
故该抛物线解析式为y=- 1(x-6)2+10.
6
(2)由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为(2,0)
或(10,0),当x=2或x=10时,y= 22 >6,所以这辆货车能
3
安全通过.
(3)令y=8,则- 1 (x-6)2+10=8,解得x1=6+2 3 ,
6
x2=6-2 3 ,则x1-x2=4 3 ,
所以两排灯的水平距离最小是4 3 m.
考点二 利润最大化问题 【主干必备】 应用二次函数性质解决最优化问题思路 1.分析题中数量关系,确定变量. 2.根据等量关系,构建二次函数模型. 3.根据函数性质,确定最值.
【核心突破】 例2(2019·成都中考)随着5G技术 的发展,人们对各类5G产品的使用 充满期待,某公司计划在某地区销 售一款5G产品,根据市场分析,该产品的销售价格将随 销售周期的变化而变化.设该产品在第x(x为正整数)个
由图象可得,
k b 7 000, 5k b 5 000,
解得
k b
500, 7 500,
∴y与x之间的关系式为y=-500x+7 500.
(2)设销售收入为w万元,根据题意得, w=yp=(-500x+7 500)( 1 x 1 ) ,
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即w=-250(x-7)2+16 000,
∴当x=7时,w有最大值为16 000,
3.(2019·南通二模)A厂一月份产值为16万元,因管理 不善,二、三月份产值的月平均下降率为x(0<x<1).B厂 一月份产值为12万元,二月份产值下降率为x,经过技术 革新,三月份产值增长,增长率为2x.三月份A,B两厂产 值分别为yA,yB(单位:万元). 世纪金榜导学号
(1)分别写出yA,yB与x的函数表达式. (2)当yA=yB时,求x的值. (3)当x为何值时,三月份A,B两厂产值的差距最大?最大 值是多少万元?
∴S= 1 y(100-y)=- 1 (y-50)2+1 250,
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当a≥50时,则y=50时,S的最大值为1 250;
当0<a<50时,则当0<y≤a时,S随y的增大而增大,
当y=a时,S的最大值为50a- 1 a2,
2
综上所述,当a≥50时,S的最大值为1 250;
当0<a<50时,S的最大值为50a- 1 a2.
90米(即AB=90米),以最高点O为坐标原点,以平行于AB 的直线为x轴建立平面直角坐标系,则此抛物线型钢拱 的函数表达式为 世纪金榜导学号( B )
A.y= 26 x2
675
C.y= 13 x2
1 350
B.y=- 26 x2
675
D.y=- 13 x2
1 350
3.(2019·山东东营区月考)如图, 隧道的截面由抛物线和长方形构 成,长方形的长是12 m,宽是4 m. 按照图中所示的直角坐标系,抛物线最高点D到墙面OB 的水平距离为6 m时,隧道最高点D距离地面10 m. 世纪金榜导学号
【题组过关】 1.(2019·内蒙古呼和浩特期中)某商品的销售利润与 销售单价存在二次函数关系,且二次项系数a=-1,当商 品单价为160元和200元时,能获得同样多的利润,要使 销售商品利润最大,销售单价应定为____1_8_0____元.
2.(2019·黑龙江哈尔滨道外区期末)某商场经调研得 出某种商品每天的利润y(元)与销售单价x(元)之间满 足关系:y=ax2+bx-75,其图象如图所示.
【解析】(1)y=ax2+bx-75图象过点(5,0),(7,16),
∴
25a 49a
5b 7b
75 75
0， 16,
解得:
a 1, b 20.
(2)∵y=-x2+20x-75=-(x-10)2+25,
∴当x=10时,y最大=25.
答:销售单价为10元时,该种商品每天的销售利润最大, 最大利润为25元. (3)根据题意,当y=21时,得:-x2+20x-75=21,解得: x1=8,x2=12,∴x=8 或 x=12,即销售单价定在8元或 12元时,该种商品每天的销售利润为21元;故销售单价 在8≤x≤12时,销售利润不低于21元.
【思路点拨】(1)根据顶点坐标可设二次函数的顶点式, 代入点(8,0),求出系数的值,此题得解. (2)利用二次函数图象上点的坐标特征,求出当y=1.8时 x的值,由此即可得出结论.
(3)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与
y轴的交点坐标,由抛物线的形状不变可设改造后水柱
所在抛物线(第一象限部分1)5的函数解析式为y=- 1 x2+
式为y=- 1 x2+bx+ 16 ,
5
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∵该函数图象过点(16,0),
∴0=- 1 ×162+16b+ 16,解得:b=3,
5
5
∴改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析
式为y=- 1 x2+3x+ 16 =- 1 (x- 15 )2+ 289 .
5
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∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为 289米.
第十四讲 二次函数的应用
考点一 应用二次函数解决抛物线型实际问题 【主干必备】 应用二次函数解决抛物线型实际问题的思路 1.结合题意,建立恰当的平面直角坐标系.
2.数形结合,根据题中所给的数据转化为点的坐标. 3.求出抛物线解析式,应用二次函数性质或点的坐标的 意义解决问题.
【核心突破】例1(2018·衢州中考) 某游乐园有一个直径为16米的圆形 喷水池,喷水池的周边有一圈喷水头,喷出的水柱为抛 物线,在距水池中心3米处达到最高,高度为5米,且各方 向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合.如图 所示,以水平方向为x轴,喷水池中心为原点建立直角坐 标系.
5
bx+ 16 ,代入点(16,0)可求出b值,再利用配方法将二
5
次函数解析式变形为顶点式,即可得出结论.
【自主解答】 (1)设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式为 y=a(x-3)2+5(a≠0), 将(8,0)代入y=a(x-3)2+5,得:25a+5=0, 解得:a=- 1 ,
5
∴水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式为
∵-40<0, 1 <x<1,
10
∴当x= 1210时,yB-yA取最大值,最大值为8.1.
∵8.1>4,
∴当x= 11时,三月份A,B两厂产值的差距最大,最大值
20
是8.1万元.
考点三 面积最大化问题 【核心突破】 例3(2018·福建中考)如图,在足 够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN,某人利用旧墙 和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD≤MN,已知矩形 菜园的一边靠墙,另三边一共用了100米木栏.
(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式. (2)王师傅在喷水池内维修设备期间,喷水管意外喷水, 为了不被淋湿,身高1.8米的王师傅站立时必须在离水 池中心多少米以内?
(3)经检修评估,游乐园决定对喷水设施做如下设计改 进:在喷出水柱的形状不变的前提下,把水池的直径扩 大到32米,各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原 装饰物(高度不变)处汇合,请探究扩建改造后喷水池水 柱的最大高度.
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配方,根据二次函数的性质得S的最大值.
【自主解答】(1)设AB=x m,则BC=(100-2x)m, 根据题意得x(100-2x)=450,解得x1=5,x2=45, 当x=5时,100-2x=90>20,不合题意舍去; 当x=45时,100-2x=10, ∴AD的长为10m.
(2)设AD=y m,
此时y=-500×7+7 500=4 000(元).
答:第7个销售周期的销售收入最大,此时该产品每台的 销售价格是4 000元.
【明·技法】 二次函数在销售问题中的应用
步 骤
①读懂题意,借助销售问题中的利润等公式寻 找等量关系;②确定函数解析式;③确定二次 函数的最值,解决实际问题.
【易错提示】在求二次函数最值时,要注意实际问题中 自变量的取值的限制对最值的影响.
A.①④
B.①②
C.②③④
D.②③
2.(2019·山西中考)北中环桥是省城太原的一座跨汾 河大桥(如图1),它由五个高度不同,跨径也不同的抛物 线型钢拱通过吊桥,拉锁与主梁相连,最高的钢拱如图 2所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线) 在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A,B两 点,拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米),跨径为
【题组过关】 1.(2019·临沂中考)从地面竖直 向上抛出一小球,小球的高度h(单 位:m)与小球运动时间t(单位:s)之 间的函数关系如图所示.下列结论:
①小球在空中经过的路程是40 m;②小球抛出3秒后,速
度越来越快;③小球抛出3秒时速度为0;④小球的高度
h=30 m时,t=1.5 s.其中正确的是 ( D )
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【明·技法】 抛物线型实际问题解题的关键、技巧及注意问题 (1)解题的关键:进行二次函数建模,依据题意,建立合 适的平面直角坐标系,并利用抛物线的性质解决问题.
(2)解题技巧:所建立的坐标系能使所设的解析式形式 最简.
(3)注意问题:①题意分析不透,不能建立符合题意的函 数模型或所建立的函数模型不正确,导致解题错误; ②忽视了自变量的取值范围,造成错解;③由几何图形 中的线段的长转化为坐标系中点的坐标时,忽视了线段 所在的象限,造成符号错误.