最新函数及其表示知识点与题型归纳整理

1 ④若 f(x)＝|x－ 1|－ |x|，则 f f 2 ＝ 0.
其中正确判断的序号是 ________．
答案 : ②③ . |x|
解析： 对于①，由于函数 f(x)＝ x 的定义域为
1 {x|x∈R 且 x≠ 0，} 而函数 g(x)＝ －
x， 的定义
x
域是 R，所以二者不是同一函数；对于②，若 x＝1 不是
例 1．（ 2 ） ( 补充 ) 点 a,b 在映射 f 的作用下的象是
a b, a b ，则在映射 f 的作用下点 3,1 的原象是
答案： 2, 1
例 2. 《名师一号》 P11 高频考点 例 1 有以下判断：
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①f(x)＝ |xx|与 g(x)＝
1 －
x x
表示同一函数；
②函数 y＝f(x)的图象与直线 x＝1 的交点最多有 1 个； ③f(x)＝ x2－ 2x＋ 1 与 g(t)＝ t2－ 2t＋1 是同一函数；
y＝f(x)定义域内的值，则直线 x＝ 1 与 y＝f(x)的图象没有 交点，如果 x＝1 是 y＝ f(x)定义域内的值，由函数定义可 知，直线 x＝1 与 y＝f(x)的图象只有一个交点，即 y＝f(x) 的图象与直线 x＝ 1 最多有一个交点；对于③， f(x)与 g(t)
的定义域、值域和对应关系均相同，所以 f(x)和 g(t)表示
简而言之 1、函数是一类特殊的映射 ，是由一个非空数集到另一个
非空数集的映射。 f : x y 是 一对一 或多对一
●高考明方向 1. 了解构成 函数的要素 ，会 求 一些简单函数的
定义域和值域 ，了解 映射的概念 ． 2. 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当
的方法 ( 如 图象法、列表法、解析法 ) 表示函数 ． 3. 了解简单的 分段函数 ，并能简单地应用 .
★备考知考情 从近三年的高考试题看， 函数的表示方法多以选择题、
知识点三 分段函数 若函数在其定义域内，对于 自变量 x 的不同取值区
间，有着不同的对应法则 ，这样的函数通常叫做分段函 数．分段函数 虽然由几部分组成， 但它 表示的是一个函数 ．
（补充） 复合函数 y f g x
二、例题分析： （一 ) 映射与函数的概念 例 1．（ 1） ( 补充 )
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（ 1） A R ， B { y | y 0} ， f : x y | x |； （ 2） A { x | x 2, x N * } ， B y | y 0, y N ，
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就称 f：A→B 为集合 A 到集合 B 的一个函数， 记作 y＝f(x)， x∈A.其中， x 叫做 自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域 ，与 x 的值相对应的 y 值叫做函 数值， 函数值的集合 {f(x)|x∈A}叫做函数的值域 ． 显然，值域是集合 B 的子集．
从映射的角度看，函数是由一个 非空数集 到另一个 非空数集 的映射． 温馨提示： (1)A、B 都是非空数集 ，因此定义域 (或值域 )为空集的函 数不存在． (2)函数关系的判断要 注意 “每一个 ”、“都有 ”、“唯一 ”等关 键词． (3)注意 f(x)与 f(a)的区别 ， f(a)表示当 x＝a 时的函数值， 是一个常量；而 f(x)是关于 x 的函数，一般情况下是一个 变量， f(a)是 f(x)的一个特殊值．
填空题形式出现 ，高考命题仍将 集中在理解函数的概念 ， 会 求一些简单函数的定义域 ，而且经常 与其他知识结合考 查，如解不等式、能够利用解析式求函数值 ，并且 多以分 段函数形式给出 .
函数的图象 主要体现在选择与填空题中用 数形结合法解题和识图能力 ，大题常在应用题中 给 出图象求解析式．
一、知识梳理 《名师一号》 P10 知识点一 函数的基本概念 1、函数的概念：设 A、B 是非空的数集 ，如果按照某种 确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的 任意一个数 x，在 集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么
同一函数；对于④，由于
1 f2＝
12－1 －
1 2
＝ 0，所以
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1 f f 2 ＝f(0)＝ 1.
综上可知，正确的判断是②③ .
注意：《名师一号》 P11 高频考点 例 1 规律方法 函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定； 当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数 ， 值得注意的是，函数的对应关系是就效果而言的 ( 判断两 个函数的对应关系是否相同， 只要看对于函数定义域中任 意一个相同的自变量的值， 按照这两个对应关系算出的函 数值是否相同 ) ．
f : x y x2 2x 2 ；
（ 3） A { x | x 0} ， B { y | y R} ， f : x y
x．
上述三个对应
是 A 到 B 的映射．
答案：（2） 注意 ：( 补充 ) 判断对应是否为映射，即看 A 中元素是否满足 “每元有像”且“像唯一” ；即要 注意 ： ①允许 一对一 、多对一 ，但不允许一对多； ②B 中元素可有剩余（即允许 B 中有的元素没有原象） .
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中都有 唯一确定 的元素wk.baidu.com它对应，这样的对应关系 叫做从集合 A 到集合 B 的映射，记作 f：A→B. （补充） 象和原象：
给定一个集合 A 到 B 的映射，且 a∈A，b∈B， 如果元素 a 和元素 b 对应，那么我们把元素 b 叫做 元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象． 注意：《名师一号》 P11 问题探究 问题 2 函数与映射的区别与联系 (1) 函数是特殊的映射 ，其特殊性在于，集合 A 与集合 B 只能是非空数集， 即函数是非空数集 A 到非空数集 B 的映 射； (2) 映射不一定是函数 ，从 A 到 B 的一个映射，若 A，B 不 是数集，则这个映射便不是函数．
2、函数的构成要素： 定义域、对应关系和值域 由于值域是由定义域和对应关系决定的， 所以，如果两个 函数的 定义域 相同，并且 对应关系 完全一致， 我们就称这 两个函数 相等． 3、函数的表示法有： 解析法 、 列表法 、 图像法 知识点二 映射 映射的概念：
设 A、B 是两个集合，如果按照某种对应法 则 f，对于集合 A 中的 任何 一个元素，在集合 B