第9章__梁的挠度和刚度计算

4
3
7 梁两端的转角
ql 3 EIq A EIq |x 0 24 1 3 ql 2 ql 3 ql 3 EIq B EIq |x l ql l 6 4 24 24
例9.3 集中力下的简支梁，EI已知，求挠曲线方程 和转角方程，最大挠度及最大转角。
a 解：1 确定反力 2 求出弯矩方程 Fb M 1 x FAy x x x 0, a l Fb M2 x x F x a l x a, l 3 微分方程的积分 A F D B
l
2
b
2 2

例、试用积分法求图示梁的转角方程和挠曲线方程，并求 A 截面的转角和 C 截面的挠度。设 EI 常量。 解：1 确定反力
2 求出弯矩方程
1 M 1 x qx 2 2 1 3l M 2 x ql x 8 2 l x 0, 2 l 3l x , 2 2
1 3 EIw(0) PL C2 0 6
1 2 PL C1 0 2 1 3 1 2 C2 PL C1 PL 6 2 EIw(0)
弹性曲线方程
Px w( x ) (3L x ) 6 EI
最大挠度及最大转角 w
2
P L
x
q max
wmax
PL2 q ( L) 2 EI
A
l /2
B
l /2
C l /2
D
x
w
1 4 EIw1 qx C1 x D1 24 3 EIw 1 ql 3l x C x D 2 2 2 48 2
ql FB 8
l x 0, 2 l 3l x , 2 2
3 微分方程的积分
1 l EIw1 ( x ) M 1 x qx 2 x 0, 2 2 EIw( x ) M x 1 ql 3l x x l , 3l 2 2 8 2 2 2
1 l 4 l q C1 D1 0 2 24 2 1 4 l ql C2 D2 0 48 2 C 3l D 0 2 2 2 3 1 l 1 q C1 ql 3 C2 6 2 16 1 11 4 C1 ql 3 , D1 ql , 16 384 1 3 1 C2 ql , D2 ql 4 48 32
第9章 平面弯杆弯 曲 变 形与刚度计算
9.1 挠曲线 挠度和转角
9.2 挠曲线近似微分方程
9.3 积分法求梁的变形 9.4 叠加法求梁的变形 9.5 梁的刚度条件与合理刚度设计 9.6 用变形比较法解简单超静定梁
9.1 挠曲线 挠度和转角
1、梁的变形特点
平面假设 小变形（小挠度）
q
C
w(x) w(x) C1
* 注意问题
什么时候需要分段积分？ 如何确定极值？
A
L1 L2 P
C
B
例9.1 求等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转 角。 P 弯矩方程 L
M ( x) P( x L)
微分方程的积分
x
w 边界条件、连续条件
EIw( x) M ( x) P( L x)
1 EIw P( L x )2 C1 2 1 EIw P( L x )3 C1 x C2 6
wC1 q C1
B x
ql
+
wC 2 qC 2
B x
例9.5简支梁的EI已知，用叠加法求梁
M>0
d 2 w( x ) 0 2 dx
源自文库
1


2
w( x ) (1 w )
2 3 2
小变形

w( x )
o
w( x )
M<0
w 1
M z ( x) w( x ) EI z
d 2 w( x ) 0 2 dx x
M z ( x) w( x ) EI z
EIq A EIw1 0 q A 1 ql 3 16 EI
1 3 1 3 q0 ql 6 16
1 3l 1 1 EIy2 l ql l ql 3l ql 4 48 2 32 48 1 41 3 ql 1 48 2 8 1 yC y 2 l ql 4 128 EI
挠曲线
P
x
挠曲线方程
挠曲线：梁弯曲后，梁轴线所成的曲线 挠度：梁截面形心在垂直于梁的初始轴线方向的位移 转角：梁截面相对于变形前的位置转过的角度
w w( x )
dy q tan q dx
符号给定：
正值的挠度向下，负值的向上；正值的 转角为顺时针转相，负值的位逆时针转向
2，意义
工业厂房钢筋混凝土吊梁
EIw( x ) ( M ( x )dx )dx C1 x C2
2、边界条件、连续条件
A
a
L
P
C
B
x 0, w 0
x
x L, w 0
x a , w1 w 2
w
P D
x 0, w 0
L
w
x
x 0, w1 q 1 0
EIw( x) M ( x)
挠曲线近似微分方程
EIw( x ) M ( x )
M z ( x) EI z 1
* 思考：
1、 M 常量 若
2、 M M（x） 若
9.3 积分法求梁的变形
1、挠曲线方程（弹性曲线）
EIw( x) M ( x)
EIw( x ) M ( x )dx C1
Fab EIq A EIq |x 0 l b 6l Fab EIq B EIq |x l l a 6l if a b then Fab q max q B l a 6lEI if a b then
q max
Fl 2 16 EI
5ql 4 ql 3 wC1 , q B1 384 EI 24 EI
x
w
q
L
=
集中力偶单独作用时 A
ql 4 ql 3 wC 2 , qB2 16 EI 3EI w 叠加 19 ql 4 wC wC1 wC 2 A 384 EI 7 ql 3 q B q B1 q B 2 24 EI w
3
9.4 叠加法求梁的变形
在小变形条件下，材料服从虎克定律
内力(Q、M )与外力(q、P、M 0)成线性关系
几个载荷共同作用的变形 === 各个载荷单独作用的变形之和
叠加原理
例9.4
简支梁的EI已知，用叠加法
q
B
wmax
ql
求梁跨中截面的位移和支座B的转角。 A
载荷分解如图 均布载荷单独作用时
PL3 w( L) 3EI
例9.2 均布荷载下的简支梁，EI已知，求挠度及两端 q0 截面的转角。
解：1 确定反力 2 求出弯矩方程 ql 1 2 M x x qx 2 2 3 微分方程的积分
A
wmax
B x
ql FB 2
w ql FA 2
L
1 2 ql EIw( x ) M x qx x 2 2 EIw(l ) 0
EIw1 (a ) EIw2 (a ) EIw1 (a ) EIw2 (a )
积分成数为
C1 C2 D1D2
Fb 3 EIw1 x C1 x D1 6l Fb 3 1 3 EIw2 x F x a 6l 6 C2 x D2
D1 D2 0 C1 C2 Fb 2 l b2 6l
6 最大挠度
when
w1 0
Fb 2 Fb 2 x l b2 0 2l 6l
a l b l 2 b2 x 3 3 if a b then x a Fb wmax w1 ( x ) 9 3EIl if a b then x a wmax Fl 3 48EI
1 3 ql 2 qx x C1 6 4 1 4 ql 3 EIw qx x C1 x D1 24 12 EIw
4 边界条件、连续条件 EIw(0) 0 D1 0
1 4 ql 3 ql l C1l D1 0 24 12
ql 2 D1 24
5 梁的转角方程和挠曲线方程
5 梁的转角方程和挠曲线方程
1 1 EIw1 qx 3 ql 3 6 16 2 EIw 1 ql 3l x 1 ql 3 2 16 2 48 1 4 1 3 11 4 EIw1 qx ql x ql 24 16 384 3 EIw 1 ql 3l x 1 ql 3 x 1 ql 4 2 48 2 32 48 l x 0, 2 l 3l x , 2 2 l x 0, 2 l 3l x , 2 2
1 EIw1 qx 3 C1 6 2 EIw 1 ql 3l x C 2 2 16 2 l x 0, 2 l 3l x , 2 2
4 边界条件、连续条件
l l 3l w1 ( ) w2 ( ) w2 ( ) 0 2 2 2 l l EIw1 ( ) EIw2 ( ) 2 2
L L [f ] ~ 500 600
普通机车主轴
[q ] 0.3
0
3，影响变形的因素
L 10时, Q的影响只有M的3% h
由小变形条件，x不计
4，计算变形的方法
积分法、 叠加法、 能量法、
………
9.2 挠曲线近似微分方程
1、挠曲线近似微分方程
M z ( x) EI z 1
l
Fb FB l Fa FB l
Fb EIw1 ( x ) M 1 x x l Fb EIw2 ( x ) M 2 x x F x a l
积分一次：
4 边界条件、连续条件
边界条件 Fb 2 EIw1 (0) 0 D1 0 EIw1 x C1 2l Fb 3 1 3 EIw2 (l ) 0 l F l a Fb 2 1 2 6l 6 EIw2 x F x a C2 2l 2 C2l D2 0 连续条件 再积分一次：
1 3 ql 2 ql 3 EIq qx x 6 4 24 1 4 ql 3 ql 3 EIw qx x x 24 12 24
6 梁的最大挠度：根据对称性
EIwmax
1 l ql l ql 3 l 5ql 2 EIw | l q 24 2 12 2 24 2 384 EI 2
5 梁的转角方程和挠曲线方程
6 最大转角
Fb 2 Fb 2 EIw1 x l b2 2l 6l Fb 2 1 2 EIw2 x F x a 2l 2 Fb 2 l b2 6l
Fb 3 Fb 2 EIw1 x l b2 x 6l 6l Fb 3 1 3 EIw2 x F x a 6l 6 Fb 2 l b2 x 6l