人教全国数学中考复习方案圆的有关性优秀课件
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弧
总结
简言之，对于①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④ 平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中的任意
两条结论成立，那么其他的结论也成立
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第28讲┃ 考点聚焦 考点6 圆心角、弧、弦之间的关系
定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对 的__弧____相等，所对的__弦____相等
推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角﹑ 两条弧或两条弦中有一组量相等，那 么它们所对应的其余各组量也分别相
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第28讲┃ 归类示例
垂径定理及其推论是证明两线段相等，两条弧相等 及两直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距 的计算中常常需要作垂直于弦的线段，构造直角三角 形．
第18页/共28页
第28讲┃ 归类示例
► 类型之三 圆心角、弧、弦之间的关系
命题角度： 在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系． 例3 [2011·济宁] 如图28－2，AD为△ABC外接圆的直 径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E， 连接BD、CD. (1)求证：BD＝CD； (2)请判断B、E、C三点是否在以D为圆心，以DB为半径 的圆上？并说明理由．
半圆(或直径)所对的圆周角是_直__角___；90° 的圆周角所对的弦是__直__径__
如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是__直__角____三角形
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第28讲┃ 考点聚焦 考点8 圆内接多边形
圆内接四边形
如果一个多边形的所有顶点 都在同一个圆上，这个多边 形叫做圆内接多边形．这个 圆叫做这个多边形的外接圆
形的外部
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第28讲┃ 考点聚焦 考点4 圆的对称性 圆既是一个轴对称图形又是一个___中__心___对称图形 ，圆还具有旋转不变性．
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第28讲┃ 考点聚焦
考点5 垂径定理及其推论
垂径定 理
垂直于弦的直径平__分__弦__，并且平分弦所对的两条弧
推论
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分 弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心， 并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条 弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条
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第28讲┃圆的有关性
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第28讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 圆的有关概念
圆的 定义ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定义1：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个 端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做
圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径
定义2：圆是到定点的距离等于定长的点的集合
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圆内接四边形 的性质
圆内接四边形的对__角__互__补
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第28讲┃ 考点聚焦 考点9 反证法
定义 步骤
不直接从命题的已知得出结论，而是 假设命题的结论不成立，由此经过推 理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不 正确，从而得到原命题成立，这种方
法叫做反证法
(1)假设命题的结论不正确，即提出与 命题结论相反的假设
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第28讲┃ 归类示例
[解析] 直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，那么半径为斜 边的一半，分两种情况：
①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为 8；
②当两条直角边长分别为16和12时，则直角三角形的斜边长＝ 162＋122＝20，
因此这个三角形的外接圆半径为10. 综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10.
第28讲┃ 考点聚焦
弦
直径 弧
优弧 劣弧
连接圆上任意两点的__线__段____叫做弦
经过圆心的弦叫做直径 圆上任意两点间的部分叫做弧
大于半圆的弧叫做优弧 小于半圆的弧叫做劣弧
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第28讲┃ 考点聚焦 考点2 点和圆的位置关系
点在圆外⇔__d_>_r____
如果圆的半径是r，点 到圆心的距离是d，那
等
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第28讲┃ 考点聚焦
考点7 圆周角
圆周角 定义
圆周角 定理
推论1
推论2
推论3
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做 圆周角
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 __相__等____，都等于该弧所对的圆心角的 _一__半_____
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧 _相__等___
(2)从假设的结论出发，推出矛盾 (3)由矛盾的结果说明假设不成立，从
而肯定原命题的结论正确
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第28讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 确定圆的条件 命题角度： 1. 确定圆的圆心、半径； 2. 三角形的外接圆圆心的性质．
例1 [2012·资阳] 直角三角形的两边长分别为16和12，则此三 角形的外接圆半径是___1_0_或__8_．
么
点在圆上⇔___d_=_r___
点在圆内⇔__d_<_r____
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第28讲┃ 考点聚焦 考点3 确定圆的条件及相关概念
确定圆 的条件 三角形的
外心
防错提醒
不在同一直线的三个点确定一个圆
三角形三边垂__直__平_分__线_的交点，即三 角形外接圆的圆心
锐角三角形的外心在三角形的内部， 直角三角形的外心在直角三角形的 斜边上，钝角三角形的外心在三角
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图28－2
第28讲┃ 归类示例
[解析] (1)根据垂径定理和同圆或等圆中等弧对等弦证明 ；(2)利用同弧所对的圆周角相等和等腰三角形的判定证明DB ＝DE＝DC. 解：(1)证明：∵AD为直径，AD⊥BC， ∴BD＝CD.∴BD＝CD. (2)B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上. 理由：由(1)知：BD＝CD，∴∠BAD＝∠CBD. ∵∠DBE＝∠CBD＋∠CBE，∠DEB＝∠BAD＋∠ABE，∠CBE＝∠ABE， ∴∠DBE＝∠DEB.∴DB＝DE. 由(1)知：BD＝CD，∴DB＝DE＝DC. ∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.
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第28讲┃ 归类示例
(1)过不在同一条直线上的三个点作圆时，只需由 两条线段的垂直平分线确定圆心即可，没有必要 作出第三条线段的垂直平分线．事实上，三条垂 直平分线交于同一点． (2)直角三角形的外接圆是以斜边为直径的圆．
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第28讲┃ 归类示例
► 类型之二 垂径定理及其推论 命题角度： 1. 垂径定理的应用； 2. 垂径定理的推论的应用．
例2 [2012·台州] 把球放在长方体纸盒内，球的一
部分露出盒外，其截面如图28－1所示，已知EF＝CD
＝16厘米，则球的半径为______1_0_厘米．
图28－1
第16页/共28页
第28讲┃ 归类示例
[解析] 首先找到EF的中点M，作MN⊥AD于点M，分别交圆 于G、N两点，取GN的中点O，连接OF，设OF＝x，则OM＝ 16－x，MF＝8.在直角三角形OMF中，OM2＋MF2＝OF2， 即(16－x)2＋82＝x2， 解得x＝10.
总结
简言之，对于①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④ 平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中的任意
两条结论成立，那么其他的结论也成立
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第28讲┃ 考点聚焦 考点6 圆心角、弧、弦之间的关系
定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对 的__弧____相等，所对的__弦____相等
推论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角﹑ 两条弧或两条弦中有一组量相等，那 么它们所对应的其余各组量也分别相
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第28讲┃ 归类示例
垂径定理及其推论是证明两线段相等，两条弧相等 及两直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距 的计算中常常需要作垂直于弦的线段，构造直角三角 形．
第18页/共28页
第28讲┃ 归类示例
► 类型之三 圆心角、弧、弦之间的关系
命题角度： 在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系． 例3 [2011·济宁] 如图28－2，AD为△ABC外接圆的直 径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E， 连接BD、CD. (1)求证：BD＝CD； (2)请判断B、E、C三点是否在以D为圆心，以DB为半径 的圆上？并说明理由．
半圆(或直径)所对的圆周角是_直__角___；90° 的圆周角所对的弦是__直__径__
如果三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是__直__角____三角形
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第28讲┃ 考点聚焦 考点8 圆内接多边形
圆内接四边形
如果一个多边形的所有顶点 都在同一个圆上，这个多边 形叫做圆内接多边形．这个 圆叫做这个多边形的外接圆
形的外部
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第28讲┃ 考点聚焦 考点4 圆的对称性 圆既是一个轴对称图形又是一个___中__心___对称图形 ，圆还具有旋转不变性．
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第28讲┃ 考点聚焦
考点5 垂径定理及其推论
垂径定 理
垂直于弦的直径平__分__弦__，并且平分弦所对的两条弧
推论
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分 弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心， 并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条 弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条
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第28讲┃圆的有关性
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第28讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 圆的有关概念
圆的 定义ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定义1：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个 端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做
圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径
定义2：圆是到定点的距离等于定长的点的集合
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圆内接四边形 的性质
圆内接四边形的对__角__互__补
第11页/共28页
第28讲┃ 考点聚焦 考点9 反证法
定义 步骤
不直接从命题的已知得出结论，而是 假设命题的结论不成立，由此经过推 理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不 正确，从而得到原命题成立，这种方
法叫做反证法
(1)假设命题的结论不正确，即提出与 命题结论相反的假设
第13页/共28页
第28讲┃ 归类示例
[解析] 直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，那么半径为斜 边的一半，分两种情况：
①当直角三角形的斜边长为16时，这个三角形的外接圆半径为 8；
②当两条直角边长分别为16和12时，则直角三角形的斜边长＝ 162＋122＝20，
因此这个三角形的外接圆半径为10. 综上所述：这个三角形的外接圆半径等于8或10.
第28讲┃ 考点聚焦
弦
直径 弧
优弧 劣弧
连接圆上任意两点的__线__段____叫做弦
经过圆心的弦叫做直径 圆上任意两点间的部分叫做弧
大于半圆的弧叫做优弧 小于半圆的弧叫做劣弧
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第28讲┃ 考点聚焦 考点2 点和圆的位置关系
点在圆外⇔__d_>_r____
如果圆的半径是r，点 到圆心的距离是d，那
等
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第28讲┃ 考点聚焦
考点7 圆周角
圆周角 定义
圆周角 定理
推论1
推论2
推论3
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做 圆周角
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 __相__等____，都等于该弧所对的圆心角的 _一__半_____
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧 _相__等___
(2)从假设的结论出发，推出矛盾 (3)由矛盾的结果说明假设不成立，从
而肯定原命题的结论正确
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第28讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 确定圆的条件 命题角度： 1. 确定圆的圆心、半径； 2. 三角形的外接圆圆心的性质．
例1 [2012·资阳] 直角三角形的两边长分别为16和12，则此三 角形的外接圆半径是___1_0_或__8_．
么
点在圆上⇔___d_=_r___
点在圆内⇔__d_<_r____
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第28讲┃ 考点聚焦 考点3 确定圆的条件及相关概念
确定圆 的条件 三角形的
外心
防错提醒
不在同一直线的三个点确定一个圆
三角形三边垂__直__平_分__线_的交点，即三 角形外接圆的圆心
锐角三角形的外心在三角形的内部， 直角三角形的外心在直角三角形的 斜边上，钝角三角形的外心在三角
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图28－2
第28讲┃ 归类示例
[解析] (1)根据垂径定理和同圆或等圆中等弧对等弦证明 ；(2)利用同弧所对的圆周角相等和等腰三角形的判定证明DB ＝DE＝DC. 解：(1)证明：∵AD为直径，AD⊥BC， ∴BD＝CD.∴BD＝CD. (2)B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上. 理由：由(1)知：BD＝CD，∴∠BAD＝∠CBD. ∵∠DBE＝∠CBD＋∠CBE，∠DEB＝∠BAD＋∠ABE，∠CBE＝∠ABE， ∴∠DBE＝∠DEB.∴DB＝DE. 由(1)知：BD＝CD，∴DB＝DE＝DC. ∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.
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第28讲┃ 归类示例
(1)过不在同一条直线上的三个点作圆时，只需由 两条线段的垂直平分线确定圆心即可，没有必要 作出第三条线段的垂直平分线．事实上，三条垂 直平分线交于同一点． (2)直角三角形的外接圆是以斜边为直径的圆．
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第28讲┃ 归类示例
► 类型之二 垂径定理及其推论 命题角度： 1. 垂径定理的应用； 2. 垂径定理的推论的应用．
例2 [2012·台州] 把球放在长方体纸盒内，球的一
部分露出盒外，其截面如图28－1所示，已知EF＝CD
＝16厘米，则球的半径为______1_0_厘米．
图28－1
第16页/共28页
第28讲┃ 归类示例
[解析] 首先找到EF的中点M，作MN⊥AD于点M，分别交圆 于G、N两点，取GN的中点O，连接OF，设OF＝x，则OM＝ 16－x，MF＝8.在直角三角形OMF中，OM2＋MF2＝OF2， 即(16－x)2＋82＝x2， 解得x＝10.