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③如果在非封闭线路的两端都不要植树，那么： 株数＝段数－1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数＋1) 株距＝全长÷(株数＋1) (2)封闭线路上的植树问题的数量关系： 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数
3. 鸡兔同笼问题 (1)假设全是鸡，则有： 兔的只数＝(总足数－总头数×2)÷2 鸡的只数＝总头数－兔的只数 (2)假设全是兔，则有： 鸡的只数＝(总头数×4－总足数)÷2 兔的只数＝总头数－鸡的只数
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题型四
【例4】32只鸽子飞回7个鸽舍，至少有( 进同一个鸽舍。
)只鸽子要飞
精析：把7个鸽舍看作7个抽屉，把32个鸽子看作32个元 素，那么每个抽屉需要放32÷7＝4……4(个)，所以每个 抽屉需要放4个，剩下的4个不论怎么放，总有一个抽屉 里至少有4＋1＝5(个)。所以，至少有一个鸽舍要飞进5 只鸽子。
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举一反三 1. 妈妈做早饭的过程及时间如下：洗锅(1分钟)、淘米
(1分钟)、熬粥(20分钟)，洗菜切菜(5分钟)、炒菜(3分 钟)、盛粥(1分钟)。妈妈做这顿早饭至少需要( 23 ) 分钟。 2. 小明妈妈用一只平底锅煎饼，锅里只能同时放2张饼， 烙熟一面需要3分钟。现在需要烙5张饼，最少需要 ( 15 )分钟。
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典例精析及训练
题型一 【例1】星期六，丽丽在家做家务。整理房间要8分钟， 烧开水要20分钟，洗衣服要12分钟，泡茶要1分钟，丽 丽做完这些家务最少需要( )分钟。
精析：本题属于优化问题，根据题干，烧开水要20分钟， 烧开水的同时可以完成整理房间和洗衣服两件事情，最 后泡茶1分钟。所以做完这些家务最少需要21分钟。 答案：21
4. 优化 (1)烙饼问题： 一般的解决方法： 公式：烙饼总时间＝每次烙的时间×[(2×烙饼总数)÷ 每次烙的饼数] 如每次可以同时烙3张饼，每次要烙5分钟，要烙9张饼 的时间是5×[(2×9)÷3]＝30(分) 特殊的解决方法： 如果用公式除不尽的话，就要先算出烙的次数，再乘 每次烙的时间。
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5. 找次品 找次品的最优策略： (1)把待测物品分成3份； (2)能够平均分成3份就平均分成三份，尽量平均分，如 果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相 差1。如9(3,3,3)；不能平均分成3份的，要使3份分得尽 量平均，如7(2,2,3)。
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(51－1)×45＝2250(米)＝2.25千米 3分钟＝ 2 1 0 小时 2.25÷ 1 ＝45(千米/小时)
20
答：火车行进的速度是每小时45千米。
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题型三 【例3】9个小球，其中8个一样重，1个比其他的轻是次 品，用天平称，至少称 ( ) 次就可以找出次品。 精析：第一步：把9个球分成3份，每份3个，任取两份 放在天平上。若平衡，则取剩下的3个做第二步分析； 若不平衡，则取较轻的3个做第二步分析。第二步：取3 个球分成3份，每份1个，任取两个放在天平两端。若平 衡，则剩下1个为次品；若不平衡，轻一个就是次品。 答案：2
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举一反三 6. 有10 瓶钙片，其中一瓶被吃了5片。用天平称，至少
称( 3 )次能保证找出被吃了5片的那瓶。 7. 有30个零件中混进一个较轻的，最少称( 4 )次可
以保证找出那个较轻的。 8. 有15盒饼干，其中的14盒质量相同，另一盒少了几
块。如果用天平称，至少( 3 )次可以保证找出较 轻的那一盒。
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6. 鸽巢问题 鸽巢问题又称抽屉原理。抽屉原理形式： 形式一：把m个物体任意分放进n个空抽屉里(m＞n，n 是非0自然数)，那么一定有一个抽屉中放进了至少2个 物体。 形式二：把多于kn个物体任意分放进n个空抽屉里(k是 正整数)，那么一定有一个抽屉中放进了至少(k＋1)个 物体。
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举一反三 4. 一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵
白杨树，一共能栽多少棵白杨树？
400÷4＝100(棵) 答：一共能栽100棵白杨树。
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5. 在铁路ຫໍສະໝຸດ Baidu旁，每隔45米有一根电线杆，某旅客在行 进的火车里，从经过第1根电线杆到第51根电线杆， 恰好过了3分钟，火车行进的速度是每小时多少千米？
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3. 小猪、小羊和乌龟要过一座独木桥。每次只允许一 只动物过桥，小猪需要5分钟，乌龟需要8分钟，小羊 需要3分钟。要使三只小动物等候的时间最短，应该 让 ( 小羊 )先过，( 小猪 )再过，( 乌龟 )最后过。
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题型二 【例2】园林工人在一条长240米的公路两侧，每隔6米 种一棵树(两端都要种)，一共要种多少棵树？ 精析：这是非封闭线路的植树问题，两端都要种，则根 据棵数＝全长÷株距＋1可得公路一侧要种的树的棵数， 因为两侧都要种，所以还要将所得的数乘以2才能得出 答案。 解：240÷6＋1＝41(棵) 41×2＝82(棵) 答：一共要种82棵树。
如每次可以同时烙3张饼，每次要烙5分钟，要烙7张饼 的话，要先算出烙的次数＝(2×7)÷3＝4次……2面， 即4＋1＝5次，共25分钟。 问题本质：烙饼问题其实是统筹方法的一个分支，其 实质是利用好烙锅的容量空间，使每次烙的效率最高。 (2)统筹安排时间问题： 原则有两个：其一，“分清先后”——找出事物发生 的必然先后顺序；其二，“同时进行”——在做不需 要人照看的事的同时做其他事，这样就可以节约时间。 (3)排队的学问：先快后慢，先时间短的再时间长的， 这样可以使总的等待时间最短。
第八章 数学广角
知识要点梳理
1. 推理 常用的推理方法有：直接推理判断、排除法、假设法、 列表法、图解法。
2. 植树问题 (1)非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形： ①路的两端都要植树，那么： 株数＝段数＋1＝全长÷株距＋1 全长＝株距×(株数－1) 株距＝全长÷(株数－1) ②路的一端植树，另一端不植树，那么： 株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数