四川省成都市2020年中考数学模拟卷五含解析
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中考数学模拟卷(五)
A 卷(共100分) 第Ⅰ卷(共30分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(2019·浙江中考模拟)﹣8的相反数是( ) A .-8 B .
1
8
C .8
D .18
-
【答案】C 【解析】 -8的相反数是8, 故选C . 【点睛】
此题主要考查了相反数,关键是掌握相反数的定义.
2.(2019·浙江中考模拟)如图所示的几何体的主视图为( )
A .
B .
C .
D .
【答案】B 【解析】
所给几何体是由两个长方体上下放置组合而成,所以其主视图也是上下两个长方形组合而成,且上下两个长方形的宽的长度相同. 故选B. 【点睛】
本题考查了三视图知识.
3.(2019·山东中考模拟)2018年双十一天猫购物狂欢节的成交额达到了2135亿元,2135亿元用科学记数法表示为( ) A .102.13510⨯ B .1021.3510⨯
C .112.13510⨯
D .122.13510⨯
【答案】C
【解析】
2135亿元=213500000000元=112.13510 元. 故选C. 【点睛】
此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式,其中1≤|a |<10,n 为整数,表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值.
4.(2019·浙江中考模拟)下列运算中,计算结果正确的是( ) A .a 4•a =a 4 B .a 6÷a 3=a 2
C .(a 3)2=a 6
D .(ab )3=a 3b
【答案】C 【解析】
A 、a 4•a =a 5,故此选项错误;
B 、a 6÷a 3=a 3,故此选项错误;
C 、(a 3)2=a 6,正确;
D 、(ab )3=a 3b 3,故此选项错误;
故选C . 【点睛】
此题主要考查幂的运算,解题的关键是熟知幂的运算公式. 5.(2019·黑龙江中考模拟)下列说法正确的是( ) A .菱形都相似 B .正六边形都相似
C .矩形都相似
D .一个内角为80°的等腰三角形都相似
【答案】B 【解析】
解:A 、所有的菱形,边长相等,所以对应边成比例,角不一定对应相等,所以不一定都相似,故本选项错误;
B 、所有的正六边形,边长相等,所以对应边成比例,角都是120o ,相等,所以都相似,故本选项正确;
C 、所有的矩形,对应角的度数一定相同,但对应边的比值不一定相等,故本选项错误;
D 、一个内角为80o 的等腰三角形可能是顶角80o 也可能是底角是80o ,无法判断,此选项错误; 故选B . 【点睛】
本题考查的是相似图形的识别,相似图形的形状相同,但大小不一定相同.
6.(2019·上海中考模拟)如图,已知数轴上的点A 、B 表示的实数分别为a ,b ,那么下列等式成立的是( )
A .a b a b +=-
B .a b a b +=--
C .a b b a +=-
D .a b a b +=+
【答案】B 【解析】
∵b<0<a ,|b|>|a|, ∴a+b<0, ∴|a+b|= -a-b . 故选B . 【点睛】
此题主要考查了实数与数轴的特征和应用,以及绝对值的含义和求法,要熟练掌握.
7.(2019·河南中考模拟)若关于x 的一元二次方程kx 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根,则实数k 的取值范围是( ) A .k >1 B .k <1 C .k >1且k≠0 D .k <1且k≠0
【答案】D 【解析】
∵关于x 的一元二次方程kx 2
﹣2x +1=0有两个不相等的实数根, ∴k ≠0且△>0,即(﹣2)2﹣4×k ×1>0, 解得k <1且k ≠0.
∴k 的取值范围为k <1且k ≠0. 故选D . 【点睛】
本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式△=b 2﹣4ac :当△>0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数根.也考查了一元二次方程的定义. 8.(2019·四川中考模拟)将直线23y x =-向右平移2个单位,再向上平移3个单位后,所得的直线的表达式为( )
A .24y x =-
B .24y x =+
C .22y x =+
D .22y x =-
【答案】A 【解析】
由“左加右减”的原则可知,将直线y=2x-3向右平移2个单位后所得函数解析式为y=2(x-2)-3=2x-7,由“上加下减”原则可知,将直线y=2x-7向上平移3个单位后所得函数解析式为y=2x-7+3=2x-4, 故选A.
【点睛】本题考查了一次函数的平移,熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.
9.(2019·江苏中考模拟)如图,在⊙O 中,点A 、B 、C 在⊙O 上,且∠ACB=110°,则∠α=( )
A .70°
B .110°
C .120°
D .140°
【答案】D 【解析】
解:作»AB 所对的圆周角∠ADB ,如图, ∵∠ACB +∠ADB =180°, ∴∠ADB =180°﹣110°=70°, ∴∠AOB =2∠ADB =140°. 故选D .
【点睛】
本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半
10.(2019·上海中考模拟)已知抛物线y =ax 2+bx +c 上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表:
①抛物线开口向下②抛物线的对称轴为直线x=﹣1③m的值为0④图象不经过第三象限
上述结论中正确的是()
A.①④B.②④C.③④D.②③
【答案】C
【解析】
由表格中数据可知,x=-1时,y=3,x=3时,y=3,x=1时,y=-1,
①抛物线的开口向上,故错误;
②抛物线的对称轴是x=1,故错误;
③根据对称性可知,抛物线的对称轴是x=1,点(0,0)的对称点为(2,0),即抛物线一定经过点(2,0),所以m=0,故正确;
④由以上分析可知抛物线开口向上,对称轴在y轴右侧,经过原点,所以图象不经过第三象限,故正确,正确的有③④ ,
故选C.
【点睛】
本题考查了二次函数的性质.要熟练掌握函数的特殊值对应的特殊点.解题关键是根据表格中数据找到对称性以及数据的特点求出对称轴,图象与x,y轴的交点坐标等.
第Ⅱ卷(共70分)
二、填空题(每题4分,满分16分,将答案填在答题纸上)
11.(2019·辽宁中考模拟)分解因式:x2﹣9=_____.
【答案】(x+3)(x﹣3).
【解析】
解:x2﹣9=(x+3)(x﹣3).
故答案为(x+3)(x﹣3).
【点睛】
主要考查平方差公式分解因式,熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征,即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法.
12.(2019·辽宁中考模拟)如图,已知AB∥CF,E为DF的中点,若AB=8,CF=5,则BD=_______.
【答案】3
【解析】
∵AB//CF,∴∠A=∠FCE,∠ADE=∠F,又∵DE=FE,∴△ADE≌△CFE,
∴AD=CF=5,
∵AB=8,∴BD=AB-AD=8-5=3,
故答案为3.
13.(2019·辽宁中考模拟)如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果.那么,这名球员投篮一次,投中的概率约为(精确到0.1).
投篮次数(n)50 100 150 200 250 300 500
投中次数(m)28 60 78 104 123 152 251
投中频率(m/n)0.56 0.60 0.52 0.52 0.49 0.51 0.50
【答案】0.5
【解析】
由题意得,这名球员投篮的次数为1550次,投中的次数为796,故这名球员投篮一次,投中的概率约为:796
≈0.5.
1550
故答案为0.5.
考点:利用频率估计概率.
14.(2019·北京中考模拟)如图,在平行四边形ABCD中,E是边AB的中点,连接DE交对角线AC于点F,若CF=6,则AF的长为_____.
【答案】3 【解析】
解:∵四边形ABCD 为平行四边形, ∴AB∥CD,AB =CD , ∵E 是边AB 的中点, ∴AE=
12AB =1
2
CD , ∵AB∥CD, ∴△AEF∽△CDF, ∴
12
AF AE CF CD ==, ∵CF=6, ∴AF=3, 故答案为:3. 【点睛】
本题考查了平行四边形的性质,相似三角形的判定与性质等,解题关键是掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质.
三、解答题 (本大题共6小题,共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(1)(2019·安徽中考模拟)计算:)
2
14602⎛⎫
-+︒ ⎪⎝⎭
【答案】3
4
-- 【解析】
原式114=
--+3
4
=--
【点睛】
本题考查实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值,熟练掌握零指数幂、二次根式、平方等考点的运算. (2)(2019·广东中考模拟)解方程组:4311
213
x y x y -=⎧⎨
+=⎩.
【答案】5
{
3
x y ==. 【解析】:4x-3y 11,
2x y 13.=⎧⎨+=⎩
①②
①-②×2,得:y=3 ③ 把③代入②,得x=5
所以,方程组的解为5
3x y =⎧⎨=⎩
16.(2019·江苏中考模拟)先化简()22
2a 2
a 1
a 1a 1a 2a 1
+-÷++--+,然后a 在﹣1、1、2三个数中任选一个合适的数代入求值. 【答案】5 【解析】
解:原式=()
()()()
2
2a 1a 1a 112a 1a 3
a 1a 1a 1a 1a 1a 1++-++⋅+=+=-+----. 取a=2,原式23
521
+=
=-. 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再选取合适的a 的值(使分式的分母和除式不为0)代入进行计算即可.
17.(2019·黑龙江中考模拟)“校园诗歌大赛”结束后,张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成绩(得分均为整数)进行整理,并分别绘制成扇形统计图和频数直方图部分信息如下:
(1)本次比赛参赛选手共有 人,扇形统计图中“69.5~79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为 ;
(2)赛前规定,成绩由高到低前60%的参赛选手获奖.某参赛选手的比赛成绩为78分,试判断他能否获奖,
并说明理由;
(3)成绩前四名是2名男生和2名女生,若从他们中任选2人作为获奖代表发言,试求恰好选中1男1女的概率.
【答案】(1)50,30%;(2)不能,理由见解析;(3)P=2 3
【解析】
1)本次比赛选手共有(2+3)÷10%=50(人),
“89.5~99.5”这一组人数占百分比为:(8+4)÷50×100%=24%,
所以“69.5~79.5”这一组人数占总人数的百分比为:1-10%-24%-36%=30%,
故答案为50,30%;
(2)不能;由统计图知,79.5~89.5和89.5~99.5两组占参赛选手60%,而78<79.5,所以他不能获奖;
(3)由题意得树状图如下
由树状图知,共有12种等可能结果,其中恰好选中1男1女的共有8种结果,故P=
8
12
=
2
3
.
【点睛】本题考查了直方图、扇形图、概率,结合统计图找到必要信息进行解题是关键. 18.(2019·河南中考模拟)如图,BC是路边坡角为30°,长为10米的一道斜坡,在坡顶灯杆CD的顶端D 处有一探射灯,射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°(图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内,CM∥AN).
(1)求灯杆CD的高度;
(2)求AB的长度(结果精确到0.1米).(参考数据:3=1.73.sin37°≈060,cos37°≈0.80,
tan37°≈0.75)
【答案】(1)10米;(2)11.4米
【解析】
(1)如图,延长DC 交AN 于H ,
∵∠DBH=60°,∠DHB=90°, ∴∠BDH=30°, ∵∠CBH=30°, ∴∠CBD=∠BDC=30°, ∴BC=CD=10(米); (2)在Rt△BCH 中,CH=1
2
BC=5,BH=53≈8.65, ∴DH=15, 在Rt△ADH 中,AH=
tan 37DH ︒≈15
0.75
=20,
∴AB=AH﹣BH=20﹣8.65=11.4(米). 【点睛】
本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.
19.(2019·浙江中考模拟)如图,已知点D 在反比例函数a
y x
=
的图象上,过点D 作DB y ⊥轴,垂足为(0,3)B ,直线y kx b =+经过点(5,0)A ,与y 轴交于点C ,且BD OC =,:2:5OC OA =.
(1)求反比例函数a
y x
=
和一次函数y kx b =+的表达式;
(2)直接写出关于x 的不等式a kx b x >+的解集. 【答案】(1)y=-
6x .y=25
x-2.(2)x <0. 【解析】 (1)∵BD OC =,:2:5OC OA =, 点A (5,0),点B (0,3),
∴523OA OC BD OB ====,,,
又∵点C 在y 轴负半轴,点D 在第二象限,
∴点C 的坐标为(0,-2),点D 的坐标为(-2,3).
∵点()23D -,
在反比例函数y =a x 的图象上, ∴236a =-⨯=-,
∴反比例函数的表达式为6y x
=-
将A (5,0)、B (0,-2)代入y=kx+b ,
502k b b +⎧⎨-⎩==,解得:252k b ⎧⎪⎨⎪-⎩
== ∴一次函数的表达式为2y x 25
=
-. (2)将2y x 25=-代入6y x =-,整理得: 222605
x x -+=, ∵()2228246055=--⨯⨯=-<V , ∴一次函数图象与反比例函数图象无交点.
观察图形,可知:当x <0时,反比例函数图象在一次函数图象上方,
∴不等式a x
>kx +b 的解集为x <0. 点睛:本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题:求反比例函数与一次函数的交点坐标,把两个函数关系式联立成方程组求解,若方程组有解则两者有交点,方程组无解,则两者无交点.
20.(2019·湖北中考模拟)如图,PA、PB是⊙O的切线,A,B为切点,D为⊙O上一点.(1)求证:∠P=180°﹣2∠D;
(2)如图,PE∥BD交AD于点E,若DE=2AE,tan∠OPE=1
3
,⊙O的半径为210,求AE的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)4
【解析】
(1)证明:如图1,连接OA,OB,
∵PA,PB为⊙O的切线,
∴∠OAP=∠OBP=90°,
∴∠P=360°﹣90°﹣90°﹣∠AOB=180°﹣∠AOB,
∵∠AOB=2∠D,
∴∠P=180°﹣2∠D;
(2)
如图2,过点O作OG⊥AD,连接OB,OE,连接OA交PE于点F 由(1)得,∠OPA=90°﹣∠D
OB⊥PB;OA⊥PA
∴∠POA=180°﹣90°﹣∠OPA=∠D
又∵PE∥BD,
∴∠D=∠PEA
∴∠PEA=∠POA
∵∠PFO =∠EFA
∴△OPF ∽△EFA
∴∠OPE =∠OAD
∴tan∠OAD =tan∠OPE =13OG AG = ∴OG =13
AG ∴在△OAG 中,由勾股定理得 AG 2+OG 2=OA 2⇒2221
()(210)3AG AG +=,解得AG =6
∴AD =12
又∵DE =2AE
∴AE =13AD =13
×12=4
【点睛】
此题主要考查圆的切线的性质,相似三角形的性质,勾股定理.灵活运用相似三角形边的比例关系是解题的关键.在做涉及圆的题目中,作好辅助线是解题的突破口.
B 卷(共50分)
一、填空题(每题4分,满分20分,将答案填在答题纸上)
21.(2019·江苏中考模拟)若a 、b 、c 为三角形的三边,且a 、b 229(2)0a b --=,则第三边c 的取值范围是 .
【答案】1<c <5.
【解析】
由题意得,290a -=,20b -=,解得a=3,b=2,∵3﹣2=1,3+2=5,∴1<c <5.故答案为1<c <5.
1.三角形三边关系;2.非负数的性质:偶次方;3.非负数的性质:算术平方根.
22.(2019·辽宁中考模拟)若关于x 的不等式组><2x a x ⎧⎨
⎩恰有3个整数解,则字母a 的取值范围是_____. 【答案】﹣2≤a <﹣1.
【解析】
∵关于x 的不等式组><2
x a x ⎧⎨⎩恰有3个整数解, ∴整数解为1,0,﹣1,
∴﹣2≤a <﹣1,
故答案为:﹣2≤a <﹣1.
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的整数解的应用,能根据已知不等式组的解集和整数解确定a 的取值范围是解此题的关键.
23.(2019·四川中考模拟)在平面坐标系中,正方形ABCD 的位置如图所示,点A 的坐标为(1,0),点D 的坐标为(0,2),延长CB 交x 轴于点A 1,作正方形A 1B 1C 1C ,延长C 1B 1交x 轴于点A 2,作正方形A 2B 2C 2C 1,…按这样的规律进行下去,第2014个正方形的面积为_________。
【答案】402635()
2⨯
【解析】 解:∵四边形ABCD 是正方形,
∴AD=AB ,∠DAB =∠ABC =∠ABA 1=90°=∠DOA ,
∴∠ADO +∠DAO =90°,∠DAO +∠BAA 1=90°,
∴∠ADO =∠BAA 1,
∴△DOA ∽△ABA 1, ∴112
BA OA AB OD ==, ∵AB=AD 5
∴BA 1=152, ∴第2个正方形A 1B 1C 1C 的边长A 1C =A 1B +BC =352
,
同理第3个正方形的边长是23()
52, 第4个正方形的边长是33()
52, ……
第2014个正方形的边长是20133()
52,面积是220134026335()5()22⨯⨯=⨯. 故答案为:402635()
2⨯.
【点睛】 本题考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质,依次求出第2、3、4个正方形的边长,找到规律是解此题的关键.
24.(2019·河南中考模拟)如图,边长为2的正方形ABCD 以A 为中心顺时针旋转045到图中正方形'''AB C D 位置,则图中阴影部分的面积为__________.
【答案】8212π+
【解析】
如图,
∵∠ACD=∠AC E '=45°,CB E C DE ''∠=∠=90°,
∴B EC DEC ''∠=∠=45°
∴B C B E DC DE '''===
∵AD=DC=AB B C '''==2
由题意得△ADC 和△AB C ''为等腰直角三角形, ∴22AC AC '==, ∴=222B C B E DC DE '''=== ∴2
22221
CB E C DE S S ''==V V () ∵2
45(22)S ππ'⨯⨯=扇形CAC , ∴=S 阴影S '扇形CAC -CB E C DE S S ''-V V =π-2×2221
2
2()=8212π+. 故答案为:8212π+.
【点睛】
本题考查了旋转的性质,正方形性质、勾股定理以及扇形面积的计算等知识点的综合应用,主要考查学生运用性质进行计算的能力.解题时注意:旋转前、后的图形全等.
25.(2019·四川中考模拟)如图,在菱形ABCD 中,AB=BD,点E 、F 分别在AB ,AD 上,且AE=DF ,连接BF 与DE ,相交于点G ,连接CG ,与BD 相交于点H ,下列结论①△AED≌△DFB;②S 四边形BCDG =
34
CG 2;③若AF=2FD ,则BG=6GF,其中正确的有____________.(填序号)
【答案】①②③
【解析】
解:①∵ABCD为菱形,∴AB=AD.
∵AB=BD,∴AB=AD=BD,
∴△ABD为等边三角形.
∴∠A=∠BDF=60°.
又∵AE=DF,AD=BD,
∴△AED≌△DFB,故①正确;
②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD,即∠BGD+∠BCD=180°,
∴点B、C、D、G四点共圆,
∴∠BGC=∠BDC=60°,∠DGC=∠DBC=60°.
∴∠BGC=∠DGC=60°.
如图,过点C作CM⊥GB于M,CN⊥GD于N,则CM=CN. ∴Rt△CBM≌Rt△CDN(HL),
∴S四边形BCDG=S四边形CMGN,S四边形CMGN=2S△CMG,
∵∠CGM=60°,
∴GM= 1
2
CG,CM
3
,
∴S四边形CMG N=2S △CMG=2×1
2
×GM×CM=2×
1
2
×
1
2
CG×
3
2
CG=
3
4
CG2,故②正确;
③如图,过点F作FP∥AE于P点.
∵AF=2FD,
∴FP:AE=DF:DA=1:3,
∵AE=DF,AB=AD,
∴BE=2AE,
∴FP:BE=1:6=FG:BG,
即BG=6GF,故③正确.
综上所述,正确的结论有①②③.
故答案为:①②③.
【点睛】
此题综合考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理和四点共圆的知识,作出辅助线构造出全等三角形,把不规则图形的面积转化为两个全等三角形的面积是解题的关键.
二、解答题(本大题共3小题,共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)26.(2019·重庆中考模拟)某建材销售公司在2019年第一季度销售,A B两种品牌的建材共126件,A种品牌的建材售价为每件6000元,B种品牌的建材售价为每件9000元.
(1)若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元,求至多销售A种品牌的建材多少件?
(2)该销售公司决定在2019年第二季度调整价格,将A种品牌的建材在上一个季度的基础上下调%
a,B 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨%
a;同时,与(1)问中最低销售额的销售量相比,A种品牌的
建材的销售量增加了1
%
2
a,B种品牌的建材的销售量减少了
2
%
3
a,结果2019年第二季度的销售额比(1)
问中最低销售额增加2
%
23
a,求a的值.
【答案】(1)至多销售A品牌的建材56件;(2)a的值是30.
【解析】
(1)设销售A 品牌的建材x 件.
根据题意,得()60009000126966000x x +-≥,
解这个不等式,得56x ≤,
答:至多销售A 品牌的建材56件.
(2)在(1)中销售额最低时,B 品牌的建材70件,
根据题意,得
()()()12260001%561%90001%701%6000569000701%2323a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+++⨯-=⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
, 令%a y =,整理这个方程,得21030y y -=, 解这个方程,得1230,10
y y ==, ∴10a =(舍去),230a =,
即a 的值是30.
【点睛】
本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系和不等关系,列方程组和不等式求解.
27.(2019·河南中考模拟)在菱形ABCD 中,60ABC ∠=︒,点P 是射线BD 上一动点,以AP 为边向右侧作等边APE V ,点E 的位置随点P 的位置变化而变化.
(1)如图1,当点E 在菱形ABCD 内部或边上时,连接CE ,BP 与CE 的数量关系是 ,CE 与AD 的位置关系是 ;
(2)当点E 在菱形ABCD 外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证明;若不成立, 请说明理由(选择图2,图3中的一种情况予以证明或说理).
(3) 如图4,当点P 在线段BD 的延长线上时,连接BE ,若AB =BE =求四边形ADPE 的面积.
【答案】(1)BP=CE ; CE⊥AD;(2)成立,理由见解析;(3)83 .
【解析】
1)①BP=CE,理由如下:
连接AC ,
∵菱形ABCD ,∠ABC=60°,
∴△ABC 是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,
∵△APE 是等边三角形,
∴AP=AE ,∠PAE=60° ,
∴∠BAP=∠CAE,
∴△ABP≌△ACE,∴BP=CE;
②CE⊥AD ,
∵菱形对角线平分对角,
∴ABD 30∠=︒,
∵△ABP≌△ACE,
∴ACF ABD 30∠∠==︒,
∵ACD ADC 60∠∠==︒,
∴DCF 30∠=︒,
∴DCF ADC 90∠∠=︒+,
∴CFD 90∠=︒ ,
∴CF⊥AD ,即CE⊥AD;
(2)(1)中的结论:BP=CE ,CE⊥AD 仍然成立,理由如下:
连接AC ,
∵菱形ABCD ,∠ABC=60°,
∴△ABC 和△ACD 都是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAD=120° ,
∠BAP=120°+∠DAP,
∵△APE 是等边三角形,
∴AP=AE , ∠PAE=60° ,
∴∠CAE=60°+60°+∠DAP=120°+∠DAP,
∴∠BAP=∠CAE,
∴△ABP≌△ACE,∴BP=CE,ACE ABD 30∠∠==︒,
∴∠DCE=30° ,∵∠ADC=60°,
∴∠DCE+∠ADC=90° , ∴∠CHD=90° ,∴CE⊥AD,
∴(1)中的结论:BP=CE ,CE⊥AD 仍然成立;
(3) 连接AC 交BD 于点O ,CE ,作EH⊥AP 于H ,
∵四边形ABCD 是菱形,
∴AC⊥BD,BD 平分∠ABC ,
∵∠ABC=60°,AB =,
∴∠ABO=30° ,∴AO =
, BO=DO=3, ∴BD=6,
由(2)知CE⊥AD,
∵AD∥BC,∴CE⊥BC,
∵BE =, BC AB ==,
∴CE 8==,
由(2)知BP=CE=8,∴DP=2,∴OP=5,
∴AP ==
∵△APE 是等边三角形,∴PH =
, EH = ∵ADP APE ADPE S S S =+V V 四,
∴ADPE 11S DP?AO AP?EH 22
=
+四,
=11222⨯⨯
=
∴四边形ADPE 的面积是 .
【点睛】本题考查了菱形的性质,全等三角形的判定与性质,等边三角形判定与性质等,熟练掌握相关知识,正确添加辅助线是解题的关键.
28.(2019·海南中考模拟)已知:如图,抛物线y=ax 2+bx+c 与坐标轴分别交于点A (0,6),B (6,0),C (﹣2,0),点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点P 运动到什么位置时,△PAB 的面积有最大值?
(3)过点P 作x 轴的垂线,交线段AB 于点D ,再过点P 做PE∥x 轴交抛物线于点E ,连结DE ,请问是否存
在点P 使△PDE 为等腰直角三角形?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+6;(2)当t=3时,△PAB 的面积有最大值;(3)点P (4,6). 【解析】 (1)∵抛物线过点B (6,0)、C (﹣2,0),
∴设抛物线解析式为y=a (x ﹣6)(x+2),
将点A (0,6)代入,得:﹣12a=6,
解得:a=﹣12
, 所以抛物线解析式为y=﹣1
2(x ﹣6)(x+2)=﹣12
x 2+2x+6; (2)如图1,过点P 作PM⊥OB 与点M ,交AB 于点N ,作AG⊥PM 于点G ,
设直线AB 解析式为y=kx+b ,
将点A (0,6)、B (6,0)代入,得:
660b k b =⎧⎨+=⎩
, 解得:16k b =-⎧⎨=⎩
, 则直线AB 解析式为y=﹣x+6,
设P(t,﹣1
2
t2+2t+6)其中0<t<6,
则N(t,﹣t+6),
∴PN=PM﹣MN=﹣1
2
t2+2t+6﹣(﹣t+6)=﹣
1
2
t2+2t+6+t﹣6=﹣
1
2
t2+3t,
∴S△PAB=S△PAN+S△PBN
=1
2
PN•AG+
1
2
PN•BM
=1
2
PN•(AG+BM)
=1
2 PN•OB
=1
2
×(﹣
1
2
t2+3t)×6
=﹣3
2
t2+9t
=﹣3
2
(t﹣3)2+
27
2
,
∴当t=3时,△PAB的面积有最大值;(3)如图2,
∵PH⊥OB于H,
∴∠DHB=∠AOB=90°,
∴DH∥AO,
∵OA=OB=6,
∴∠BDH=∠BAO=45°,
∵PE∥x轴、PD⊥x轴,
∴∠DPE=90°,
若△PDE为等腰直角三角形,
则∠EDP=45°,
∴∠EDP与∠BDH互为对顶角,即点E与点A重合,
则当y=6时,﹣1
2
x2+2x+6=6,
解得:x=0(舍)或x=4,
即点P(4,6).
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题,涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等,熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.。