最新版教材高中数学必修二知识讲解_圆的方程_提高

圆的方程

【学习目标】

1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程.

2.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程．

【要点梳理】

【高清课堂：圆的方程370891 知识要点】 要点一：圆的标准方程

222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径.

要点诠释：

(1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是2

2

2

x y r +=.有关图形特征与方程的转化：

如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时：

||||a b r ==；过原点：222

a b r +=

(2)圆的标准方程2

2

2

()()x a y b r -+-=⇔圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点.

(3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.

要点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为2

2

2

()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有

(1)若点()00M x y ，在圆上()()22

2

00||CM r x a y b r ⇔=⇔-+-=

(2)若点()00M x y ，在圆外()()22

2

00||CM r x a y b r ⇔>⇔-+->

(3)若点()00M x y ，在圆内()()22

2

00||CM r x a y b r ⇔<⇔-+-<

要点三：圆的一般方程

当22

40D E F +->时，方程2

2

0x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ⎛⎫

-

- ⎪⎝

⎭为圆心，

为半径. 要点诠释：

由方程2

2

0x y Dx Ey F ++++=得22

224224D E D E F x y +-⎛

⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭

(1)当22

40D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-

=-.它表示一个点(,)22

D E

--. (2)当2

2

40D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．

(3)当22

40D E F +->时，可以看出方程表示以,2

2D E ⎛⎫

-- ⎪⎝⎭为半径的圆. 要点四：几种特殊位置的圆的方程

要点五：用待定系数法求圆的方程的步骤

求圆的方程常用“待定系数法”.用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程.

(2)根据已知条件，建立关于a b r 、、或D E F 、、的方程组.

(3)解方程组，求出a b r 、、或D E F 、、的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程. 要点六：轨迹方程

求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量,x y 之间的方程．

1．当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）．

2．求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3．求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用(,)x y 表示轨迹（曲线）上任一点M 的坐标； （2）列出关于,x y 的方程；

（3）把方程化为最简形式；

（4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 【典型例题】

类型一：圆的标准方程

例1．求满足下列条件的各圆的方程： (1)圆心在原点，半径是3；

(2)已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上； (3)经过点()5,1P ，圆心在点()8,3C -．

【思路点拨】一般情况下，如果已知圆心或易于求出圆心，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法，求出圆心坐标和半径.

【答案】（1）229x y +=（2）22

(2)10x y -+=（3）()()22

8325x y -++= 【解析】(1)22

9x y +=

(2)线段AB 的中垂线方程为240x y --=，与x 轴的交点(2,0)即为圆心C 的坐标，所以半径为

||CB =，所以圆C 的方程为22(2)10x y -+=.

(3)解法一：∵圆的半径||5r CP ==

=，圆心在点()8,3C -

∴圆的方程是()()2

2

8325x y -++=

解法二：∵圆心在点()8,3C -，故设圆的方程为()()2

2

2

83x y r -++=

又∵点()5,1P 在圆上，∴()()22

2

5813r -++=，∴2

25r =

∴所求圆的方程是()()22

8325x y -++=.

【总结升华】确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a 、b 、r 的方程组，求a 、b 、r 或直接求出圆心（a ，b ）和半径r ，一般步骤为：

（1）根据题意，设所求的圆的标准方程为(x―a)2+(y―b)2=r 2； （2）根据已知条件，建立关于a 、b 、r 的方程组；

（3）解方程组，求出a 、b 、r 的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程．

举一反三：

【变式1】圆心是（4，―1），且过点（5，2）的圆的标准方程是（ ） A ．(x―4)2+(y+1)2=10 B ．(x+4)2+(y―1)2=10

C ．(x―4)2+(y+1)2=100

D ．22

(4)(1)x y -++=【答案】A 例2．（2015秋 湖北宜昌月考）求下列各圆的标准方程： （1）圆心在直线y =0上，且圆过两点A （1，4），B （3，2）；

（2）圆心在直线2x +y =0上，且圆与直线x +y ―1=0切于点M （2，―1）． 【思路点拨】（1）求出圆心和半径，即可求圆C 的方程；

（2）设出圆心坐标，列方程组解之．其中由圆心在直线2x +y =0上得出一个方程；再由圆心到直线x +y ―1=0的距离即半径得出另一个方程．