第5讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用

第5讲函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

一、知识梳理

1．y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念

y

＝A sin(ωx＋

φ)(A>0，ω>0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相A T＝

2π

ωf＝

1

T＝

ω

2πωx＋φφ

用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

x －φ

ω

π

2ω－

φ

ω

π－φ

ω

3π

2ω－

φ

ω

2π－φ

ω

ωx＋φ0π

2

π

3π

2

2π

y＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 0 常用结论

1．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移φ

ω

个单位长度而非φ个单位长度．

2．函数y＝A sin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋π

2(k∈Z)确定；对称中心由ωx＋φ＝

kπ(k∈Z)确定其横坐标．

二、教材衍化

1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫

12x －π3的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，4π，π

3

B ．2，14π，π

3

C ．2，14π，－π

3

D ．2，4π，－π

3

解析：选C ．由题意知A ＝2，f ＝1T ＝ω2π＝14π，初相为－π

3

.

2．函数y ＝sin x 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到的图象对应的函数解析式是________．

解析：根据函数图象变换法则可得． 答案：y ＝sin 1

2

x

3．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：

月份x 1 2 3 4 收购价格y (元/斤)

6

7

6

5

________． 解析：设y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)，由题意得A ＝1，B ＝6，T ＝4，因为T ＝2πω，

所以ω＝π

2，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋φ＋6.因为当x ＝1时，y ＝6，所以6＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＋6，结合表中数据得π2＋φ＝2k π，k ∈Z ，可取φ＝－π2，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x －π2＋6＝6－cos π

2

x . 答案：y ＝6－cos π

2

x

一、思考辨析

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)把y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的1

2，纵坐标不变，所得图象对应的函

数解析式为y ＝sin 1

2

x .( )

(2)将y ＝sin 2x 的图象向右平移π

3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象．( ) (3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0)的最大值为A ，最小值为－A ．( )

(4)如果y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T

2

.( )

(5)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝2k π＋π

2(k ∈Z )．( )

答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)× 二、易错纠偏 常见误区

| (1)搞不清ω的值对图象变换的影响；

(2)确定不了函数解析式中φ的值．

1．若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π

12个单位长度，则得到的图象对应的函数表达

式为f (x )＝________．

解析：函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π

12

个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为

f (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝2sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π6. 答案：2sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π

6 2．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝

⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π

2的部分图象如图所示，则f (x )＝________．

解析：设f (x )的最小正周期为T ， 根据题图可知，T 2＝π

2，

所以T ＝π，故ω＝2，

根据2sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝0(增区间上的零点)可知，π

6＋φ＝2k π，k ∈Z ， 即φ＝2k π－π

6，k ∈Z ，

又|φ|＜π2，故φ＝－π6.

所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π

6. 答案：2sin ⎝

⎛⎭⎫2x －π6

考点一 五点法作图及图象变换(基础型)

复习指导

| 能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象．

核心素养：直观想象

已知函数f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a ，其最大值为2. (1)求a 的值及f (x )的最小正周期； (2)画出f (x )在[0，π]上的图象． 【解】 (1)f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋a

＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π

6＋1＋a 的最大值为2， 所以a ＝－1，最小正周期T ＝2π

2＝π.

(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π

6，列表： x 0 π6 5π12 2π3 11π12 π 2x ＋π

6

π

6 π2 π 3π2 2π 13π6 f (x )＝2sin ⎝

⎛⎭⎫2x ＋π6 1

2

－2

1

【迁移探究1】 (变结论)在本例条件下，函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移________个单位得到y ＝f (x )的图象．

解析：将函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移π

4个单位长度，可得函数y ＝2sin 2x 的图象，

再将y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝2sin(2x ＋π

6)的图象，综上可得，

函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象可以由函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移π

6

个单位长度得到．