带有指数型快速终端滑模的模糊函数逼近器

)
e 1 sign( x)
k x
参数选取均相同，见前面。
2 1.5 1 x 0.5 0 -0.5 0
模糊逼近器 +指数型快速终端滑模 假设 f(x)已知 没有考虑模糊逼近器
0.5
1 time/s
1.5
2
图 2-6 系统状态
4
2 0 -2 u -4 -6 -8 0 模糊逼近器 +指数型快速终端滑模 假设 f(x)已知 没有考虑模糊逼近器 0.5 1 time/s 1.5 2
0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 0
θ 自适应变化曲线
unknown function adaptive FIS
0.5
1 time/s
1.5
2
图 2-11 未知函数的逼近过程
6
0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 0
Error
0.5
1 time/s
1.5
2
图 2-12 逼近误差曲线
3 Matlab 程序
clear clc alpha1=1; beta1=2; k1=0.2; q1=3; p1=5; n1=10; n2=10; k=0.02; q=5; p=9;
x=2; theta=zeros(6,1); E=zeros(6,1); n=1; t=0; Dt=0.001; for i=1:2000 f_E=theta'*E; f=(1-exp(-x))/(1+exp(-x)); e=f-f_E; %隶属度函数 NB\NM\NS\PS\PM\PB
1 带有指数型快速终端滑模的模糊函数逼 近器
取对象模型为如下动态非线性系统
(t ) = f ( x) + u (t ) x
其中未知函数 f ( x) =
1 − e− x >0，x<0 时， x <0，因 ，当系统控制输入为零时，x>0 时， x 1 + e− x
此该系统在无控制输入的情况下不稳定。系统初始状态 x(0)=2。设计控制律，使系统状态快 速收敛到原点。 在[-3，3]上定义 6 个模糊集合，分别记为 NB、NM、NS、PS、PM、PB，相应的隶属 度函数分别为
8
figure(1) plot((1:n-1)*Dt,x_store) xlabel('time/s') ylabel('x') figure(2) plot((1:n-1)*Dt,u_store) xlabel('time/s') ylabel('u') figure(3) plot((1:n-1)*Dt,theta_store(1,:),(1:n-1)*Dt,theta_store(2,:),(1:n-1)*Dt,theta_store(3,:),(1:n-1)*Dt,t heta_store(4,:),(1:n-1)*Dt,theta_store(5,:),(1:n-1)*Dt,theta_store(6,:)) legend('theta1','theta2','theta3','theta4','theta5','theta6') xlabel('time/s') ylabel('theta') figure(4) plot((1:n-1)*Dt,f_store(1,:),(1:n-1)*Dt,f_store(2,:)) legend('unknown function','adaptive FIS') xlabel('time/s') figure(5) plot((1:n-1)*Dt,e_store) xlabel('time/s') ylabel('Error')
3
0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 0
Error
0.5
1 time/s
1.5
2
图 2-5 逼近误差曲线
2.2 仿真 2 控制算法比较
（1） 模糊逼近器+指数型快速终端滑模
ˆ ( x) − α1 (e k1 x − 1) sign( x) − β1 (1 − e − k1 x ) q1 p1 e k1 x sign( x) u=−f k1 k1
7
Unb=1/(1+exp(5*(x+2))); Unm=exp(-(x+1.5)^2); Uns=exp(-(x+0.5)^2); Ups=exp(-(x-0.5)^2); Upm=exp(-(x-1.5)^2); Upb=1/(1+exp(-5*(x-2))); %加权函数 E1=Unb/(Unb+Unm+Uns+Ups+Upm+Upb); E2=Unm/(Unb+Unm+Uns+Ups+Upm+Upb); E3=Uns/(Unb+Unm+Uns+Ups+Upm+Upb); E4=Ups/(Unb+Unm+Uns+Ups+Upm+Upb); E5=Upm/(Unb+Unm+Uns+Ups+Upm+Upb); E6=Upb/(Unb+Unm+Uns+Ups+Upm+Upb); E=[E1;E2;E3;E4;E5;E6]; %更新加权系数 Dtheta=-(-n1*(1-exp(-k*abs(e)))/k-n2*((1-exp(-k*abs(e)))/k)^(q/p))*exp(k*abs(e))*sign(e)*E; theta=theta+Dtheta*Dt;
l
∑µ
l =1
6
Fl
( x)
θˆl 为待估参数，定义如下
⎡ 1 − e− k e ⎛ 1 − e− k e θˆl = ⎢η1 + η2 ⎜ ⎜ k k ⎢ ⎝ ⎣
或者矢量形式
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
q p
⎤ ⎥ e k e sign(e)ξl ( x) ⎥ ⎦
1
K ⎡ 1 − e− k e ⎛ 1 − e− k e + η2 ⎜ θˆ = ⎢η1 ⎜ k k ⎢ ⎝ ⎣
theta1 theta2 theta3 theta4 theta5 theta6
0.5
1 time/s
1.5
2
图 2-3
0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 0
θ 自适应变化曲线
unknown function adaptive FIS
0.5
1 time/s
1.5
2
图 2-4 未知函数的逼近过程
e 为估计误差，即
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
q p
⎤ K ⎥ e k e sign(e)ξ ( x) ⎥ ⎦
ˆ ( x) e = f ( x) − f
参数选取：
η1 = 10 ，η2 = 10 ，q=5，p=9，k=0.02 α1 = 1 ， β1 = 2 ，q1=3，p1=5，k1=0.2
x(0)=2
2 仿真结果
2.1 仿真 1 模糊逼近器+指数型快速终端滑模
2 1.5 1 x 0.5 0 -0.5 0
0.5
1 time/s
1.5
2
图 2-1
系统状态
2
1 0 -1 -2 u -3 -4 -5 -6 0 0.5 1 time/s 1.5 2
图 2-2 控制量
0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 0
theta
ˆ ( x) − u=−f
α1
k1
(e k1 x − 1) sign( x) −
β1
k1wenku.baidu.com
(1 − e− k1 x ) q1 p1 ek1 x sign( x)
ˆ ( x) 为模糊逼近器，其定义为 其中 f ˆ ( x) = θ f ∑ ˆlξl ( x) = θˆT ξ ( x)
l =1 6
ξl ( x) 为模糊基函数，定义如下 ξl ( x) = µ F ( x)
图 2-7 控制输入
2.3 仿真 3 模糊逼近器+快速终端滑模
控制器为
ˆ ( x) − α x − β x q1 u=−f 1 1
p1
如果继续沿用前面参数，误差会发散。此处选择 α1 = 1 ， β1 = 1.5 。
2 1.5 1 x 0.5 0 -0.5 0
0.5
1 time/s
1.5
2
图 2-8 系统状态
u=-f_E-alpha1/k1*(exp(k1*abs(x))-1)*sign(x)-beta1/k1*(1-exp(-k1*abs(x)))^(q1/p1)*exp(-k1*ab s(x))*sign(x); %模糊逼近器+指数型快速终端滑模 % u=-f-alpha1/k1*(exp(k1*abs(x))-1)*sign(x)-beta1/k1*(1-exp(-k1*abs(x)))^(q1/p1)*exp(-k1*abs(x ))*sign(x); %假设 f（x）已知 % u=-alpha1/k1*(exp(k1*abs(x))-1)*sign(x)-beta1/k1*(1-exp(-k1*abs(x)))^(q1/p1)*exp(-k1*abs(x)) *sign(x); %不考虑模糊逼近器 %u=-f_E-1*x-1.5*x^(q1/p1); %模糊逼近器+快速终端滑模 Dx=f+u; x=x+Dx*Dt; x_store(n)=x; u_store(n)=u; theta_store(:,n)=theta; f_store(:,n)=[f;f_E]; e_store(n)=e; t=t+Dt; n=n+1; end
5
1 0 -1 -2 -3 -4 -5 0 0.5 1 time/s 1.5 2 u
图 2-9 控制量
1.2 1 0.8 theta 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 0 0.5 1 time/s 1.5 2
theta1 theta2 theta3 theta4 theta5 theta6
图 2-10
9
µ NB =
µ PS
1 − ( x +1.5) 2 − ( x + 0.5) 2 ， µ NM = e ， µ NS = e 5( x + 2) 1+ e 2 2 1 = e− ( x −0.5) ， µ PM = e − ( x −1.5) ， µ PB = 1 + e−5( x − 2)
控制律设计为
（2） 假设 f(x)已知
u = − f ( x) −
α1
k1
(e 1 − 1) sign( x) −
k x
β1
k1
(1 − e
− k1 x q1 p1
)
e 1 sign( x)
k x
（3） 没有考虑模糊逼近器
u=−
α1
k1
(e 1 − 1) sign( x) −
k x
β1
k1
(1 − e
− k1 x q1 p1