2020年高考数学双曲线课件
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答案：C
3．双曲线 2x2－y2＝8 的实轴长是( ) A．2 B．2 2 C．4 D．4 2
解析：双曲线方程可变为x42－y82＝1，所以 a2＝4，a＝2，2a ＝4.
答案：C
4．设 F1 和 F2 为双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点， 若 F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为 ()
A.32 B．2 C.52 D．3
解析：依题意得
tan60°＝2cb，bc＝
2 ，因此该双曲线的离心 3
率是ac＝ c2c－b2＝2，选 B.
答案：B
5．已知双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)和椭圆1x62 ＋y92＝1 有相 同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的 方程为__________．
(1)求双曲线的离心率； (2)设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 ＝1(a＞0，b＞0) 右焦点为 F(c,0)(c＞0)，则 c2＝a2＋b2. 不妨设 l1：bx－ay＝0. l2：bx＋ay＝0. 则|F→A|＝|b×ca－2＋ab×2 0|＝b，
•失误与防范
1．区分双曲线中的 a，b，c 大小关系与椭圆 a，b，c 关系， 在椭圆中 a2＝b2＋c2，而在双曲线中 c2＝a2＋b2.
2．双曲线的离心率大于 1，而椭圆的离心率 e∈(0,1)． 3．双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是 y＝±bax，ay22 －bx22＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是 y＝±abx. 4．若利用弦长公式计算，在涉及直线斜率时要注意说明斜 率是否存在．
点评：本题是典型的定义法求轨迹，解时要注意：|FA|－|FB| ＝2，没有“绝对值”，因此，它仅是双曲线的下半支．
变式探究 1 已知双曲线 C：x92－1y62 ＝1 的左、右焦点分别为
F1、F2，P 为 C 右支上的一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2 的面 积等于( )
A．24
B．36
|O→A|＝ OF2－AF2＝a.
因为|A→B|2＋|O→A|＝|O→B|2，且|O→B|＝2|A→B|－|O→A|，
所以|A→B|2＋|O→A|2＝(2|A→B|－|O→A|)2，于是得 tan∠AOB＝||OA→→BA||＝
43，又B→F与F→A同向，故∠AOF＝12∠AOB.
所以1－2tatann∠2∠AOAOFF＝43.
故kMF1 ·kMF2 ＝－1，∴MF1⊥MF2. ∴M→F1⊥M→F2.
方法二： ∵M→F1＝(－3－2 3，－m)，M→F2＝(2 3－3，－m)， ∴M→F1·M→F2＝(3＋2 3)×(3－2 3)＋m2＝－3＋m2， ∵M 点在双曲线上，∴9－m2＝6，即 m2－3＝0， ∴M→F1·M→F2＝0. ∴M→F1⊥M→F2.
8．6 双曲线
考点梳理
一、双曲线的定义
平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的__绝__对___值___等于常 数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．
两个定点 F1、F2 叫做双曲线的_焦__点___，两焦点的距离|F1F2| 叫做双曲线的__焦__距__.
二、双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 ax22－by22＝1(a＞0，b＞0) ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)
∴双曲线方程为 x2－y2＝6.
(2)证明：方法一：由(1)可知，双曲线中 a＝b＝ 6，
∴c＝2 3，∴F1(－2 3，0)，F2(2 3，0)，
∴kMF1 ＝3＋m2
， 3
kMF2
＝3－m2
， 3
kMF1 ·kMF2 ＝9－m212＝－m32.
∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，
变式探究 2 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为 12，离心率为54； (2)顶点间距离为 6，渐近线方程为 y＝±32x.
解析：
(1)设双曲线的标准方程为 ax22－by22＝1 或ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)．
由题意知：2b＝12，ac＝54且 c2＝a2＋b2， ∴b＝6，c＝10，a＝8. ∴标准方程为6x42 －3y62 ＝1 或6y42 －3x62 ＝1.
图形
范围
x_≥__a__或__x_≤__－__a
y_≥__a__或__y_≤__－__a
对称性
对称轴：_x__轴__、__y_轴__ 对称轴：_x_轴__，__y__轴__ 对称中心：__坐__标__原__点__ 对称中心：_坐__标__原__点___
性 质 顶点
顶点坐标： A1___(－__a_,_0_)__，
b2＝12，∴c2＝a2＋b2＝32，∴c＝ 26，故右焦点坐标为 26，0. 答案：C
2．设双曲线ax22－y92＝1(a＞0)的渐近线方程为 3x±2y＝0，则
a 的值为( )
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：双曲线ax22－y92＝1 的渐近线方程为 3x±ay＝0，与已知 方程比较系数得 a＝2.
4
解得 a2＝94，b2＝4.
(2)设双曲线方程为ax22－by22＝1. 由题意易求 c＝2 5.
又双曲线过点(3 2，2)， ∴3 a222－b42＝1. 又∵a2＋b2＝(2 5)2， ∴a2＝12，b2＝8. 故所求双曲线的方程为1x22 －y82＝1.
方法二： (1)设所求双曲线方程为x92－1y62 ＝λ(λ≠0)，
(3)△F1MF2 的底|F1F2|＝4 3， △F1MF2 的高 h＝|m|＝ 3，∴S F1MF2 ＝6.
名师归纳
•方法与技巧
1．两条双曲线的渐近线的交点就是双曲线的中心． 2．焦点到渐近线的距离等于虚半轴长 b. 3．与双曲线ax22－by22＝1 共用渐近线的双曲线的方程可设为ax22 －by22＝t(t≠0)． 4．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要 令双曲线的标准方程中的“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程 ax22－by22＝0 就是双曲线ax22－by22＝1 的两条渐近线方程．
解析：方法一：(1)双曲线x92－1y62 ＝1 的渐近线为 y＝±43x，
可判定点(－3,2 3)在两直线 y＝±43x 所分区域的包含 x 轴的 区域内，所以焦点在 x 轴上．
设双曲线的方程为ax22－by22＝1，
ab＝43， 由题意，得－a32 2－2b232＝1， 所以双曲线的方程为x92－y42＝1.
双曲线的虚半轴
a、b、c 关系
c2＝___a_2_＋__b_2 __(c＞a＞0，c＞b＞0)
考点自测
1.双曲线方程为 x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A.
22，0
B.
25，0
C.
26，0
D．( 3，0)
解析：将双曲线方程化为标准方程为：x2－y12＝1，∴a2＝1， 2
l＝ 1＋－22·|x1－x2|＝ 5[x1＋x22－4x1x2]④ 将③代入④，并化简得 l＝43b，而由已知 l＝4，故 b＝3，a ＝6.所以双曲线的方程为3x62 －y92＝1.
点评：本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线 方程、平面向量以及三角等基础知识和解析几何的基本思想方 法，考查推理及运算能力．
C．48
D．96
解析：依题意得|PF2|＝|F1F2|＝10，由双曲线的定义得|PF1|
－ |PF2| ＝ 6 ， |PF1| ＝ 16 ， 因 此 △ PF1F2
的
面
积
等
于
1 2
×16×
102－1262＝48，选 C. 答案：C
题型二 求双曲线的标准方程
例 2 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)与双曲线x92－1y62 ＝1 有共同的渐近线，且过点(－3,2 3)； (2)与双曲线1x62 －y42＝1 有公共焦点，且过点(3 2，2)．
将点(－3,2 3)代入得 λ＝14， 所以双曲线方程为x92－1y62 ＝14. (2)设双曲线方程为16x－2 k－4＋y2 k＝1，
将点(3 2，2)代入得 k＝4(k＝－14 舍去)， 所以双曲线方程为1x22 －y82＝1.
点评：求双曲线的方程，关键是求 a、b，在解题过程中应 熟悉各元素(a、b、c、e)之间的关系，并注意方程思想的应用．若 已知双曲线的渐近线方程 ax±by＝0，则可设双曲线方程为 a2x2 －b2y2＝λ(λ≠0)．
A2___(_a_,0_)____
顶点坐标： A1__(_0_，__－__a_) _，
A2__(_0_，__a_)___
渐近线
__y_＝__±_ba_x___
__y_＝__±_ab_x___
离心率
c e＝___a___，e∈(1，＋∞)其中 c＝___a_2＋__b_2_
性 质
实虚轴
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝ __2_a___；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长 |B1B2|＝__2_b___；a 叫做双曲线的实半轴，b 叫做
解得 tan∠AOF＝12或 tan∠AOF＝－2(舍去)
因此ba＝12，a＝2b，c＝ a2＋b2＝ 5b，
所以双曲线的离心率
e＝ac＝
5 2.
(2)由 a＝2b 知，双曲线的方程可化为 x2－4y2＝4b2.①
由 l1 的斜率为12，c＝ 5b 知， 直线 AB 的方程为 y＝－2(x－ 5b)．② 将②代入①并化简，得 15x2－32 5bx＋84b2＝0. 设 AB 与双曲线的两交点的坐标分别为 (x1，y1)，(x2，y2)，则 x1＋x2＝32155b，x1·x2＝8145b2.③ AB 被双曲线所截得的线段长
解析：由题意知，椭圆的焦点坐标是(±
7，0)，离心率是
7 4.
故在双曲线中 c＝ 7，e＝247＝ac，故 a＝2，b2＝c2－a2＝3，故 所求双曲线的方程是x42－y32＝1.
答案：x42－y32＝1
疑点清源
1.双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两 个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)，“四线”(两条对称轴、 两条渐近线)，“两形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形， 双曲线上一点和两焦点构成的三角形)研究它们之间的相互联 系．
变式探究 3 已知双曲线的中心在原点，焦点 F1、F2 在坐标 轴上，离心率为 2，且过点(4，－ 10)．
(1)求双曲线方程； (2)若点 M(3，m)在双曲线上，求证：M→F1⊥M→F2； (3)求△F1MF2 的面积．
解析：
(1)∵e＝ 2，∴可设双曲线方程为 x2－y2＝λ.
∵过点(4，－ 10)，∴16－10＝λ，即 λ＝6.
题型探究 题型一 双曲线定义的应用 例 1 已知定点 A(0,7)、B(0，－7)、C(12,2)，以 C 为一个焦 点作过 A、B 的椭圆，求另一焦点 F 的轨迹方程．
解析：设 F(x，y)为轨迹上的任意一点， ∵A、B 两点在以 C、F 为焦点的椭圆上， ∴|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a(其中 a 表示椭圆的长半 轴)， ∴|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|， ∴|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝ 122＋92－ 122＋52＝2， ∴|FA|－|FB|＝2. 由双曲线的定义知，F 点在以 A、B 为焦点，2 为实轴长的 双曲线的下半支上， ∴点 F 的轨迹方程是 y2－4x82 ＝1(y≤－1)．
2．与双曲线ax22－by22＝1 共渐近线的双曲线方程为ax22－by22＝ λ(λ≠0)．
3．双曲线的形状与 e 的关系：k＝ba＝ c2a－a2＝ ac22－1＝ e2－1，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线 的形状就从扁狭逐渐变得开阔．由此可知，双曲线的离心率越大， 它的开口就越阔.
(2)设以 y＝±32x 为渐近线的双曲线方程为 x42－y92＝λ(λ≠0)． 当 λ＞0 时，a2＝4λ，
∴2a＝2 4λ＝6⇒λ＝94； 当 λ＜0 时，a2＝－9λ，
∴2a＝2 －9λ＝6⇒λ＝－1. ∴双曲线的方程为x92－8y12 ＝1 或y92－x42＝1.
4
题型三 双曲线的性质
例 3 双曲线的中心为原点 O，焦点在 x 轴上，两条渐近线分 别为 l1，l2，经过右焦点 F 垂直于 l1 的直线分别交 l1，l2 于 A，B 两点．已知|O→A|，|A→B|，|O→B|成等差数列，且B→F与F→A同向．
3．双曲线 2x2－y2＝8 的实轴长是( ) A．2 B．2 2 C．4 D．4 2
解析：双曲线方程可变为x42－y82＝1，所以 a2＝4，a＝2，2a ＝4.
答案：C
4．设 F1 和 F2 为双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点， 若 F1，F2，P(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为 ()
A.32 B．2 C.52 D．3
解析：依题意得
tan60°＝2cb，bc＝
2 ，因此该双曲线的离心 3
率是ac＝ c2c－b2＝2，选 B.
答案：B
5．已知双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)和椭圆1x62 ＋y92＝1 有相 同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的 方程为__________．
(1)求双曲线的离心率； (2)设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 ＝1(a＞0，b＞0) 右焦点为 F(c,0)(c＞0)，则 c2＝a2＋b2. 不妨设 l1：bx－ay＝0. l2：bx＋ay＝0. 则|F→A|＝|b×ca－2＋ab×2 0|＝b，
•失误与防范
1．区分双曲线中的 a，b，c 大小关系与椭圆 a，b，c 关系， 在椭圆中 a2＝b2＋c2，而在双曲线中 c2＝a2＋b2.
2．双曲线的离心率大于 1，而椭圆的离心率 e∈(0,1)． 3．双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是 y＝±bax，ay22 －bx22＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程是 y＝±abx. 4．若利用弦长公式计算，在涉及直线斜率时要注意说明斜 率是否存在．
点评：本题是典型的定义法求轨迹，解时要注意：|FA|－|FB| ＝2，没有“绝对值”，因此，它仅是双曲线的下半支．
变式探究 1 已知双曲线 C：x92－1y62 ＝1 的左、右焦点分别为
F1、F2，P 为 C 右支上的一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2 的面 积等于( )
A．24
B．36
|O→A|＝ OF2－AF2＝a.
因为|A→B|2＋|O→A|＝|O→B|2，且|O→B|＝2|A→B|－|O→A|，
所以|A→B|2＋|O→A|2＝(2|A→B|－|O→A|)2，于是得 tan∠AOB＝||OA→→BA||＝
43，又B→F与F→A同向，故∠AOF＝12∠AOB.
所以1－2tatann∠2∠AOAOFF＝43.
故kMF1 ·kMF2 ＝－1，∴MF1⊥MF2. ∴M→F1⊥M→F2.
方法二： ∵M→F1＝(－3－2 3，－m)，M→F2＝(2 3－3，－m)， ∴M→F1·M→F2＝(3＋2 3)×(3－2 3)＋m2＝－3＋m2， ∵M 点在双曲线上，∴9－m2＝6，即 m2－3＝0， ∴M→F1·M→F2＝0. ∴M→F1⊥M→F2.
8．6 双曲线
考点梳理
一、双曲线的定义
平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的__绝__对___值___等于常 数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．
两个定点 F1、F2 叫做双曲线的_焦__点___，两焦点的距离|F1F2| 叫做双曲线的__焦__距__.
二、双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 ax22－by22＝1(a＞0，b＞0) ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)
∴双曲线方程为 x2－y2＝6.
(2)证明：方法一：由(1)可知，双曲线中 a＝b＝ 6，
∴c＝2 3，∴F1(－2 3，0)，F2(2 3，0)，
∴kMF1 ＝3＋m2
， 3
kMF2
＝3－m2
， 3
kMF1 ·kMF2 ＝9－m212＝－m32.
∵点(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，
变式探究 2 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)虚轴长为 12，离心率为54； (2)顶点间距离为 6，渐近线方程为 y＝±32x.
解析：
(1)设双曲线的标准方程为 ax22－by22＝1 或ay22－bx22＝1(a＞0，b＞0)．
由题意知：2b＝12，ac＝54且 c2＝a2＋b2， ∴b＝6，c＝10，a＝8. ∴标准方程为6x42 －3y62 ＝1 或6y42 －3x62 ＝1.
图形
范围
x_≥__a__或__x_≤__－__a
y_≥__a__或__y_≤__－__a
对称性
对称轴：_x__轴__、__y_轴__ 对称轴：_x_轴__，__y__轴__ 对称中心：__坐__标__原__点__ 对称中心：_坐__标__原__点___
性 质 顶点
顶点坐标： A1___(－__a_,_0_)__，
b2＝12，∴c2＝a2＋b2＝32，∴c＝ 26，故右焦点坐标为 26，0. 答案：C
2．设双曲线ax22－y92＝1(a＞0)的渐近线方程为 3x±2y＝0，则
a 的值为( )
A．4
B．3
C．2
D．1
解析：双曲线ax22－y92＝1 的渐近线方程为 3x±ay＝0，与已知 方程比较系数得 a＝2.
4
解得 a2＝94，b2＝4.
(2)设双曲线方程为ax22－by22＝1. 由题意易求 c＝2 5.
又双曲线过点(3 2，2)， ∴3 a222－b42＝1. 又∵a2＋b2＝(2 5)2， ∴a2＝12，b2＝8. 故所求双曲线的方程为1x22 －y82＝1.
方法二： (1)设所求双曲线方程为x92－1y62 ＝λ(λ≠0)，
(3)△F1MF2 的底|F1F2|＝4 3， △F1MF2 的高 h＝|m|＝ 3，∴S F1MF2 ＝6.
名师归纳
•方法与技巧
1．两条双曲线的渐近线的交点就是双曲线的中心． 2．焦点到渐近线的距离等于虚半轴长 b. 3．与双曲线ax22－by22＝1 共用渐近线的双曲线的方程可设为ax22 －by22＝t(t≠0)． 4．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要 令双曲线的标准方程中的“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程 ax22－by22＝0 就是双曲线ax22－by22＝1 的两条渐近线方程．
解析：方法一：(1)双曲线x92－1y62 ＝1 的渐近线为 y＝±43x，
可判定点(－3,2 3)在两直线 y＝±43x 所分区域的包含 x 轴的 区域内，所以焦点在 x 轴上．
设双曲线的方程为ax22－by22＝1，
ab＝43， 由题意，得－a32 2－2b232＝1， 所以双曲线的方程为x92－y42＝1.
双曲线的虚半轴
a、b、c 关系
c2＝___a_2_＋__b_2 __(c＞a＞0，c＞b＞0)
考点自测
1.双曲线方程为 x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A.
22，0
B.
25，0
C.
26，0
D．( 3，0)
解析：将双曲线方程化为标准方程为：x2－y12＝1，∴a2＝1， 2
l＝ 1＋－22·|x1－x2|＝ 5[x1＋x22－4x1x2]④ 将③代入④，并化简得 l＝43b，而由已知 l＝4，故 b＝3，a ＝6.所以双曲线的方程为3x62 －y92＝1.
点评：本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线 方程、平面向量以及三角等基础知识和解析几何的基本思想方 法，考查推理及运算能力．
C．48
D．96
解析：依题意得|PF2|＝|F1F2|＝10，由双曲线的定义得|PF1|
－ |PF2| ＝ 6 ， |PF1| ＝ 16 ， 因 此 △ PF1F2
的
面
积
等
于
1 2
×16×
102－1262＝48，选 C. 答案：C
题型二 求双曲线的标准方程
例 2 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)与双曲线x92－1y62 ＝1 有共同的渐近线，且过点(－3,2 3)； (2)与双曲线1x62 －y42＝1 有公共焦点，且过点(3 2，2)．
将点(－3,2 3)代入得 λ＝14， 所以双曲线方程为x92－1y62 ＝14. (2)设双曲线方程为16x－2 k－4＋y2 k＝1，
将点(3 2，2)代入得 k＝4(k＝－14 舍去)， 所以双曲线方程为1x22 －y82＝1.
点评：求双曲线的方程，关键是求 a、b，在解题过程中应 熟悉各元素(a、b、c、e)之间的关系，并注意方程思想的应用．若 已知双曲线的渐近线方程 ax±by＝0，则可设双曲线方程为 a2x2 －b2y2＝λ(λ≠0)．
A2___(_a_,0_)____
顶点坐标： A1__(_0_，__－__a_) _，
A2__(_0_，__a_)___
渐近线
__y_＝__±_ba_x___
__y_＝__±_ab_x___
离心率
c e＝___a___，e∈(1，＋∞)其中 c＝___a_2＋__b_2_
性 质
实虚轴
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝ __2_a___；线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长 |B1B2|＝__2_b___；a 叫做双曲线的实半轴，b 叫做
解得 tan∠AOF＝12或 tan∠AOF＝－2(舍去)
因此ba＝12，a＝2b，c＝ a2＋b2＝ 5b，
所以双曲线的离心率
e＝ac＝
5 2.
(2)由 a＝2b 知，双曲线的方程可化为 x2－4y2＝4b2.①
由 l1 的斜率为12，c＝ 5b 知， 直线 AB 的方程为 y＝－2(x－ 5b)．② 将②代入①并化简，得 15x2－32 5bx＋84b2＝0. 设 AB 与双曲线的两交点的坐标分别为 (x1，y1)，(x2，y2)，则 x1＋x2＝32155b，x1·x2＝8145b2.③ AB 被双曲线所截得的线段长
解析：由题意知，椭圆的焦点坐标是(±
7，0)，离心率是
7 4.
故在双曲线中 c＝ 7，e＝247＝ac，故 a＝2，b2＝c2－a2＝3，故 所求双曲线的方程是x42－y32＝1.
答案：x42－y32＝1
疑点清源
1.双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两 个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点)，“四线”(两条对称轴、 两条渐近线)，“两形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形， 双曲线上一点和两焦点构成的三角形)研究它们之间的相互联 系．
变式探究 3 已知双曲线的中心在原点，焦点 F1、F2 在坐标 轴上，离心率为 2，且过点(4，－ 10)．
(1)求双曲线方程； (2)若点 M(3，m)在双曲线上，求证：M→F1⊥M→F2； (3)求△F1MF2 的面积．
解析：
(1)∵e＝ 2，∴可设双曲线方程为 x2－y2＝λ.
∵过点(4，－ 10)，∴16－10＝λ，即 λ＝6.
题型探究 题型一 双曲线定义的应用 例 1 已知定点 A(0,7)、B(0，－7)、C(12,2)，以 C 为一个焦 点作过 A、B 的椭圆，求另一焦点 F 的轨迹方程．
解析：设 F(x，y)为轨迹上的任意一点， ∵A、B 两点在以 C、F 为焦点的椭圆上， ∴|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a(其中 a 表示椭圆的长半 轴)， ∴|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|， ∴|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝ 122＋92－ 122＋52＝2， ∴|FA|－|FB|＝2. 由双曲线的定义知，F 点在以 A、B 为焦点，2 为实轴长的 双曲线的下半支上， ∴点 F 的轨迹方程是 y2－4x82 ＝1(y≤－1)．
2．与双曲线ax22－by22＝1 共渐近线的双曲线方程为ax22－by22＝ λ(λ≠0)．
3．双曲线的形状与 e 的关系：k＝ba＝ c2a－a2＝ ac22－1＝ e2－1，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线 的形状就从扁狭逐渐变得开阔．由此可知，双曲线的离心率越大， 它的开口就越阔.
(2)设以 y＝±32x 为渐近线的双曲线方程为 x42－y92＝λ(λ≠0)． 当 λ＞0 时，a2＝4λ，
∴2a＝2 4λ＝6⇒λ＝94； 当 λ＜0 时，a2＝－9λ，
∴2a＝2 －9λ＝6⇒λ＝－1. ∴双曲线的方程为x92－8y12 ＝1 或y92－x42＝1.
4
题型三 双曲线的性质
例 3 双曲线的中心为原点 O，焦点在 x 轴上，两条渐近线分 别为 l1，l2，经过右焦点 F 垂直于 l1 的直线分别交 l1，l2 于 A，B 两点．已知|O→A|，|A→B|，|O→B|成等差数列，且B→F与F→A同向．