计算物理与matlab程序设计考试试卷

计算物理与m a t l a b程序设计考试试卷

-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

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一、填空题：

（一）当真值为=x 2.367时，近似值=*x 2.401有 2 位有效数字。

（二）向量T x )13,9,1,7(--=的范数=1x 30 ，=∞x 13 ；

（三）矩阵⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=215114735A 的范数=1A 14 ，=∞A 15 。 （四）在Matlab 窗口中输入>> A = [1, 3, 3, 6; 5, 2, 6, 8; 9, 6, 2, 12];

>>x=min(A), m=A(:, 2), n=A(:, [2,3])，则输出x = [1 2 2 6] ，m= [3 2 6]’ ，n= [3 3;2 6;6 2] 。

（五）用二分法求非线性方程152)(2--=x x x f 在区间(-1,0)内的根时，在二分一步后得到的区间为 (-0.5,0) ，要求结果误差不超过0.005，至少需要二分次数为 7 。

（六）对于同一组数据点，采用拉格朗日插值方法和牛顿插值方法得到的多项式结果 相同 。（填相同或者不同）

（七）用拉格朗日插值方法求插值多项式时，公式为)()(0x l a x L i n

i i n ∑==，其中

)(x l i = 。

（八）Lagrange 插值基函数满足()j i x l （j i =）= 1 。

（九）解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x *附近是 平方 收敛的。（填线性或者平方）（二阶收敛速度）

（十）根据拉格朗日插值，由),(00y x ，),(11y x 写出线性插值公式 。

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（十一）用迭代格式)()(1k k k k x f x x x λ-=+，求方程0945)(3=+-=x x x f 的单根时，使迭代序列{}k x 平方收敛，则=)(k x λ （牛顿法迭代） 。

二、简单计算：

（一）已知近似数,635.0,2864.1==b a 求b a a +,2的绝对误差限。

（二）设y 1=0.9863, y 2=0.0062是经过舍入后作为x 1和x 2的近似值，求y 1y 2的相对误差限。

（三）正方形的边长约为100cm ，请问正方形边长的绝对误差限为多大，才能使其面积的绝对误差不超过1cm 2。

（四）用牛顿插值法求解过点（1，-1），（-1，2），（2，1）的插值多项式。

（五）将矩阵A 进行三角分解（杜里特尔分解）。

其中⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=356173834A L =

1.0000 0 0

-0.7500 1.0000 0

-1.5000 1.0270 1.0000

U =

4.0000 3.0000 8.0000

0 9.2500 5.0000

0 0 9.8649

（六）用牛顿迭代法求解0742)(23=---=x x x x f 在区间]4,3[内的根，写出迭代格式并讨论其收敛性。

三、编程题：

编写MATLAB脚本程序，以10

x为初始条件，利用迭代法计算115的近似值

=

10-，保证算法收敛）。

（要求计算精度8

（牛顿下山法迭代）

clear

ep = 1e-8;

k = 1;

x(k) = 10;

x(k+1) = x(k) - (x(k)^2 -115)/(2*x(k));

while abs(x(k+1)-x(k))>ep

lamda = 1;

while abs(x(k+1)^2 - 115)>abs(x(k)^2 - 115)

lamda = lamda/2;

x(k+1) = x(k) - lamda*(x(k)^2 - 115/(2*x(k)));

end

x(k) = x(k+1);

x(k+1) = x(k) - (x(k)^2 - 115)/(2*x(k));

end

x

四、简答题：

（一）哪几种数值方法中使用了泰勒展开，请简单列举至少两种。

1.newton切线法求解非线性方程（一阶泰勒展开）P33

2.微分的中点数值算法（泰勒展开做误差分析）P273

3.常微分方程数值解法的泰勒展开法 P282

（二）解线性方程组的三角分解法与消元法本质上一样吗为什么

一样，P63 下面以及P 71 72

（三）简述解线性方程组的雅克比迭代法的基本原理。

P89

4

5 PPT —page7

（四）如果序列}{n y 满足递推关系式 ,......)2,1(151=-=-n y y n n ， 若41.120≈=y （三位有效数字），计算5y 时误差有多大这个计算过程稳定吗