数学的魅力-例子
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合理的退让——不得已而求其次
加强命题的条件 或者减弱命题的结论
希伍德证明了“五色定理”
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一百多年来许多数学家对四色问题进行了大量的研 究,获得了一系列成果。 1920年弗兰克林证明了,对于不超过25个国家的地 图,四色猜想是正确的。 1926年雷诺兹将国家的数目提高到27个。 1936年弗兰克林将国家的数目提高到31个。
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1879年，一位英国律师肯泊在《美国数学杂志》上 发表论文，宣布证明了“四色猜想”。 但十一年后，一位叫希伍德的年轻人指出，肯泊的 证明中有严重错误。
一个看来简单，且似乎容易说清楚的问题，居然如 此困难，这引起了许多数学家的兴趣，体现了该问 题的魅力。
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实际上，对于地图着色来说,各个地区的形状和大小 并不重要,重要的是它们的相互位置。 下图中的三个地图对地图着色来说都是等价的。从 数学上看,问题的实质在于地图的“拓扑结构”。
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数学史与数学文化 E-MAIL:
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第一章 概
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述
第二节 数学的魅力
2
数学的魅力
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你可能喜欢音乐，因为它有优美和谐的旋律；你可 能喜欢图画，因为它从视觉上反映人和自然的美； 那么，你应该更喜欢数学，因为它像音乐一样和谐 ，像图画一样美丽，而且它在更深的层次上，揭示 自然界和人类社会内在的规律，用简洁的、漂亮的 定理和公式描述世界的本质。
数学，有无穷的魅力！
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一、渔网的几何规律
用数学方法可以证明，无论你用什么绳索织一片网 ，无论你织一片多大的网，它的结点数(V)，网眼数 (F)，边数(E)都必定适合下面的公式：
V + F– E = 1
4
多面体的欧拉公式 V + F– E =2
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数学就有这样的本领，能够把看起来复杂的事物变 得简明，把看起来混乱的事物理出规律。
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1968年挪威数学家奥雷证明了,不超过40个国家的 地图可以用四种颜色着色。 但是，他们都没有最终证明“四色猜想”。 直到1972年，美国依利诺大学的哈肯和阿佩尔在前 人给出算法的基础上，开始用计算机进行证明。 到1976年6月,他们终于获得成功。他们使用了3台 IBM360型超高速电子计算机,耗时1200小时,终于 证明了四色猜想。
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但是他证明不了这一猜想。于是写信告诉他的弟弟 弗雷德里克。弗雷德里克转而请教他的数学老师,杰 出的英国数学家德·摩根，希望帮助给出证明。 德·摩根很容易地证明了三种颜色是不够的,至少要 四种颜色。下图就表明三种颜色是不够的。
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LOGOBaidu Nhomakorabea
但德·摩根未能解决这个问题,就又把这个问题转给 了其他数学家,其中包括著名数学家哈密顿。 但这个问题当时没有引起数学家的重视。 直到1878年,英国数学家凯莱对该问题进行了一番 思考后，认为这不是一个可以轻易解决的问题，并 于当年在《伦敦数学会文集》上发表了一篇《论地 图着色》的文章,才引起了更大的注意。
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二、大连至少有两个人头发根数一样多
“存在性命题” ：大连市一定存在两个头发根数一 样多的人。
对于存在性命题，通常有两类证明方法： 一类是构造性的证明方法，即把需要证明存在的事 物构造出来，便完成了证明； 一类是纯存在性证明，并不具体给出存在的事物， 而是完全依靠逻辑的力量，证明事物的存在。
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大连至少有两个人头发根数一样多
构造性证明 ： 一个一个地去数天津市南开区中所有人的头发根
数，一定可以找到两个具体的人，不妨称之为张三 和李四，他们的头发根数一样多，便完成了证明。
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大连至少有两个人头发根数一样多
纯存在性证明 ： “抽屉原理” 证明“367个人中至少有两个人的生日是相同的” 证明“大连市一定存在两个头发根数一样多的人”
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三、圆的魅力
车轮，是历史上最伟大的发明之一 圆，是平面图形中对称性最强的图形 周长与直径之比是一个常数 这个常数是无理数、超越数 面积相等的图形中圆的周长最短 规尺作图化圆为方不可做
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四、“三角形三内角之和等于180度， 这个命题不好”
这句话是1978年数学大师陈省身先生在北京大学的 一次演讲中说的，后来又多次说过。 所以，这不是随便说的一句话。 陈先生并没有说“三角形三内角之和等于180度， 这个命题不对”，而是说“这个命题不好”。
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例如“任意两个正整数都存在最大公约数” 这个存 在性命题，我们可以用“辗转相除法”给出构造性 的证明，在证明最大公约数存在的同时，也给出了 求最大公约数的方法。(例：（210，1950）= 30 )
再例如“连续函数如果在两个端点反号，则中间一 定存在零点” 这个存在性命题，我们在教材中看到 的和在课堂上听到的，往往是纯存在性证明，证明 了零点的存在，但并不给出找到零点的方法。
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这是一个惊人之举。当这项成果在1977年发表时, 当地邮局特地制作了纪念邮戳"四色足够"(FOUR COLORS SUFFICE)，加盖在当时的信件上。
由于这是第一次用计算机证明数学定理，所以哈肯 和阿佩尔的工作，不仅是解决了一个难题，而且从 根本上拓展了人们对“证明”的理解，引发了数学 家从数学及哲学方面对“证明”的思考。
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三角形三内角之和 = 180 度 n 边形 n 内角之和 = ？
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n 边形 n 内角之和 = 180 度 × ( n – 2 )
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n 边形 n 外角之和 = 360 度
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不变量 （向量组的秩；矩阵的秩）
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五、四色问题
四色问题也称“四色猜想”或“四色定理”，它于 1852年首先由一位英国大学生F．古色利提出。 他在为一张英国地图着色时发现,为了使任意两个具 有公共边界的区域颜色不同，似乎只需要四种颜色 就够了。
拓展了人们对“证明”的理解
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六、素数的奥秘
自然数是整个数学最重要的元素。 自然数中有一种特别基本又特别重要的数，称为“素 数”。 素数是大于1的自然数中，只能被自己和1整除的数； 大于1的自然数中不是素数的都称为“合数”； 1则既不是素数也不是合数。
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由于在大于1的自然数中，素数的因子最少，所以素 数是特别简单的数。 又由于一切大于1的自然数都能够从素数通过乘法得 到，所以素数又是特别基本的数。 素数很早就被古希腊的数学家所研究。 2300多年前欧几里得的几何《原本》第9卷的定理 20，就给出了“素数有无穷多个”的漂亮证明。
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合理的退让——不得已而求其次
加强命题的条件 或者减弱命题的结论
希伍德证明了“五色定理”
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一百多年来许多数学家对四色问题进行了大量的研 究,获得了一系列成果。 1920年弗兰克林证明了,对于不超过25个国家的地 图,四色猜想是正确的。 1926年雷诺兹将国家的数目提高到27个。 1936年弗兰克林将国家的数目提高到31个。
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1879年，一位英国律师肯泊在《美国数学杂志》上 发表论文，宣布证明了“四色猜想”。 但十一年后，一位叫希伍德的年轻人指出，肯泊的 证明中有严重错误。
一个看来简单，且似乎容易说清楚的问题，居然如 此困难，这引起了许多数学家的兴趣，体现了该问 题的魅力。
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实际上，对于地图着色来说,各个地区的形状和大小 并不重要,重要的是它们的相互位置。 下图中的三个地图对地图着色来说都是等价的。从 数学上看,问题的实质在于地图的“拓扑结构”。
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第一章 概
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第二节 数学的魅力
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数学的魅力
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你可能喜欢音乐，因为它有优美和谐的旋律；你可 能喜欢图画，因为它从视觉上反映人和自然的美； 那么，你应该更喜欢数学，因为它像音乐一样和谐 ，像图画一样美丽，而且它在更深的层次上，揭示 自然界和人类社会内在的规律，用简洁的、漂亮的 定理和公式描述世界的本质。
数学，有无穷的魅力！
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一、渔网的几何规律
用数学方法可以证明，无论你用什么绳索织一片网 ，无论你织一片多大的网，它的结点数(V)，网眼数 (F)，边数(E)都必定适合下面的公式：
V + F– E = 1
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多面体的欧拉公式 V + F– E =2
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数学就有这样的本领，能够把看起来复杂的事物变 得简明，把看起来混乱的事物理出规律。
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1968年挪威数学家奥雷证明了,不超过40个国家的 地图可以用四种颜色着色。 但是，他们都没有最终证明“四色猜想”。 直到1972年，美国依利诺大学的哈肯和阿佩尔在前 人给出算法的基础上，开始用计算机进行证明。 到1976年6月,他们终于获得成功。他们使用了3台 IBM360型超高速电子计算机,耗时1200小时,终于 证明了四色猜想。
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但是他证明不了这一猜想。于是写信告诉他的弟弟 弗雷德里克。弗雷德里克转而请教他的数学老师,杰 出的英国数学家德·摩根，希望帮助给出证明。 德·摩根很容易地证明了三种颜色是不够的,至少要 四种颜色。下图就表明三种颜色是不够的。
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LOGOBaidu Nhomakorabea
但德·摩根未能解决这个问题,就又把这个问题转给 了其他数学家,其中包括著名数学家哈密顿。 但这个问题当时没有引起数学家的重视。 直到1878年,英国数学家凯莱对该问题进行了一番 思考后，认为这不是一个可以轻易解决的问题，并 于当年在《伦敦数学会文集》上发表了一篇《论地 图着色》的文章,才引起了更大的注意。
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二、大连至少有两个人头发根数一样多
“存在性命题” ：大连市一定存在两个头发根数一 样多的人。
对于存在性命题，通常有两类证明方法： 一类是构造性的证明方法，即把需要证明存在的事 物构造出来，便完成了证明； 一类是纯存在性证明，并不具体给出存在的事物， 而是完全依靠逻辑的力量，证明事物的存在。
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大连至少有两个人头发根数一样多
构造性证明 ： 一个一个地去数天津市南开区中所有人的头发根
数，一定可以找到两个具体的人，不妨称之为张三 和李四，他们的头发根数一样多，便完成了证明。
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大连至少有两个人头发根数一样多
纯存在性证明 ： “抽屉原理” 证明“367个人中至少有两个人的生日是相同的” 证明“大连市一定存在两个头发根数一样多的人”
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三、圆的魅力
车轮，是历史上最伟大的发明之一 圆，是平面图形中对称性最强的图形 周长与直径之比是一个常数 这个常数是无理数、超越数 面积相等的图形中圆的周长最短 规尺作图化圆为方不可做
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四、“三角形三内角之和等于180度， 这个命题不好”
这句话是1978年数学大师陈省身先生在北京大学的 一次演讲中说的，后来又多次说过。 所以，这不是随便说的一句话。 陈先生并没有说“三角形三内角之和等于180度， 这个命题不对”，而是说“这个命题不好”。
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例如“任意两个正整数都存在最大公约数” 这个存 在性命题，我们可以用“辗转相除法”给出构造性 的证明，在证明最大公约数存在的同时，也给出了 求最大公约数的方法。(例：（210，1950）= 30 )
再例如“连续函数如果在两个端点反号，则中间一 定存在零点” 这个存在性命题，我们在教材中看到 的和在课堂上听到的，往往是纯存在性证明，证明 了零点的存在，但并不给出找到零点的方法。
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这是一个惊人之举。当这项成果在1977年发表时, 当地邮局特地制作了纪念邮戳"四色足够"(FOUR COLORS SUFFICE)，加盖在当时的信件上。
由于这是第一次用计算机证明数学定理，所以哈肯 和阿佩尔的工作，不仅是解决了一个难题，而且从 根本上拓展了人们对“证明”的理解，引发了数学 家从数学及哲学方面对“证明”的思考。
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三角形三内角之和 = 180 度 n 边形 n 内角之和 = ？
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n 边形 n 内角之和 = 180 度 × ( n – 2 )
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n 边形 n 外角之和 = 360 度
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不变量 （向量组的秩；矩阵的秩）
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五、四色问题
四色问题也称“四色猜想”或“四色定理”，它于 1852年首先由一位英国大学生F．古色利提出。 他在为一张英国地图着色时发现,为了使任意两个具 有公共边界的区域颜色不同，似乎只需要四种颜色 就够了。
拓展了人们对“证明”的理解
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六、素数的奥秘
自然数是整个数学最重要的元素。 自然数中有一种特别基本又特别重要的数，称为“素 数”。 素数是大于1的自然数中，只能被自己和1整除的数； 大于1的自然数中不是素数的都称为“合数”； 1则既不是素数也不是合数。
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由于在大于1的自然数中，素数的因子最少，所以素 数是特别简单的数。 又由于一切大于1的自然数都能够从素数通过乘法得 到，所以素数又是特别基本的数。 素数很早就被古希腊的数学家所研究。 2300多年前欧几里得的几何《原本》第9卷的定理 20，就给出了“素数有无穷多个”的漂亮证明。