水力学 第3章 流体力学基本方程

V V V V a u v w t x y z
V V V V dV a u v w t x y z dt
加速度的投影值：
u u u u du ax u v w t x y z dt
v v v v dv ay u v w t x y z dt
速度：
x y z u ,v ,w t t t
加速度：
u 2 x ax 2, t t v 2 y ay 2, t t w 2 z az 2 t t
这里：
V ui v j wk
a ax i a y j az k
此方程称为积分形式的连续性方程。

d dM d dt t d vn dA (1) dt A
方程（1）对于任一物理量φ（比如：动量等）亦成立。
d d t d vn dA dt A
式中：φ——流体单位体积的某物理量。
2.渐变流与急变流：
在非均匀流中，各流线是接近于平行直线的流动称为渐 变流（或称缓变流）；否之，则为急变流。
七.一元流动、二元流动、三元流动：
若流体的流动参数是空间三个坐标和时间的函数，这种 流动称为三元流动；若流动参数是两个坐标和时间的函数， 这种流动称为二元流动；若流动参数是一个坐标和时间的 函数，这种流动称为一元流动。
若用粗体字母表示矢量，则：
加速度：
v1 v 0 a lim ( t o ) t
V V V V V1 V0 t x y z t x y z
而：
注意到： 因此：
x lim u, t 0 t
y lim v, t 0 t
z lim w t 0 t
流线和迹线的区别：
Va
a t1
t=t1的流线 Vb Vc
b a t1+ Δt a 质点a的轨迹 c
t1+ 2Δt
V ui v j wk
迹线 --- 流体质点的运动轨 迹线。

流线 --- 处处与质点速度 矢量相切的空间曲线。
恒定流时,流线与迹线重合。
流线微分方程：
设流线微段为：
若采用圆柱坐标（r，θ ，z），则有：
1 ( rvr ) ( v ) ( rv z ) 0 t r r z
对曲面A，其（体积）流量：
Q dQ Vn dA
Q A
断面平均流速：
过流断面上各点流速的平均值，称为断面平均流速。
断面平均流速：v = Q/A
六.均匀流、非均匀流、渐变流、急变流：
1. 均匀流与非均匀流：
在给定时刻，流场中各流线都是平行直线的流动称为均匀 流；否之，则为非均匀流。
第三章
流体力学基本方程
本章研究：流体机械运动的基本力学
规律及其在工程中的初步应用。
思考 1
为什么河道较窄的地方流速较大？
思考 2
高楼顶层的水压为什么较低？
思考 3
自来水可以爬上几十米的高楼，洪水 为什么不能爬上几米的岸边山坡？
§3-1 描述流体运动的方法
一.流体运动的描述方法：
1.拉格朗日法：
这时：u u( x, y, z, t ),
或p p( x, y, z, t )等。
பைடு நூலகம்
三.迹线和流线：
迹线：给定质点在一段连续时间内的运动轨迹。 流线：在固定时刻t, 如果流场中的某一条曲线上每 一点的切线都与该点的流体质点的速度方向相同, 则称此曲线为该瞬时的一条 流线。
流线和迹线 的区别：
τ
τ (t )
[ ρ(t t ) ρ(t )]dτ
A
ρ(t t )vn dA t
故：
d dM d dt t d vn dA (1) dt A
由于质量守恒，因此：
t d vn dA 0 A
对于定常流动：
一元流动，有： ρ 1V1A1=ρ 2V2A2
v dA 0
n A
不可压缩流体的一元流动，有：V1A1=V2A2
作业：P106，第4题、第6题。
二. 微分形式的连续性方程：
分析二元流动，取控制 体如图，长为dx, 宽为dy。 设 控 制 体 中 心 点 O’(x,y) 的 速度分量分别为u、v，密度 为ρ 。 单位时间内，左侧面流 入的质量：
例2：已知某流场中流速分布为：u = -x， v = 2y, w = 5-z。求 通过点(x,y,z) = (2,4,1)的流线方程。
解：
流线微分方程为：
dx dy dz u v w


dx dy dz x 2y 5 z
dx 1 d (2 y ) d (5 z ) x 2 2y 5 z dx 1 d (2 y ) x 2 2 y dx d (5 z ) x 5 z
同理,单位时间内, y方向净流出的质量为：
( v) dxdy y
因此，根据质量守恒定律，有：
( u ) ( v) dxdy dxdy dxdy x y t
即：
三元流动：
( u ) ( v) 0 t x y
( u ) ( v) ( w) 0 t x y z
u u ( x, y, z, t ) v v ( x, y, z, t ) w w ( x, y, z, t )
V ui v j wk
由速度分布求加速度：
v1 v 0 a lim ( t o ) t
上式中用粗体字母表示矢量。
V ui v j wk
令:
r V 流体单位体积的动量矩。
则，方程（1）又可写为：
d ( r V ) r V d t d ( r V )vn dA (3) dt A
分析积分形式的连续性方程：
t d vn dA 0 A
ds dxi dy j dz k
该点的流体的速度为：
因为：
V ui v j wk
V // ds
因此,两矢量的分量对应成比例：
dx dy dz u v w
四.流管、流束、元流、总流：
1.流管：
在流场中任意绘一条非流线的封 闭曲线，在该曲线上的每一点作流 线，这些流线所围成的管状面称为 流管。 由于流管的“管壁”是由流线构成的，因而流体质点的 速度总是与“管壁”相切，不会有流体质点穿过“管壁” 流入或者流出流管。流管内的流体就像是在一个真实的管 子里流动一样：从一端流入，从另一端流出。
2.流束：
流管内的一束运动流体称为流束。
3.元流：
如果流管的横截面积为dA,这种流管称为微流管, 微流管内的流束称为元流。 4.总流： 无数元流的总和称为总流。
五.流量：
过流断面：与流线正交的横断面。
（体积）流量Q：单位时间内通过过流断面的流体体积。
如图，对于dA，其（体积）流量为：
dQ Vn dA
由速度分布求加速度：
设某个质点，t 时刻位于 （x, y, z），速度为：
V0 ( x, y, z, t )
t+Δt 时刻位于(x+Δx, y+Δy, z+Δz)，速度为：
V1 ( x x, y y, z z, t t )
V0和V1的关系为：
V V V V V1 V0 t x y z t x y z
例1：已知：u = x+t，v = -y+t, w = 0。 求t=0时，经过点A（-1，-1）的流线方程。 解：t=0时，u=x, v=-y, w=0；代入流线微分方程， 有：
dx dy x y

ln x ln y C1
流线过点（-1，-1）
x y c
∴ C =1
流线方程为： y 1 x
dx u dx u dy x 2 x 2
单位时间内，右侧面流出的质量：
dx u dx u dy x 2 x 2
单位时间内，x方向净 流出的质量为：
dx u dx ( u ) dx u dx u dy dxdy u dy x 2 x 2 x 2 x 2 x
即：系统的任一物理量的总变化率等于控制体内该物 理量的时间变化率和该物理量通过控制体表面的净流出 率之和。
令:
V 流体单位体积的动量。
则，方程（1）可写为：
d ( V ) V d t d V vn dA (2) dt A
故通点(2,4,1)的流线方程为：
x y 4 2 x z 5 0
§3-2
1.系统与控制体：
①.系统：
连续性方程
一. 积分形式的连续性方程：
包含确定流体质点的集合。
②.控制体：
流场中的一个空间固定体称为控制体。 控制体的边界面称为控制面。
2.连续性方程的推导：
系统的流体质量为：
以流体质点作为研究对象，研究其各运动要素随时间与空 间的变化的分布规律。 流体的运动要素（流动参数）——表征流体运动的各种物理量。 如表面力、速度、加速度、密度等，都称为流体的运动要素。 设某一流体质点在某时刻的空间位置，为： x=x(a,b,c,t), y=y(a,b,c,t), z=z(a,b,c,t)。 (a,b,c)为流体质点的初始位置坐标。
M (t t ) M (t )
( t t )

(t t )d
(t )d
(t )


(t t )d (t t )d (t )d
(t ) (t )
τ (t )
[ ρ(t t ) ρ(t )]dτ ρ(t t )dτ
M (t )
(t )d
(t )
质量守恒:系统的质量在任何时刻都相等。
dM M (t t ) M (t ) lim 0 dt t 0 t
在这里,我们选取t时刻系统的体积τ和表面积A为
控制体的体积和表面积。
dM M (t t ) M (t ) lim dt t 0 t
2.欧拉法：
以流场作为研究对象，研究各流场空间点上流体 质点的各运动要素随时间与空间的变化的分布规律。 流场：运动流体所占据的空间。
在欧拉法中，是以速度场来描述流体运动的，流体质点的 运动速度（即速度函数）是定义在空间点上的，它们是空间点 坐标（x, y, z）的函数：
在欧拉法中，是以速度场来描述流体运动的，流体质点的 运动速度（即速度函数）是定义在空间点上的，它们是空间点 坐标（x, y, z）的函数：

由上述两式分别积分，并整理得：
x y c1 x c 2 z 5c 2 0
①
即流线为曲面 x y c1 和平面 x c2 z 5c2 0 的交线。
将 (x,y,z)=(2,4,1) ,代入①可确定： c1 和c2
c1 4， 1 c2 2
w w w w dw az u v w t x y z dt
二.恒定流与非恒定流：
1.恒定流（定常流动）：
流场中各点处的所有流动参数均不随时间而变化的流动。
特征：
u v w 0， t t t
p 0等。 t
2.非恒定流（非定常流动）： 流场中各点的流体质点的所有流动参数中只要有一个随时 间而变化，这样的流动就称为非恒定流。